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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何第第 7 7 节抛物线教师用书文新人教节抛物线教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的
2、标准方程与几何性质y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x02 / 15焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R焦半径|PF|x0p 2x0p 2y0p 2y0p 21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax2(a0)表示的曲线
3、是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是 x.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)若抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是( )A. B.15 16C.D0B B MM 到准线的距离等于到准线的距离等于 M M 到焦点的距离，又准线方程为到焦点的距离，又准线方程为y y，3 / 15设 M(x，y)，则 y1，y.3抛物线
4、yx2 的准线方程是( )Ay1 By2Cx1Dx2A A yyx2x2，x2x24y4y，准线方程为准线方程为 y y1.1.4(2017西安质检)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B B 抛物线抛物线 y2y22px(p0)2px(p0)的准线为的准线为 x x且过点且过点( (1,1)1,1)，故，故1 1，解得，解得 p p2 2，所以抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)(1,0) 5(2016浙江高考)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的
5、距离是_9 设点 M 的横坐标为 x0，则点 M 到准线 x1 的距离为x01，由抛物线的定义知 x0110，x09，点 M 到 y 轴的距离为 9.抛物线的定义及应用(1)(2014全国卷)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，点 A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|x0，则 x0( )A1 B2C4D8(2)已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_(1)A (2)2 (1)由 y2x，知 2p1，即 p，因此焦点 F，准线 l 的方程为 x.4 / 15设点 A(x0，y0)到
6、准线 l 的距离为 d，则由抛物线的定义可知d|AF|.从而 x0x0，解得 x01.(2)由 y24x，知 p2，焦点 F(1,0)，准线 x1.根据抛物线的定义，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又|AB|2p4 为最小值故|AC|BD|的最小值为 422.规律方法 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若 P(x0，y0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦 AB 的端
7、点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2 可由根与系数的关系整体求出变式训练 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1，由5抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小连接 AF 交抛物线于点 P，此时最小值为|AF|.5 / 15抛物线的标准方程与几何性质(1)点 M(5,3)到
8、抛物线 yax2 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是( )【导学号：31222323】Ax2y Bx2y 或 x2yCx2yDx212y 或 x236y(2)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 y(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k( )A.B1C.D2(1)D (2)D (1)将 yax2 化为 x2y.当 a0 时，准线 y，则 36，a.当 a0)与曲线 C 交于点 P，且 PFx 轴P(1,2)，将点 P(1,2)代入 y，得 k2.规律方法 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p
9、值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程6 / 15变式训练 2 (1)(2017河南中原名校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO 的面积为 4，则抛物线的方程为 ( )Ay26xBy28xCy216xDy215x 2(2)若抛物线 y22px 的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_(1)B (2)x2 (1)设 M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，
10、所以|MF|2p，由抛物线定义知 x2p，所以 xp，所以 yp.又MFO 的面积为 4，所以p4，解得 p4(p4 舍去)所以抛物线的方程为 y28x.(2)由椭圆1，知 a3，b，所以 c2a2b24，所以 c2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线 y22px 的焦点为.依题意，得2，于是抛物线的准线 x2.直线与抛物线的位置关系角度 1 直线与抛物线的交点问题(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M7 / 15关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；(2)除 H
11、以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P.又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，2 分故直线 ON 的方程为 yx，将其代入 y22px 整理得 px22t2x0, 解得 x10，x2.因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2.5 分(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt).8 分代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点.12 分规律方法 1.(1)本题求
12、解的关键是求出点 N，H 的坐标(2)第(2)问将直线 MH 的方程与抛物线 C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断2(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度 2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017泰安模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8. 【导8 / 15学号：31222324】(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点的直线
13、l2 与 l1 的垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，2 分(8)22p8，2p8，抛物线方程为 y28x.5 分(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M.6 分由得 y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8 分由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y2m28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2：xy8，M(8,0).10 分故 SFABSFMBSF
