《1995考研数二真题及解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1995考研数二真题及解析.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设221cos()sinyxx,则y.(2)微分方程2yyx 的通解为.(3)曲线231xtyt 在2t 处的切线方程为.(4)22212lim()12nnnnnnnnn.(5)曲线22xyx e的渐近线方程为.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设
2、()f x和()x在(,)内有定义,()f x为连续函数,且()0f x,()x有间断点,则 ()(A)()f x必有间断点 (B)2()x必有间断点(C)()fx必有间断点 (D)()()xf x必有间断点(2)曲线(1)(2)yx xx与x轴所围图形的面积可表示为 ()(A)20(1)(2)x xx dx (B)1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx(C)1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx (D)20(1)(2)x xx dx(3)设()f x在(,)内可导,且对任意12,x x,当12xx时,都有12()()f xf x,则()(A)对任意
3、,()0 x fx (B)对任意,()0 x fx (C)函数()fx单调增加 (D)函数()fx单调增加(4)设函数()f x在0,1上()0fx,则(1)(0)(1)(0)ffff、或(0)(1)ff的大小欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！顺序是 ()(A)(1)(0)(1)(0)ffff (B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff (D)(1)(0)(1)(0)ffff(5)设()f x可导,()()(1|sin|)F xf xx,若使()F x在0 x 处可导,则必有 ()(A)(0)0f (
4、B)(0)0f (C)(0)(0)0ff (D)(0)(0)0ff 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)(1)求01coslim(1 cos)xxxx.(2)设函数()yy x由方程()fyyxee确定,其中f具有二阶导数,且1f ,求22d ydx.(3)设222(1)ln2xf xx,且()lnfxx,求()x dx.(4)设21arctan,0,()0,0,xxf xxx试讨论()fx在0 x 处的连续性.(5)求摆线1 cossinxtytt 一拱(02t)的弧长.(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00tvv,已知阻力与速度成正比(比例常数为 1),问t
5、为多少时此质点的速度为03v？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分 8 分)求函数20()(2)xtf xt e dt的最大值和最小值.五、(本题满分 8 分)设xye是微分方程()xyp x yx的一个解,求此微分方程满足条件ln20 xy的特解.六、(本题满分 8 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！如图,设曲线L的方程为()yf x,且0y,又,MT MP分别为该曲线在点00(,)M xy处的切线和法线,已知线段MP的长度为32200(1)yy(其中00(),yy x 00()yyx),试推导出点(,)P 的坐标表达
6、式.七、(本题满分 8 分)设0sin()xtf xdtt,计算0()f x dx.八、(本题满分 8 分)设0()lim1xf xx,且()0fx,证明()f xx.x y O T L 00(,)M xy(,)P 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】22222cos()sin12 sin()sinxxxxxx 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,222211cos()sinco
7、s()sinyxxxx 22221111sin()2sincos()2sincos(1)xxxxxxx 22222cos()sin12 sin()sinxxxxxx.【相关知识点】复合函数求导法则：()yf x的导数为()()yf xfx.(2)【答案】12cossin2ycxcxx【解析】微分方程2yyx 对应的齐次方程0yy的特征方程为210r ,特征根为1,2ri,故对应齐次方程的通解为12cossinCxCx.设非齐次方程的特解Yaxb,则Ya,0Y,代入微分方程2yyx,得 02axbx,比较系数得2,0,ab 故2Yx.所以通解为 12cossin2yCxCxx.【相关知识点】1.
