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1、1回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo 定积分的微元法第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：3ab xyo45元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等长；功；水压力；引力和平均值等61、直角坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积第一节第一节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用7曲边梯形的面积曲边梯形的面积如果图形是由两条曲线围成8一般地一般地设两条连续曲线与直线
2、所围平面图形面积为A,则9解解两曲线的交点两曲线的交点10解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量11于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？1213解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量14如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积15解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积16例例5.5.求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解解:令171
3、8192、极坐标系情形20曲边扇形的面积曲边扇形的面积2)、极坐标系下求面积、设平面图形由曲线及射线所围成，求其面积。21解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积22解解利用对称性知利用对称性知 例9 求心形线(a 0)所围图形的面积。232425二、平面曲线弧长二、平面曲线弧长26弧长元素弧长元素弧长弧长1、直角坐标情形、直角坐标情形27解解所求弧长为所求弧长为28解解29曲线弧为曲线弧为弧长弧长2、参数方程情形30解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长31证证
4、32根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.33曲线弧为曲线弧为弧长弧长3、极坐标情形34解解35解解36 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积37旋转体的体积为旋转体的体积为38解解直线直线 方程为方程为3940解解4142434445解解464748解解体积元素为体积元素为49502、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积51解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立
5、体体积立体体积52解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积53垂直 轴的截面是椭圆例例10.计算椭球面所围立体(椭球)的体积.解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a=b=c 时就是球体体积.5455563、旋转体的侧面积、旋转体的侧面积对于旋转体的侧面积，在小区间 上用圆周长 与弧长微元 的乘积作为部分量 的近似值 侧面积的微元 图61657于是，旋转体的侧面积若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为58例例1.计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式59例例2
6、.求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）四、小结直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下2、求弧长的公式、求弧长的公式61613、旋转体的体积、旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周4、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截
7、面面积为已知的立体的体积5 5、旋转体的侧面积、旋转体的侧面积62习题与思考题习题与思考题621.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.63解答解答：xyo64积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为两边同时对两边同时对 求导求导65解答解答：交点交点立体体积立体体积66664、求位于曲线与直线 y=2 围成的x=0 到 x=2 的一块平面图形，绕 y 轴旋转所产生的旋转体体积Vy。解解 先求簿圆柱壳体的体积其高从67675、试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.6868方法方法2 用柱壳法说明说明:上式可变形为上上半圆为下下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).69695、求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域解：