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1、直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.（2014?海南,第 6 题 3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是（）A 120 B 90 C 60 D 30 考点：直角三角形的性质 分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 解答：解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30 故选 D 点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键 2（2014?随州，第 7 题 3 分）如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在C 点测得BCD=60，又测得AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（
2、）A 100 米 B 50 米 C 米 D 50 米 考点：解直角三角形的应用 分析：过 B 作 BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根据等角对等边可得 BC=AC，然后再计算出CBM 的度数，进而得到 CM 长，最后利用勾股定理可得答案 解答：解：过 B 作 BMAD，BAD=30，BCD=60，ABC=30，AC=CB=100 米，BMAD，BMC=90，CBM=30，CM=BC=50 米，BD=50 米，故选：B 点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明 AC=BC，掌握直角三角形的性质：30角所对直角边等于斜边的一半 3（2014?黔南州，第 11 题 4
3、 分）如图，在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，EDAB 于 D如果A=30，AE=6cm，那么 CE 等于（）A cm B 2cm C 3cm D 4cm 考点：含 30 度角的直角三角形 分析：根据在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半得出 AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出 ED=CE，即可得出 CE 的值 解答：解：EDAB，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90，BE 平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故选 C 点评：此题考查了含 30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边
4、的一半和角平分线的基本性质，关键是求出 ED=CE 4(2014 年广西钦州，第 12 题 3 分)如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只能沿图中的线段走，那么从 A 点到B 点的最短距离的走法共有（）A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4种 考点：勾股定理的应用 专题：计算题 分析：如图所示，找出从 A 点到 B 点的最短距离的走法即可 解答：解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为 +1=2 +1，则从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种，故选 C 点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键 5(2014
5、 年贵州安顺，第 9 题 3 分)如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点且 AE：EB=4：1，EFAC 于 F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（）A A B C D 考点：锐角三角函数的定义.分析：tanCFB 的值就是直角BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解 解答：解：根据题意：在 RtABC 中，C=90，A=30，EFAC，EFBC，AE：EB=4：1，=5，=，设 AB=2x，则 BC=x，AC=x 在 RtCFB 中有 CF=x，BC=x 则 tanCFB=故选 C 点评：本题考查
6、锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边 6（2014?山西，第 4 题 3 分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 考点：勾股定理的证明 分析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明 解答：解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理 故选 C 点评：本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明 7.（2014?乐山，第 7 题 3 分）如图，ABC 的顶点 A、B、C 在
7、边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D则 CD 的长为（）A B C D 考点：勾股定理；三角形的面积.分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得 BD 的长度；最后在直角BCD 中，利用勾股定理来求 CD 的长度 解答：解：如图，由勾股定理得 AC=BC2=AC?BD，即 22=BD BD=在直角BCD 中，由勾股定理知，CD=故选：C 点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段 BD 的长度是解题的关键 8.（2014?丽水，第 4 题 3 分）如图，直线 ab，ACAB，AC 交直线 b 于点C，1=60，则2 的度数是（）A 50 B 45 C
8、35 D 30 考点：平行线的性质；直角三角形的性质 分析：根据平行线的性质，可得3 与1 的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是 90，根据角的和差，可得答案 解答：解：如图 ，直线 ab，3=1=60 ACAB，3+2=90，2=903=9060=30，故选：D 点评：本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差 9(2014 年湖北黄石)（2014?湖北黄石,第 5 题 3 分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中1+2 的度数是（）第 1 题图 A 30 B 60 C 90 D 120 考点：直角三角形的性质 分析：根据直角三角形两锐角互余解答 解答
9、：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，1+2=90 故选 C 点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键 10（2014?湖北荆门,第 12 题 3 分）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）第 2 题图 A4 dm B 2 dm C 2 dm D 4 dm 考点：平面展开-最短路径问题 分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可 解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小
10、为 2AC 的长度 圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm，AC2=22+22=4+4=8，AC=2 ，这圈金属丝的周长最小为 2AC=4 cm 故选 A 点评：本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决 11（2014?四川绵阳,第 11 题 3 分）在边长为正整数的ABC 中，AB=AC，且 AB 边上的中线 CD 将ABC 的周长分为 1：2 的两部分，则ABC 面积的最小值为（）A B C D 考勾股定理；三角形的面积；三角
11、形三边关系；等腰三角形的性质 点：分析：设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，分为的两部分边长分别为 n 和 2n，再根据题意列出关于 x、n、y 的方程组，用 n 表示出 x、y 的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的 x、y 的值，由 n 是正整数求出ABC 面积的最小值即可 解答：解：设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，分为的两部分边长分别为 n 和 2n，得 或 ，解得 或 ，2 （此时不能构成三角形，舍去）取 ，其中 n 是 3 的倍数 三角形的面积 S=n2，对于 S=n2=n2，当 n0 时，S随着 n 的增大而增大，故当 n=3 时，S=取最小 故选：C 点评：本题考查的是
12、三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于 x、n、y的方程组是解答此题的关键 二、填空题 1.（2014?无锡，第 15 题 2 分）如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于 8 考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线 分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AC=2DE=10；然后在直角ACD 中，利用勾股定理来求线段 CD 的长度即可 解答：解：如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，DE=5，DE=AC=5，AC=10 在直角ACD 中，ADC=90，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
13、 CD=8 故答案是：8 点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 AC 的长度是解题的难点 2(2014 年广西南宁，第 17 题 3 分）如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 40的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C 位于北偏东 30的方向，则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 等于 10 海里 考点：解直角三角形的应用-方向角问题.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出CAD=30，CBD=60，再由三角形外角的性质得到CAD=30=ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解 RtB
14、CD，求出 CD 即可 解答：解：根据题意可知CAD=30，CBD=60，CBD=CAD+ACB，CAD=30=ACB，AB=BC=20 海里，在 RtCBD 中，BDC=90，DBC=60，sinDBC=，sin60=，CD=12sin60=20 =10 海里，故答案为：10 点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 3(2014?黑龙江牡丹江,第 16 题 3 分)如图，在等腰ABC 中，AB=AC，BC边上的高 AD=6cm，腰 AB 上的高 CE=8cm，则ABC 的周长等于 12 cm 第
15、1 题图 考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质版权所有 分析：根据三角形的面积求得 =，根据勾股定理求得 AB2=BC2+36，依据这两个式子求出 AB、BC 的值，即可求得周长 解答：解：AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高，AB?CE=BC?AD，AD=6，CE=8，=，=，AB=AC，ADBC，BD=DC=BC，AB2BD2=AD2，AB2=BC2+36，=，整理得；BC2=，解得：BC=，AB=BC=，ABC 的周长=2AB+BC=2 +=12 故答案为 12 点评：本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出 AB 与 BC的数量关系是本题的关键 三、解答题 1.（2014?河北，第 22 题 10 分）如图 1，A，B，C 是三个垃圾存放点，点B，C 分别位于点 A 的正北和正东方向，AC=100 米四人分别测得C 的度数如下表：