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1、1第第 0101 节节 任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.2018 年浙江卷 181.1.三角函数的定义； 2.2.扇形的面积、弧长及圆心角；3.在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标4.4.备考重点：备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清
2、单知识清单】1 1象限角及终边相同的角象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kZ Z)2.弧度制：1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，| ，l是以角作l r为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值 与所取的r的大小无关，仅与角的大小有l r关3.弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度2 2三角函数的定义三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：
3、 设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数y x2值的函数2三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中 cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan AT.我们把有向线段
4、OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线3.3. 扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr |r2.1 21 2【重点难点突破重点难点突破】考点 1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同的角；(2)设集合M=18045 ,N=18045 ,24kkx xkx xkZZ，判断两集合的关系【答案】 （1）675或315.(2)MN.【1-2】终边在直线yx上的角的集合为_33【答案】|k，kZ Z 3【解析】终边在直线yx上的角的集合
5、为|k，kZ Z3 3【1-3】若角是第二象限角，试确定2，2的终边所在位置【答案】角2的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上,2的终边在第一象限或第三象限.【解析】角是第二象限角， 22,2kkkZ，（1）4242 ,kkkZ， 角2的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上（2） ,422kkkZ，当2 ,kn nZ时， 22 ,422nnnZ，2的终边在第一象限当21 ,knnZ时，5322 ,422nnnZ，2的终边在第三象限综上所述，2的终边在第一象限或第三象限【领悟技法】1.对与角终边相同的角的一般形式k360(kZ Z)的理解;(1)kZ;(2)Z;(2) 任意角;(3)终边
6、相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3.已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】 【浙江省杭州第二中学三角函数】若是第三象限的角, 则2是 （ ）A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D.第二或第四象限4的角【答案】B【变式二】 【浙江省东阳中学 3 月月考】已知且，则角 的终边所在的象限是A. 第一象
7、限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角 终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案 B.考点 2 三角函数的定义【2-1】 【浙江省台州中学期中】已知角 的终边过点,且，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用角 的终边过点 ，结合，判断 所在象限，利用三角函数的定义，求出 的值即可.详解：由题意可知，是第三象限角，可得，即，解得，故选 B. 【2-2】 【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角 的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据三角
8、函数的定义求解即可详解：由三角函数的定义可得5故选 B【2-3】 【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆 于点 ，若，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可.详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.【2-4】已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为( )(sin2 3，cos23)A. B. C. D.5 62 35 311 6【答案】D【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin ，故2 3322k(kZ Z)，所以的最小正值为. 611 6【领悟技法】1.已知角终边上一
9、点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【触类旁通】【变式一】已知角的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是( )A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】 cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上Error!Error!2a3.故选 A.6【变式二】已知角 的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛
10、：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点考点 3 3 扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式【3-1】 【浙江省诸暨中学 2017-2018 学年第二阶段】已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4【答案】C【解析】设扇形的半径为r，弧长为 l，则121282lrSlr， 解得28rl， 或44rl， 41l r 或， 故选 C【3-2】 【2018 届黑龙江省齐齐哈尔八中 8 月月考】若扇形的
11、圆心角120，弦长12ABcm，则弧长l _ cm【答案】8 3 3【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为 rcm，由 sin60=6 r，得 r=43cm，7l=nr 180=2 343= 8 3 3 cm.【领悟技法】(1)弧度制下l|r，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积1 2nr 180S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系nr2 360(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形【触类旁通】【变式一】 【浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题】若扇形的面积为3 8,半径为 1，则扇形的圆心角为 （ ）A. 3 2B. 3 4C. 3 8D. 3
12、 16【答案】B【解析】设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为3 8，半径为 1，2313 824l 故选 B【变式二】 【浙江省 9+1 高中联盟期中联考】如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_.【答案】22；【解析】设正方形的边长为a，由已知可得222112422aaa .【易错试题常警惕易错试题常警惕】易错典例：已知角的终边过点( ,2 )mm,0m ,求角的的正弦值、余弦值.易错分析：学生在做题时容易遗忘0m 的情况正确解析：当0m 时，2 555 ,sin,cos55rm ；8当0m 时，2 555 ,si
13、n,cos55rm 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数“与“形“反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，
14、使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】 【2018 年 5 月 3 日 三角函数线每日一题 】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】 （1）（，） ，作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PMx轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；（2）（，） ，9在第三象限内作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、 正切线