8、二阶线性非齐次方程解的结构：设*()yx是二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解.()Y x是与之对应的齐次方程()()0yP x yQ x y的通解,则*()()yY xyx是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x,可用特征方程法求解：即()()0yP x yQ x y中的()P x、()Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e 欢迎您阅读并
9、下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解*()yx,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmf xPx e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmyxx Qx e 的特解,其中()mQx是与()mPx相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如
10、果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(3)【答案】370yx【解析】切线的斜率为 2222233322ttttdydytdttdxdxtdt.当2t 时,5,8xy.故所求切线方程为 83(5)yx.化简得 370yx.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()xtyt,则()()
11、dytdxt.(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令 2221212nnannnnnnn 则 22212nnannnnnnnnn 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！221(1)1222211.22n nnnnnnnn 又 222221(1)1212122nn nnnannnnnnnnnn,即 111222nnan,所以 11111limlimlim22222nnnnnan.由夹逼准则,得1lim2nna.即 222121lim()122nnnnnnnnn.(5)【答案】0y 【解析】函数22xyx e的定义域为全体实数
12、,且 22limlim0 xxxyx e,所以曲线只有一条水平渐近线0y.【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yf x在其间断点0 xx处有0lim()xxf x,则 0 xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim()xf xa(a为常数),则ya为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数()()xf x无间断点,因为()f x是连续函数,则()()()()xxf xf x必无间断点,这与()x有间断点矛盾,故应选择(D)
13、.方法二：排除法,举出反例排除.设 1,0,()1,()1,0,xf xxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！则2()1,()1,()1f xfxx都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有 2200(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx 1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx 应选择(C).方法二：画出曲线(1)(2)yx xx的草图,所求面积为图中两面积之和,即 1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx d
14、x,故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对任意12,x x,当12xx时,12xx,则函数12()()fxfx,即 12()()fxfx,故()fx是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令3()f xx,则对任意12,x x,当12xx时,都有12()()f xf x,但 20(0)30 xfx,2()3()0fxx,3()fxx,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由()0fx可知()fx在区间0,1上为严格的单调递增函数,故(1)()(0),(01)ffxfx 由微分中值定理,(1)(0)(),(01)fff.所以(1)(1)
15、(0)()(0)fffff,(01)应选择(B).(5)【答案】(A)【解析】函数()f x在0 xx处可导的充分必要条件是0()fx与0()fx存在且相等.由于()()()|sin|F xf xf xx,而()f x可导,所以()F x在0 x 处可导等价于()|sin|f xx在0 x 可导.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！令()()|sin|xf xx,则 0000()|sin|()sin(0)limlim(0),()|sin|()sin(0)limlim(0),xxxxf xxf xxfxxf xxf xxfxx 于是要使(
16、)F x在0 x 处可导,当且仅当(0)(0)ff,即(0)0f.故选择(A).三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当0 x 时,sin xx.原式222000222sin1 cos111122limlimlim2221cos1 cos2 sin222xxxxxxxxxxxxx.(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对x求导,得 ()()()fyfyyexefyyey,即 ()()()fyyfyeyexfy e,将()fyyxee代入并化简,得 1(1()yxfy.两边再对x求导,得 220(1()(1
