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1、第三节 函数的奇偶性与周期性A组基础对点练1(2021山东滨州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是()Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)cos x解析：对于选项A，偶函数与单调递减均不满足；对于选项B，f(x)是偶函数，又是(1，2)上的减函数，符合题意；对于选项C，不满足单调递减；对于选项D，不满足单调递减答案：B2函数f(x)lg |sin x|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数解析：f(x)lg |sin (x)|lg |sin x|，函数f(x)为偶函数f(x)lg |sin (x
2、)|lg |sin x|，函数f(x)的周期为.答案：C3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Ayln x Byx21Cysin x Dycos x解析：选项A中的函数是非奇非偶函数；选项B中的函数是偶函数但不存在零点；选项C中的函数是奇函数；选项D中的函数既是偶函数又存在零点答案：D4设f(x)xsin x(xR)，则下列说法错误的是()A.f(x)是奇函数 Bf(x)在R上单调递增Cf(x)的值域为R Df(x)是周期函数解析：因为f(x)xsin (x)(xsin x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项A正确；因为f(x)1cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，故选项B正
3、确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故选项C正确；f(x)不是周期函数，故选项D错误答案：D5(2021辽宁抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(7)()A2 B2C98 D98解析：因为f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)f(81)f(1)f(1)2.答案：B6设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3x7x2b(b为常数)，则f(2)()A6 B6C4 D4解析：f(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x7x2b，f(0)12b0，b
4、.当x0时，f(x)3x7x1，f(2)f(2)(32721)6.答案：A7已知函数f(x)ln (3x)1，则f(lg 2)f等于()A1 B0C1 D2解析：设g(x)ln (3x)f(x)1，g(x)ln (3x)ln g(x)，g(x)是奇函数，f(lg 2)1f1g(lg 2)g0，因此f(lg 2)f2.答案：D8已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0，1)时，f(x)3x1，则f()A1 B1C1 D1解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x2)f(x)f(x)，所以fffff.又当x(0，1)时，f(x)3x1，所以f1，f1.答案：D9定义在R上的奇函数
5、f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，2)上单调递减，则下列结论正确的是()A0f(1)f(3) Bf(3)0f(1)Cf(1)0f(3) Df(3)f(1)0解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)0.由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)f(1).又f(x)在0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(2，2)上单调递减，所以f(1)f(0)f(1)，即f(1)0f(3).答案：C10已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)()A2 B1C0 D
6、2解析：当x时，由ff可得f(x)f(x1)，所以f(6)f(1)，又由题意知f(1)f(1)，f(1)(1)312，所以f(6)2.答案：D11已知yf(x)满足f(x1)f(x1)2，则以下四个选项中一定正确的是()Af(x1)1是偶函数Bf(x1)1是奇函数Cf(x1)1是偶函数Df(x1)1是奇函数解析：根据题中条件可知函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称，故f(x1)的图象关于点(0，1)成中心对称，则f(x1)1的图象关于点(0，0)成中心对称，所以f(x1)1是奇函数答案：D12已知函数yf(x)，满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x
7、)，则F(3)()A BC D解析：yf(x)为偶函数，则yf(x)为偶函数，关于x0对称，yf(x2)为偶函数，关于x2对称，T4，F(x)f(x)f(x)2f(x)，F(3)2f(3).而f(3)f(41)f(1)f(1)，F(3).答案：B13偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_解析：因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x).又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，则f(1)f(41)f(3)3.答案：314已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_解析：f(x)是定义在R
8、上的奇函数，f(x)f(x).又f(x)的周期为2，f(x2)f(x)，f(x2)f(x)，即f(x2)f(x)0，令x1，得f(1)f(1)0，f(1)0.又fff42.ff(1)2.答案：215已知f(x)是奇函数，g(x).若g(2)3，则g(2)_解析：由题意可得g(2)3，则f(2)1，又f(x)是奇函数，则f(2)1，所以g(2)1.答案：1B组素养提升练1对于函数f(x)a sin xbx3cx1(a，b，cR)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(1)，所得出的正确结果可能是()A2和1 B2和0C2和1 D2和2解析：设g(x)a sin xbx3cx，显然g(x)为定义
9、域上的奇函数，所以g(1)g(1)0，所以f(1)f(1)g(1)g(1)22，只有选项B中两个值的和为2.答案：B2若定义在2 020，2 020 上的函数f(x)满足：对任意x12 020，2 020，x22 020，2 020都有f(x1x2)f(x1)f(x2)2 019，且x0时有f(x)2 019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则MN()A2 019 B2 020C4 040 D4 038解析：令x1x20得f(0)2f(0)2 019，所以f(0)2 019，令x1x2得f(0)f(x2)f(x2)2 0192 019，所以f(x2)f(x2)4 038，令g(x)f(x
10、)2 019，则g(x)maxM2 019，g(x)minN2 019，因为g(x)g(x)f(x)f(x)4 0380，所以g(x)是奇函数，所以g(x)maxg(x)min0，即M2 019N2 0190，所以MN4 038.答案：D3已知函数yf(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24，8，当x1x2时，都有0恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若af(6)，bf(15)，cf(2 019)，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BcabCacb Dcba解析：由知函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数；由知f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(
11、x)的周期为8，所以cf(2 019)f(25283)f(3)，bf(15)f(7)；由可知函数f(x)的图象关于直线x4对称，所以bf(7)，cf(3)f(5).因为函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数，所以f(5)f(6)f(7)，即cab.答案：B4定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1，0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0).其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来).解析：f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立令xy0，所以f
12、(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在x1，0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在0，1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x).又因为f(x)为奇函数，所以f(2x)f(x)，所以函数关于x1对称由f(x)在0，1上为增函数，又关于x1对称，所以f(x)在1，2上为减函数由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0).答案：5判断f(x)的奇偶性解析：法一：(定义法)取x0，f(x)(x)2(x)x2x(x2x)f(x).又f(0)0，f(x)为奇函数法二：(图象法)作出f(x)的图象如图可知f(x)为奇函数6(2020吉林模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明函数f(x)在(1，0)上的单调性解析：(1)由题意得解得所以f(x).(2)函数f(x)在(1，0)上单调递增证明如下：任取x1，x2(1，0)，且x1x2，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(1，0)上单调递增