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1、11 1 映射的定义映射的定义设 A,B 是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则f，使得对于任意x A，均存在唯一的 y B与它对应,则称 f 是A到B的一个映射，记为 f:AB，且y=f(x)。一 映射的定义第1页/共21页2注意：映射 f 本质上定义为一个对应，这种对应有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一样），但也可能不存在相应的表达式，如A=a,b,c,B=0,1规则f:a 对应于0，b对应于1，c对应于1。f 即为 A到B的一个映射。又如 A 为有理数集,B为实数集特征函数特征函数假定A是论域U上的集合，定义第2页/共21页32 2 映射的相等映射的相等设 f,g 是A到B 的两
2、个映射，若对于任意x A，均有f(x)=g(x),则称映射f,g是相等的，或是同一映射。第3页/共21页43 3 几个相关的称谓几个相关的称谓假定 f:AB,y=f(x)，通常把 x称为自变量自变量，自变量的取值范围称为定义域定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量因变量，而把由所有因变量构成的集合称为值域值域，记为 ran f。对映射而言：对映射 f:AB 而言,必有 dom f=A,ran f B且如前所述，把因变量 y 称为 x 在映射f下的像或函数值，记为 y=f(x).第4页/共21页5定义定义：设 f:AB,令 X A，用 f(X)=f(x)|x X表示 X 在映射f下的像像。
3、同理令Y B，用表示Y在映射f下的原像原像。注：这里的 是一个整体记号。第5页/共21页6对于集合 A 和B，用 (B上A)表示A到B的所有映射组成的集合，即有【例1-5】若 求x1x2x3y1y2第6页/共21页7定理定理：对于集合 A 和B，若|A|=m,|B|=n，则 注意:B上A的记号与该结论的关系.证明：设 f:AB,对于任意的 x A,显然 f(x)可取B中n个元素中任意一个，而|A|=m,根据乘法原理，结论成立。第7页/共21页8n n元函数定义元函数定义 在函数定义中，若 ，则对任意x A，有 ,这时 称 f 为 到 B 的n n元函数元函数。第8页/共21页9二 映射的性质1
4、 1 单射单射 定义：f:Af:AB,B,若对任意 ,A，由 可推出 ，（或 ），则称 f 是 A 到 B的单射单射，或称 f 是 A 到 B 的一对一一对一映射映射。2 2 满射满射 定义：f:Af:AB,B,若对任意y y B，均存在x A，使得y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射满射，或称 f 是 A 到 B 的映上的映射。3 双射 定义：f:AB,若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。第9页/共21页10 第10页/共21页115 5 置换置换 若 A A 是有限集合，通常把 A A 到 A A的双射称为 A A 上的置换置
5、换。4 4 变换变换 集合 A A 到自身的映射习惯上称为 A A 的一个变换变换。v例例1.建立一个建立一个Z到到N的一一对应。的一一对应。v例例2.建立一个建立一个(0,1)到到R的一一对应。的一一对应。v例例3.写出写出A=1,2,3上的所有置换。上的所有置换。第11页/共21页12三 逆映射1 1 定义定义 设f:Af:AB,B,若将对应关系逆转，能够得到一个集合B B到集合A A的映射，则该映射称为f f的逆映射逆映射或逆函数逆函数，常称为反函数反函数,记为 。2 2 定理定理 设f:Af:AB,B,则 f f 的逆映射存在的充要条件是：f f 是双射双射。第12页/共21页13 看
6、下面映射是否存在逆映射？第13页/共21页14四 复合映射定义定义 设f:AB,g:BC，对任意的 x A，h(x)=g(f(x)为 A 到 C的映射，称 h 为 f 和 g 的复合映射或复合函数，记为 f g。由复合函数定义知，第14页/共21页15第15页/共21页16恒等映射恒等映射 设A A是集合，令f:Af:AA,f(x)=xA,f(x)=x，称f f为集合A A上的恒等映射，记为 。定理定理 若f:Af:AB B 是双射,则有特别地，若f:Af:AA A是双射，则有第16页/共21页17定理定理 设 f:AB,g:BC,若 f 和 g 是单射，则 fg 是单射；若 f 和 g 是满
7、射，则fg是满射；(1)(3)若 f 和 g 是双射，则fg是双射 且有证明：(1)因为 f 是 A到B的单射函数，所以当 ，A，,又因为g是B到C单射函数，所以 ；即当 时，(fg)()(fg)()，由此可见，复合函数gf是单射函数 同理可证明(2)与(3)。第17页/共21页18定理定理 设 f:AB,g:BC,若 f g 是单射，则 f 是单射但 g不一定；(1)若 f g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。同理可证明(2)。第18页/共21页19定理定理 设 f:AB，g:BC，h:CD，则由上面定理可知，当多个函数求复合时可以不加括号，即证明证明：对任意 x A，由于 (f g)h)(x)=h(f g)(x)=hg(f(x)，而 (f(g h)(x)=(g h)(f(x)=hg(f(x)，即有(f g)h)(x)=(f(g h)(x)。从而有 (f g)h =f(g h)。第19页/共21页20R是实数集，f、g、h是R到R的函数,分别定义为求(fg)h，f(gh)。第20页/共21页21感谢您的观看！第21页/共21页