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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何第第 6 6 节双曲线教师用书文新人教节双曲线教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a0，c0.当 2a|F1F2|时，M 点不存在2双曲线
2、的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21(a0，b0)y2 a2x2 b2图形2 / 14范围xa或xa，yR RxR R，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxb ayxa b性质离心率e ，e(1，)，其中cc aa2b2a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为 e.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于
3、8的点的轨迹是双曲线( )(2)方程1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)已知双曲线1(a0)的离心率为 2，则 a( )A2 B.62C.D1D D 依题意，依题意，e e2 2，2a，则 a21，a1.3(2017福州质检)若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于( )3 / 14A11B9C5D3B B 由题意知由题意知 a a3 3，b b4 4，c
4、c5.5.由双曲线的定义由双曲线的定义|PF1|PF1|PF2|PF2|3|3|PF2|PF2|2a2a6 6，|PF2|PF2|9.9.4(2016全国卷)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1，)C(0,3)D(0，)A A 原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为 4.4.则Error!因此10，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_x21 由于 2xy0 是1 的一条渐近线，2，即 b2a，又双曲线的一个焦点为(，0)，则 c，由 a2b2c2，得 a2b25
5、，联立得 a21，b24. 所求双曲线的方程为 x21.双曲线的定义及应用(2017哈尔滨质检)已知双曲线 x21 的两个焦点为F1，F2，P 为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2 的面积为( )A48 B24C12D64 / 14B B 由双曲线的定义可得由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，因此 SPF1F2|PF1|PF2|24.规律方法 1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离
6、之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a 平方，建立|PF1|PF2|间的联系变式训练 1 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在 C 上若|F1A|2|F2A|，则 cosAF2F1( )A.B.1 3C.D.23A A 由由 e e2 2 得得 c c2a2a，如图，由双曲线的定义得，如图，由双曲线的定义得|F1A|F1A|F2A|F2A|2a.2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，
7、cosAF2F1.双曲线的标准方程(1)(2017广州模拟)已知双曲线 C：1 的离心率e，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为( ) 【导学号：31222317】5 / 14A.1B.1C.1D.1(2)(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为( )A.y21Bx21C.1D.1(1)C (2)A (1)由焦点 F2(5,0)知 c5.又 e，得 a4，b2c2a29.双曲线 C 的标准方程为1.(2)由焦距为 2 得 c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0 垂直，所以.又 c2a2b2，解得 a
8、2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件 “定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2By21(AB0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于B，C 两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线为_. 【导学号：31222318】(1)A (2)xy0 (1)如图，因为 MF1x 轴，所以|MF1|.在 RtMF1F2 中，由 sinMF2F1得tanMF2F1.7 / 14所以，即，即，整理得
9、 c2aca20，两边同除以 a2 得 e2e10.解得 e(负值舍去)(2)由题设易知 A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因为 A1BA2C，所以1，整理得 ab.因此该双曲线的渐近线为 yx，即 xy0.规律方法 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e1 这一条件2双曲线中 c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点” 、 “四线” 、 “两三角形” ，研究a，b，c，e 间相互关系及转化，简化解题过程变式训练 3 (2015全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶
10、点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为( )A.B2C.D.2D D 不妨取点不妨取点 M M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a01(a0，b0)b0)，则，则|BM|BM|AB|AB|2a2a，MBxMBx1801801201206060，M 点的坐标为.M 点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选 D.8 / 14思想与方法1求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量” ，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论
11、或恰当设置简化讨论若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B B 由题设知点由题设知点 P P 的轨迹方程是焦点在的轨迹方程是焦点在 x x 轴上的双曲线的右支，轴上的双曲线的右支，设其方程为设其方程为1(x01(x0，a0a0，b0)b0)，由题设知，由题设知c c3 3，a a2 2，b2b29 94 45.5.所以点 P 的轨迹方程为1(x0)4已知 F 为双曲线 C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点 F10 / 14到 C 的一条渐近线的距离为( )A.B3C.mD3mA A 由双曲线方程知由双曲线方程知
12、a2a23m3m，b2b23 3，c.不妨设点 F 为右焦点，则 F(，0)又双曲线的一条渐近线为 xy0，d.5(2017成都调研)过双曲线 x21 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|( )A.B23C6D43D D 由题意知，双曲线由题意知，双曲线 x2x21 1 的渐近线方程为的渐近线方程为 y yxx，将，将x xc c2 2 代入得代入得 y y22，即，即 A A，B B 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(2,2)(2,2)，(2(2，2)2)，所以所以|AB|AB|4.4.二、填空题6(2016江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中
13、，双曲线1的焦距是_2 由双曲线的标准方程，知 a27，b23，所以c2a2b210，所以 c，从而焦距 2c2.7已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为 xy0，则a_. 【导学号：31222319】双曲线y21 的渐近线为 y，已知一条渐近线为33xy0，即 yx，因为 a0，所以，所以 a.8(2016山东高考)已知双曲线 E：1(a0，b0)，若矩11 / 14形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_2 如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又 2|AB|3|BC|，232c，即 2b23ac，2(c2a2)
14、3ac，两边同除以 a2，并整理得2e23e20，解得 e2(负值舍去)三、解答题9已知椭圆 D：1 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G的方程. 【导学号：31222320】解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.3 分设双曲线 G 的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为 bxay0 且 a2b225，8 分又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r3.3，得 a3，b4，10 分双曲线 G 的方程为1.12 分10已知双曲线的中心在原点，焦点 F
15、1，F2 在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点 M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2 的面积. 【导学号：31222321】解 (1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等12 / 14设双曲线方程为 x2y2.2 分过点(4，)，1610，即 6.双曲线方程为 x2y26.4 分(2)证明：(32，m)，(23，m)MF2(32)(32)m23m2.6 分M 点在双曲线上，9m26，即 m230，0.8 分(3)F1MF2 的底|F1F2|4.由(2)知 m.10 分F1MF2 的高 h|m|，SF1MF246.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分
16、钟)1(2017河南中原名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于 A，B 两点，若OAB 的面积为，则双曲线的离心率为( )A. B.53C.D.133D D 由题意可求得由题意可求得|AB|AB|，所以，所以 SOABSOABcc，整理得，整理得. .因此因此 e e.2(2017天津河区质检)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_13 / 14x21 由双曲线的渐近线 yx，即 bxay0 与圆(x2)2y23 相切，则 b23a2.又双曲线的一个焦点为 F(2,0)，a2b24，
17、联立，解得 a21，b23.故所求双曲线的方程为 x21.3已知椭圆 C1 的方程为y21，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和B，且2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围. 【导学号：31222322】解 (1)设双曲线 C2 的方程为1(a0，b0)，则a23，c24，再由 a2b2c2，得 b21.4 分故 C2 的方程为y21.5 分(2)将 ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得k2且 k22，得 x1x2y1y22，2，即0，解得k23. 10 分由得k21，故 k 的取值范围为.12 分