17、()()(1()(1()xfyfyxfyyyxfyxfy 221()(1()(1()y fyxfyxfy .将1(1()yxfy 代入并化简得 3221()(1()(1()fyyxfyxfy .方法二：方程两边先取对数再对x求导.方程两边取对数得 ln()xf yy,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！求导得 1()fyyyx,因为1f ,所以 1(1()yxfy.以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：()yf x的导数为()()yf xfx.(3)【解析】首先应求出()x的表达式.由 222221 1(1)lnln21 1xx
18、f xxx ,令21,xt 得1()ln1tf tt.又()1()lnln()1xfxxx,则()1()1xxx.解得1()1xxx.因此 12()(1)2ln111xx dxdxdxxxCxx.(4)【解析】函数()f x在0 xx处的导函数连续的充分必要条件是0()fx与0()fx存在且必与0()fx相等.当0 x 时,22412()arctan1xfxxx,由于 224000012lim()lim()lim()lim arctan0122xxxxxfxfxfxxx ,2000()(0)()1(0)limlimlimarctan02xxxf xff xfxxx,所以 00lim()lim(
19、)(0)xxfxfxf .故()fx在0 x 处连续.(5)【解析】由弧微分公式得 2222()()sin(1 cos)2(1cos)dsx ty tdtttdtt dt,所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！222220000202(1 cos)2 2sin2sin2sin2224 cos4(1 1)8.2tttst dtdtdtdtt (6)【解析】设质点的运动速度为()v t,由题设,阻力为()v t,按牛顿第二定律有()()dv tmv tdt,其中质量1m,即()()dv tv tdt.这是简单变量可分离的微分方程,解之得
20、()tv tCe.另有初始条件0(0)vv,得0()tv tv e.当此质点的速度为03v时,有003tvve,得ln3t.到此时刻该质点所经过的路程为 ln3ln300000012133ttsv e dtvevv .四、(本题满分 8 分)【解析】对函数20()(2)xtf xt e dt两边求导并令()0fx,得 22()2(2)0 xfxxx e,解得驻点0,2xx.由于 ()0,2,()()0,20,()()0,02,()()0,2,()fxxf xfxxf xfxxf xfxxf x 严格单调增,严格单调减,严格单调增,严格单调减,所以(2),(2)ff为函数()f x的极大值点,(
21、0)f为函数()f x的极小值点,且 2222000(2)(2)(2)1tttft e dtt ee dte ,00(0)(2)0tft e dt,又 000lim()li(2)(2)1m()xxtttf xft e dtt ee dtx,所以 2(2)1fe 为函数()f x最大值,(0)0f为函数()f x的最小值.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【相关知识点】积分上限函数的求导公式：xxdf t dtfxxfxxdx.五、(本题满分 8 分)【解析】把xye和xye 代入所给的一阶线性微分方程,得()xxxep x ex,解得
22、 ()xp xxex.线性方程被确定为()xxyxex yx,即(1)1xyey.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 (1)(1)xxedxedxyeedxC xxxxxxeexexexexexeeedxCedxCeedxCe ()xxxexexexeeCeCe.再由 ln20 xy得ln 2ln2ln20eeCe,即12Ce.故所求的特解为 12xexxyee.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()yp x yq x的通解公式为:()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.六、(本题满分 8 分)【解析】要求点P的坐标,也就是说,要用0000,xyyy表示出
23、,.由3 22001MPyy,有 3202200201()()yxyy,又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知 000 xyy ,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！把式,即000()()xyy 代入消去,得到 2222000()(1)/yyy,由0y,知曲线是向上凹的,容易看出0y,所以可化为 20001yyy,且 2000000(1)()yyxyyy ,于是得 200002000(1),1(1).yxyyyyy 七、(本题满分 8 分)【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 sin()
24、xfxx,因而由分部积分法和00sin(0)0tfdtt,有 0000()()()()()()()f x dxf x d xf x xfxx dx 000sin()sincos2xxdxxdxxx.方法二：对于二重积分000sin()xtf x dxdt dxt,可以通过变换积分次序来求解.000sinsin()xDttf x dxdt dxdtdxtt,其中(,)0,0(,)0,.Dx txtxx tttx 于是 0000sinsin()sin2ttttf x dxdx dtdtdxtdttt.八、(本题满分 8 分)【解析】由于 0()lim1xf xx,所以必有(0)0f,且 欢迎您阅读
25、并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！00()(0)()(0)limlim10 xxf xff xfxx.证法一：用函数单调性证明不等式.令 ()()xf xx,则 ()()1()(0)xfxfxf.由于()0fx,所以函数()fx单调增加,()()(0)0,0,()()(0)0,0,xfxfxxfxfx()x在0 x 由负变正,所以0 x 是()x的极小值点也是最小值点,()()(0)(0)00 xf xxf,即()f xx.证法二：用泰勒公式.2211()(0)(0)()()2!2f xffxfxxfx.因为()0fx,所以 21()02fx.所以 21()()2f xxfxx.