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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-9-8 8 曲线与方程学案理曲线与方程学案理考纲展示 考点 1 直接法求轨迹方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题答案：(1)这个方程 (2)曲线上2求曲线方程的基本步骤典
2、题 1 (1)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.求动圆圆心的轨迹 C 的方程；已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点- 2 - / 11|O1M|，又|O1A|，化简得 y28x(x0)当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹 C
3、 的方程为 y28x.证明 由题意，设直线 l 的方程为 ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykxb 代入 y28x，得k2x2(2kb8)xb20.其中 32kb640.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以，即 y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得 2kb2(kb)(82kb)2k2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1)，即直线 l 过定点(1,0)(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(1,1)关于原点
4、 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于.求动点 P 的轨迹方- 3 - / 11程解 因为点 B 与点 A(1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，1)设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得，化简得 x23y24(x1)故动点 P 的轨迹方程为 x23y24(x1)点石成金 直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性考点 2 定义法求轨迹方程典
5、题 2 已知动圆 C 与圆 C1：(x1)2y21 相外切，与圆C2：(x1)2y29 相内切，设动圆圆心 C 的轨迹为 T，且轨迹 T 与x 轴右半轴的交点为 A.(1)求轨迹 T 的方程；(2)已知直线 l：ykxm 与轨迹 T 相交于 M，N 两点(M，N 不在x 轴上)若以 MN 为直径的圆过点 A，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解 (1)设动圆 C 的半径为 r，则|CC1|r1，|CC2|3r，|CC1|CC2|4.点 C 的轨迹是以 C1，C2 为焦点(c1)，长轴长为 2a4 的椭圆，- 4 - / 11点 C 的轨迹 T 的方程是1.(2)设 M(x1，y1)，N
6、(x2，y2)，将 ykxm 代入椭圆方程，得(4k23)x28kmx4m2120.x1x2，x1x2.以 MN 为直径的圆过点 A，点 A 的坐标为(2,0)，0，即(x12)(x22)y1y20.y1kx1m，y2kx2m，y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.将代入，得 7m216km4k20.或2，且都满足 0.由于直线 l：ykxm 与 x 轴的交点为，当2 时，直线 l 恒过定点(2,0)，不合题意，舍去，直线 l：yk 恒过定点.点石成金 1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知曲线
7、的轨迹类型，其方程是几何形式的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解.如图，已知ABC 的两顶点坐标 A(1,0)，B(1,0)，圆 E 是ABC 的内切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为P，Q，R，|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点 C 的轨迹为曲线 M.求曲线 M 的方程解：由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，- 5 - / 11所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)设曲线 M：1(ab0，y0)，则 a24，b2a223，所以曲线 M 的方程为1(y0)考点 3 代入法求轨迹方程典题
8、 3 2017山东泰安质检如图所示，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆 C2：y21 相交于 A，B，C，D四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左，右顶点(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程解 (1)设 A(x0，y0)，则 S 矩形 ABCD4|x0y0|，由y1 得 y1，从而 xyx2.当 x，y时，Smax6.从而 t2xy5，t，当 t时，矩形 ABCD 的面积取得最大值，最大值为 6.(2)由椭圆 C2：y21 知，A1(3,0)，A2(3,0)，由曲线的对称性及 A(x0，y
9、0)，得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)，直线 AA1 的方程为 y(x3)，直线 A2B 的方程为 y(x3)由，得 y2(x29)又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y1.- 6 - / 11将代入得y21(x3，y0)点 M 的轨迹方程为y21(x3，y0)点石成金 代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标 P(x，y)(2)寻求所求动点 P(x，y)与已知动点 Q(x，y)的关系(3)建立 P，Q 两坐标间的关系，并表示出 x，y.(4)将 x，y代入已知曲线方程中化简求解.1.2017宁夏银川模拟动点 A 在圆 x2y21 上移动时，它与定点 B(3,0
10、)连线的中点的轨迹方程是_答案：(2x3)24y21解析：设中点 M(x，y)，由中点坐标公式，可得 A(2x3,2y)，点 A 在圆上，将点 A 坐标代入圆的方程，轨迹方程为(2x3)24y21.2设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且2，.当点P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程解：设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即Error!x0，即 y24x.故所求点 N 的轨迹方程是 y24x.方法技巧 求轨迹方程的三种方法：(1)直接法：
11、如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距- 7 - / 11离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为 x，y 的等式就得到曲线的轨迹方程(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程(3)代入法(相关点法)：所求动点 M 是随着另一动点 P(称之为相关点)而运动的如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法易错防范 1.求轨迹方程时，要注意曲线上的
12、点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等真题演练集训 12016新课标全国卷设圆 x2y22x150 的圆心为A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求
13、四边形 MPNQ 面积的取值范围解：(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC.所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.- 8 - / 11又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得，点 E的轨迹方程为1(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y(x1)，A
14、 到 m 的距离为，所以|PQ|24.故四边形 MPNQ 的面积为S|MN|PQ|12.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8)22016湖北卷一种作图工具如图所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DNON1，MN3 .当栓子 D 在滑槽 AB内做往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周(D 不动时，N
15、也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系- 9 - / 11 (1)求曲线 C 的方程；(2)设动直线 l 与两定直线 l1：x2y0 和 l2：x2y0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由解：(1)设点 D(t,0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且Error!即且 t(t2x0)0. 由于当点 D 不动时，点 N 也不动，所以 t 不恒
16、等于 0，于是 t2x0，故 x0，y0.代入 xy1，可得1，故曲线 C 的方程为1.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有SOPQ448. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykxm，由消去 y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 64k2m24(14k2)(4m216)0，即 m216k24.(*1)又由 可得 P；- 10 - / 11同理可得 Q.由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d和|PQ|xPxQ|，可得 SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.(*2)将(*1)代入(*2)，得SOP
17、Q8. 当 k2时，SOPQ888；当 0k20)，O 为顶点，A，B 为抛物线上的两动点，且满足 OAOB，如果 OMAB 于点 M，则点 M 的轨迹为_审题视角 (1)点 M 的运动是由点 A 的运动引起的，而 A 的变动又和 OA 的斜率有关(2)若 OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可以选 OA 的斜率为参数解析 设点 M 的坐标为(x，y)，直线 OA 的方程为 ykx，显然 k0，则直线 OB 的方程为 yx.由得点 A 的坐标为，同理可得，点 B 的坐标为(4pk2，4pk)- 11 - / 11从而知当 k1 时，kAB.故得直线 AB 的方程为 y4pk(x4pk2)，即 y4px0，直线 OM 的方程为 yx.可知点 M 的坐标同时满足，由及消去 k，得 4pxx2y2，即(x2p)2y24p2(x0)，当 k1 时，容易验证点 M 的坐标仍适合上述方程故点 M 的轨迹方程为(x2p)2y24p2(x0)，其轨迹是以点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆答案 以点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