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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-25-2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书平面向量基本定理及坐标表示教师用书1平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1、2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a ab b(x1(x1x2x2，y1y1y2)y2)，a ab b(x1(x1x
2、2x2，y1y1y2)y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a、b 共线x1y2x2y10.【知识拓展】1若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则ab.【思考辨析】2 / 14判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则1
3、2，12.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示( )(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( )1设 e1，e2 是平面内一组基底，那么( )A若实数 1，2 使 1e12e20，则 120B空间内任一向量 a 可以表示为 a1e12e2(1，2 为实数)C对实数 1，2，1e12e2 不一定在该平面内D对平面内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2 有无数对答案 A2(2015课标全国)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向
4、量(4，3)，则向量等于( )A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案 A解析 (3,1)，(4，3)，(4，3)(3,1)(7，4)3(2016宁波期末)已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb3 / 14与 a2b 共线，则_.答案 1 2解析 由已知条件可得 manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与 a2b 共线，即 n2m12m8n，.4(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_答案 (1,5)解析 设 D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,
5、6y)，即解得Error!题型一 平面向量基本定理的应用例 1 (1)在平行四边形 ABCD 中，e1，e2，则_.(用 e1，e2 表示)(2) 如图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，2，设，若(R)，则 的值为( )A. B.1 2C. D2答案 (1)e1e2 (2)C解析 (1)如图，CM22 3BC()e2(e2e1)e1e2.(2)因为2，所以.又，可设m，所以(1)4 / 14.因为，所以，1.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般
6、思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC的中点，若，则 等于( )A. B. C. D.4 5答案 D解析 因为()22，所以，所以 .题型二 平面向量的坐标运算例 2 (1)已知 a(5，2)，b(4，3)，若 a2b3c0，则c 等于( )A. B.(13 3，83)C. D.(13 3，43)(2)(2016丽江模拟)已知向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，则 2ab 等于( )A(4,0) B(0,4)C(4，8) D(4,8)答案 (1)D (2)C解析 (1)
7、由已知 3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)5 / 14所以 c.(2)因为向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，所以 142m0，即 m2，所以 2ab2(1，2)(2,4)(4，8)思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(1)(2016北京东区模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则_.(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点 D 的坐标为( )A(2，) B(2，)C
8、(3,2) D(1,3)答案 (1)4 (2)A解析 (1)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即Error!解得 2，4.(2)设 D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故选 A.题型三 平面向量坐标的应用6 / 14命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_答案 (3,3)解析 方法一 由 O，P，B 三点共
9、线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得 ，所以(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)方法二 设点 P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即 xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3,3)命题点 2 利用向量共线求参数例 4 (1)(2016台州模拟)已知向量 a(1sin ，1)，b(，1sin )，若 ab，则锐角 _.(2)设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则的最小值为_答案 (1)45 (2
10、)32 22解析 (1)由 ab，得(1sin )(1sin )，所以 cos2，cos 或 cos ，又 为锐角，45.7 / 14(2)由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得 2ab2，所以(2ab)()(3)(32 )(当且仅当 ba 时，等号成立)思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可
11、设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量命题点 3 利用平面向量的坐标求最值例 5 (2016浙大附中模拟)在平行四边形 ABCD 中，BAD，AB1，AD，P 为平行四边形内一点，AP，若(，R)，则 的最大值为_答案 1解析 以点 A 为原点建立如图所示的直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以(1,0)，(，)设，的夹角为 (0)，则 P(cos ，sin )，所以(cos ，sin )，则由题意有(cos ，sin )(1,0)(，)，所以Error!所以Error!8 / 14所以 sin cos sin s
12、in cos sin()因为 0，所以，所以 sin()的最大值为 1，即 的最大值为 1.(1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_(2)(2016温州二模) 如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD4，M，N 分别为线段 BC，CD 上的点，且满足1，若xy，则 xy 的最小值为_答案 (1)(2,4) (2)5 4解析 (1)在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，AB(4x,2y)2(1，1)，即
13、(4x,2y)(2，2)，解得故点 D 的坐标为(2,4)(2)设 CNn，CMm，则1，设sin ，cos (0，)因为xyx()y()x()y()xy(1)x(1)y，又，所以Error!所以Error!9 / 14所以 xy1mn mn4n3m111 14sin 3cos 1，其中(cos ，sin )，所以(xy)min1.1010解析法解析法( (坐标法坐标法) )在向量中的应用在向量中的应用典例 (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的上运动若xy，其中 x，yR，求xy 的最大值AAB思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量
14、坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解 以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B(，)6 分设AOC(0，)，则 C(cos ，sin )，由xy，得Error!所以 xcos sin ，ysin ，10 分所以 xycos sin 2sin()，12 分又 0，所以当 时，xy 取得最大值 2.14 分1(2016宁波六校二模)在平行四边形 ABCD 中，a，b，2，则等于( )Aba BbaCba Dba答案 C10 / 14解析 因为，2，所以1 3ABba，故选 C.2已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，
15、若3a，则点 N 的坐标为( )A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案 A解析 设 N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，x2，y0.3已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c，则 等于( )A. B. C1 D2答案 B解析 ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故选 B.4(2016余姚一模)已知平行四边形 ABCD 中，(3,7)，(2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则的坐标为( )A(，5) B(，5)C(，5) D(，5)答案 D解析 (2,3)(3,7)(1,10)，(，5)，(，5)11 / 145在ABC
16、中，点 D 在 BC 边上，且2，rs，则 rs 等于( )A. B. C3 D0答案 D解析 因为2，所以()，则 rs0，故选 D.6已知|1，|，0，点 C 在AOB 内，且与的夹角为 30，设mn(m，nR)，则的值为( )A2 B.5 2C3 D4答案 C解析 0，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系(图略)，(1,0)，(0，)，mn(m，n)OAtan 30，m3n，即3，故选 C.7在ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案 (3，5)解析 ，(1，1)，(3，5)8设 0，向量 a(sin 2，cos )，b(cos ，1
17、)，若ab，则 tan _.答案 1 2解析 ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，12 / 140，cos 0，2sin cos ，tan .9在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点若，其中 ，R，则 _.答案 4 3解析 选择，作为平面向量的一组基底，则，又()()，于是得解得Error!所以 .*10.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若mn，则 mn 的取值范围是_答案 (1,0)解析 由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D 三点共线，(1)，m
18、nkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而 mn(1,0)11(2016绍兴期末)正ABC 的边长为 1，向量xy，且x0，y1，xy，则动点 P 所形成的平面区域的面积为_答案 3 3813 / 14解析 如图所示，(x，y)|xy，x0，y1表示的区域为平行四边形 ABDC，因为当 xy1 时，xy，此时点 P 在 BC 上运动；当 xy时，xy，此时点 P 在 B1C1 上运动，且 B1，C1 分别为 AB，AC 的中点，当 xy时，xy，此时点 P 在 B2C2 上运动，且 AB2AC2，所以(x，y)|xy表示平行四边形 ABDC 中夹在 B1C1 和 B2C2 之间的部分，其面积
19、为3.12已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若2，求点 C 的坐标解 (1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C 三点共线，.2(b1)2(a1)0，即 ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得Error!点 C 的坐标为(5，3)*13. 如图所示，G 是OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA、OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线(1)设，将用 ， ，表示；(2)设x，y，证明：是定值(1)解 PQ()(1).(2)证明 一方面，由(1)，得(1)OGOQ14 / 14(1)xy；另一方面，G 是OAB 的重心，().由得Error!3(1)33(定值)