14、MA|FM|y1y2|324.12 分规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等方法3涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解思想与方法1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一9 / 15个定点 F(抛物线的焦点)，一条定直线 l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思
15、想在解题中有着重要作用3抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线 AB 的倾斜角为 ，则|AB|x1x2p.易错与防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分 yax2(a0)与 y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2mx 或 x2my(m0)2直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式3抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线当直线与抛
16、物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切课时分层训练课时分层训练( (五十一五十一) ) 抛物线抛物线A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1(2016四川高考)抛物线 y24x 的焦点坐标是( )A(0,2) B(0,1)10 / 15C(2,0)D(1,0)D D 由由 y2y24x4x 知知 p p2 2，故抛物线的焦点坐标为，故抛物线的焦点坐标为(1,0)(1,0) 2(2017云南昆明一中模拟)已知点 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，点 A 在抛物线 C 上，若|AF|4，则线段 AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( )A4B3C2D1B B 由题意易知由题意易
17、知 F(1,0)F(1,0)，F F 到准线的距离为到准线的距离为 2 2，A A 到准线的距离到准线的距离为为|AF|AF|4 4，则线段，则线段 AFAF 的中点到抛物线的中点到抛物线 C C 的准线的距离为的准线的距离为3.3.3抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是( )A.B.32C1D.3B B 由双曲线由双曲线 x2x21 1 知其渐近线方程为知其渐近线方程为 y yxx，即，即xyxy0 0，又 y24x 的焦点 F(1,0)，焦点 F 到直线的距离 d.4已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( )Ay22
18、xBy22xCy24xDy24xD D 因为双曲线的焦点为因为双曲线的焦点为( (，0)0)，( (，0)0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则，p2.所以抛物线方程为 y24x.5O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4，则POF 的面积为( )11 / 15【导学号：31222325】A2B22C2D4C C 如图，设点如图，设点 P P 的坐标为的坐标为(x0(x0，y0)y0)，由|PF|x04，得 x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以 SPOF|OF|y0|22.二、填空题6(2017山西四校三联)过抛物线 y24
19、x 的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦长|AB|为_. 【导学号：31222326】8 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是 F(1,0)，所以直线 AB 的方程是 yx1.联立消去 y 得 x26x10.所以 x1x26，所以|AB|x1x2p628.7已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为_ 点 A(2,3)在抛物线 C 的准线上2，p4，焦点 F(2,0)因此 kAF.8已知抛物线 x2ay 与直线 y2x2 相交于 M，N 两点，若MN 中点的横坐标为 3，则此抛物线方程为_
20、x23y 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去 y，得 x22ax2a0，12 / 15所以3，即 a3，因此所求的抛物线方程是 x23y.三、解答题9抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2y29 相交，公共弦 MN 的长为 2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解 由题意，设抛物线方程为 x22ay(a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则|MA|AN|，且 AN.3 分|ON|3，|OA|2，N(，2).6 分N 点在抛物线上，52a(2)，即 2a，故抛物线的方程为 x2y 或 x2y.8 分抛物线 x2y 的焦点坐标为，准线方程为 y.10 分抛物线
21、 x2y 的焦点坐标为，准线方程为 y.12 分10已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9. 【导学号：31222327】(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求 的值解 (1)由题意得直线 AB 的方程为 y2，与 y22px 联立，从而有 4x25pxp20，所以 x1x2.3 分13 / 15由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以 p4，从而该抛物线的方程为 y28x.5 分(2)由(1)得 4x25pxp20，即 x25x40，则x11，x24，于是 y1
22、2，y24，从而 A(1，2)，B(4,4).8 分设 C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42).10 分又 y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得 0 或 2.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2014全国卷)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|( )A.B6C12D73C C FF 为抛物线为抛物线 C C：y2y23x3x 的焦点，的焦点，F，AB 的方程为 y0tan 30，即 yx.联立得 x2x0，x1x2，即 xAxB.由于|AB|xAxB
23、p，|AB|12.2已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若0，则 k_.2 抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 yk(x2)，与14 / 15抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x24，x1x24.所以 y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)4.所以40，则 k24k40.因此得 k2.3抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B两点(1)若
24、2 ，求直线 AB 的斜率；(2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值【导学号：31222328】解 (1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 xmy1.将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得y24my40.2 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y1y24m，y1y24.因为2 ，所以 y12y2.联立上述三式，消去 y1，y2 得 m.所以直线 AB 的斜率是2.5 分(2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB.8 分15 / 15因为 2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4.12 分