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1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.复数代数运算复数代数运算2.复数的各种表示法复数的各种表示法3.乘幂与方根运算公式乘幂与方根运算公式4.复数方程表示曲线以及不等式表示区复数方程表示曲线以及不等式表示区域域1解解2解解3解解4例例5 5 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域.解解5 是以是以 为焦点为焦点,以以3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不
2、是区域域.不是区域，因为图中不是区域，因为图中解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.6例例6 6 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)7解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.8第二章第二章 解析函数解析函数1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别（函数解析性的判别（C-R方程）方程）3.几个常用初等函数几个常用初等函数93.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数10 2)2)三角函数三角函数11(4)正弦函数和
3、余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数数12其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义133 3）对数函数）对数函数因此因此14154)4)幂函数幂函数16典型例题典型例题证证1718例例2 2 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.19例例3 3 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.解解 设设故故由于由于 解析，所以解析，所以即即故故20 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有解解例例4 4 研究
4、研究 的可导性的可导性.21当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有例例4 4 研究研究 的可导性的可导性.22例例5 5 解方程解方程解解23例例6 6 求出求出 的值的值.解解24解解例例7 7 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:令令 得主值得主值:25 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1.复积分的计算公式及基本性质复积分的计算公式及基本性质2.复积分的基本定理复积分的基本定理 3.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式26积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成线积分（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积
5、分274.积分的性质积分的性质28 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理)29 闭路变形原理闭路变形原理 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末3031柯西积分公式柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.32 高阶导数公式高阶导数公式33调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和
6、函数内的调和函数.34定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭调和函数共轭调和函数35 典型例题典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线.解解36说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.37解解分分以下四种情况讨论：以下四种情况讨论：3839404142解解为大于为大于1的自然数的自然数.例例6 6 计算下列积分计算下列积分43解法一解法一 不定积分
7、法不定积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,44 因而得到解析函数因而得到解析函数45解解例例8 8 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件4647第四章第四章 级级 数数1、复数列、复级数收敛充要条件、复数列、复级数收敛充要条件2、幂级数收敛半径求法幂级数收敛半径求法3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数48常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式4950根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法将函数展为洛朗级
8、数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法直接展开法51典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解发散，发散，收敛，收敛，52典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解53解解收敛收敛收敛收敛典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.54解解 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知绝对收敛绝对收敛.典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.55例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解5657分析：分析：采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解
9、例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法58由于由于59例例7 7分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解所以所以60例例9 9分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法.即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后,应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解61故故两端求导得两端求导得6263例例1010解解64例例1111解解有有6566 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的是不同的.67解解例例12126869 第五章第五章 留留 数
10、数1、孤立奇点的判别、孤立奇点的判别2、留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理701）定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.孤立奇点的概念与分类孤立奇点的概念与分类孤立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点可去奇点;ii)极点极点;iii)本性奇点本性奇点.71定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末那末孤立奇点孤立奇点 称为称为 的
11、可去奇点的可去奇点.i)可去奇点可去奇点72ii)极点极点 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成73极点的判定方法极点的判定方法在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.(a)由定义判别由定义判别(b)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c)利用极限利用极限判断判断.74如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个那
12、末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为iii)本性奇点本性奇点75i)零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.3)函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果是是的的 m 级极点级极点,那末那末就是就是的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.76 2.留数留数记作记作定义定义 如果如果的一个孤立奇点的一
13、个孤立奇点,则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以771)留数定理留数定理 设函数设函数在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末立奇点立奇点留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.78(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,则则如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末 a)(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点
14、,则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求展开展开(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则2)留数的计算方法留数的计算方法79 c)设设及及在在如果如果那末那末为一级极点为一级极点,且有且有都解析，都解析，如果如果 为为 的的 级极点级极点,那末那末b)80也可也可定义为定义为记作记作1.定义定义 设函数设函数在圆环域在圆环域内解析内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分那末积分值为值为在在的留数的留数.的值与的值与C无关无关,则称此定则称此定 3)无穷远点的留数无穷远点的留数81如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限
15、个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.定理定理82在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.83典型例题典型例题解解求函数求函数奇点及类型。奇点及类型。84例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.解解(1)在在 内内,85解解86解解为奇点为奇点,当当 时时 为一级极点，为一级极点，8788解解例例7 7 计算计算 8990积分变换积分变换1、傅里叶变换的概念、基本性质、傅里叶变换的概念、基本性质2、傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用9192解解=设 方程两端取方程两端取Fourier变换，得变换，得：所以所以P11 3(1)93