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1、勾股定理与它的逆定理的证明勾股定理与它的逆定理的证明教学目标：教学目标：1进一步掌握推理的方法，发展演绎推进一步掌握推理的方法，发展演绎推理能力。理能力。2了解勾股定理及其逆定理的证明方法。了解勾股定理及其逆定理的证明方法。3灵活运用勾股定理的逆定理。灵活运用勾股定理的逆定理。勾股定理w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（达哥拉斯定理（pythagoras theorem
2、）.acb勾弦股我们曾经利用什么方法得到勾股定理？我们曾经利用什么方法得到勾股定理？勾股定理的证明勾股定理的证明l方法一方法一:拼图计算拼图计算l方法二方法二：割补法：割补法l方法三方法三：赵爽的弦图：赵爽的弦图l方法四方法四：总统证法：总统证法l方法五方法五：青朱出入图：青朱出入图l方法六方法六：折纸法：折纸法l方法七方法七：拼图计算：拼图计算这些证法你还能记得多少这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法你最喜欢哪种证法?ABC图1-2448方法一：数方格方法一：数方格方法二：拼接图形证明方法二：拼接图形证明将四个全等的直角三角形拼成如图正方形将四个全等的直角三角形拼成如图正方形 拼接图形证
3、明二拼接图形证明二(赵爽弦图）赵爽弦图）总统证法总统证法l这个证明方法出自一位总统这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统就任美国第二十任总统,在在 1876,利用了梯形面利用了梯形面积公式。积公式。l图中三个三角形面积的和是图中三个三角形面积的和是l2ab/2c/2;梯形面积为梯形面积为(a+b)(a+b)/2;l比较可得比较可得:c2=a2+b2。人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为明，就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。勾股定理不只是数
4、学家爱好，还有达芬奇画家证法等等。勾股定理不只是数学家爱好，还有达芬奇画家证法等等。ababcc方法四：欧几里得证明方法方法四：欧几里得证明方法（课本（课本2020页页,自己课下阅读）自己课下阅读）勾股定理勾股定理:直角三角形直角三角形两条直角边两条直角边的平方和的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.反之反之,在一个三角形中在一个三角形中,当两边的平方和等于当两边的平方和等于第三边的平方时第三边的平方时,这个三角形是直角三角形。这个三角形是直角三角形。你能证明吗？你能证明吗？勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这那么这
5、个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形.l已知已知:如图如图(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2.l求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)方法一方法一:度量法度量法:方法二方法二:证明证明分析分析:由边的关系推出角是由边的关系推出角是9090度度,是不容易的是不容易的,如果能借如果能借助于助于ABCABC与一个直角三角形全等与一个直角三角形全等,导出导出A=90A=90 即可即可.逆定理的证明逆定理的证明l证明证明:作作Rt ABCABC使使C=900,AC=AC,BC=BC(如图如图),则则l已知已知:如图
6、如图(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2.l求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)acbBAC(2)AC2 2+BC2 2=AB2 2(勾股定理勾股定理).ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2(已知已知),),AC=AC,BC=BC(作图作图),),AB2 2=AB2 2(等式性质等式性质).).AB=AB(等式性质等式性质).).ABC ABC ABCABC(SSS).(SSS).C=C 900(全等三角形全等三角形的对应边的对应边).).ABC ABC是直角三角形是直角三角形(直角三直角三角形
7、意义角形意义).).几何的几何的三种语言三种语言w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于如果三角形两边的平方和等于第三边平方第三边平方,那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在在ABCABC中中ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2(已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平方和如果三角形两边的平方和等于第三边平方等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).acbABC(1)应用应用1:1:下列选项的各组数中下列选项的各组数中,能构成的是直角能构成的是直
8、角三角形的三边三角形的三边()()A 0.3,0.4,0.5 B 6 ,7 ,8A 0.3,0.4,0.5 B 6 ,7 ,8C 15 ,20 ,30 D 6 ,11,21C 15 ,20 ,30 D 6 ,11,21点评点评:先去掉先去掉D D答案答案,再利用两条较短边的平方和能再利用两条较短边的平方和能否等于最长边的平方否等于最长边的平方.验一次即可验一次即可.应用应用2:在在ABCABC中中,AB=13cm,BC=10cm,AB=13cm,BC=10cm,BCBC边上的中线边上的中线AD=12cm,AD=12cm,求证求证AB=AC.AB=AC.ABCD13125应用应用3 3、有一块三
9、角形空地，它的三边分别长、有一块三角形空地，它的三边分别长45m45m，60m60m，70m70m，已知，已知60m60m长的边线为南北向，长的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？是否有一条边线为东西向？60m又又45+60 70所以没有一条边线为东西向所以没有一条边线为东西向这三条边不能组成直角三角形这三条边不能组成直角三角形所以没有一条边线与所以没有一条边线与60米的线垂直米的线垂直命题与逆命题命题与逆命题w直角三角形直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方.w如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么那么这个三角形是直角
10、三角形这个三角形是直角三角形w观察上面两个命题观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样它们的条件与结论之间有怎样的关系的关系?与同伴交流与同伴交流.命题与逆命题命题与逆命题w如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等,w如果两个角相等如果两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角;w如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧那么他一定会发烧,w如果小明发烧如果小明发烧,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎;w三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的边所对的角相等,w三角形中相等的角所对的边相等三角形中相等的角所对的边相等.w再观察下面三组命题再观察下面三组命
11、题的条件和结论之间也有类似的条件和结论之间也有类似的关系吗的关系吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分分别是另一个命题的别是另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题那么这两个命题称为称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.w你能写出命题你能写出命题“如果两个有理数相等如果两个有理数相等,那么它们的那么它们的平方相等平方相等”的逆命题吗的逆命题吗?w它们都是真命题吗它们都是真命题吗?w想一想想一想:一个命题是真命题一个命题是真命题,它逆命题
12、是真命题还是假命题它逆命题是真命题还是假命题?定理与逆定理定理与逆定理w一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题.w我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,w两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗?w想一想想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定
13、理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.蓄势待发蓄势待发老师提示老师提示:你是否能将有关命题的知识予以整理你是否能将有关命题的知识予以整理.w说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假并判断每对命题的真假:w四边形是多边形四边形是多边形;w两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补;w如果如果ab=0,那么那么a=0,b=0.w请你举出一些命题请你举出一些命题,然后写出它的逆命题然后写出它的逆命题,并判断并判断这些逆命题的真假这些逆命题的真假.学无止境学无止境l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理勾股定理是数学上有证明方
14、法最多的定理有四百多种说明！有四百多种说明！l古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的这在数学史上是十分罕见的.P19P19读一读：读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明.学无止境学无止境 历时几千年的两个定理，牵
15、动着世界上不知多历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。P18P18读一读：读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明.l学习永远是件快乐而有趣的事！学习永远是件快乐而有趣的事！l勾股定理的魅力将把
16、你引入一个奇妙的境界！勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！回味无穷v勾股定理:w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.v勾股定理的逆定理:l如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.v命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为
17、互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.v定理与逆定理定理与逆定理w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.知识的升华独立独立作业作业 1、P19-20勾股定理的证明2、P21-22的1-5题祝你成功！3在正方形在正方形ABCD中中,F为为CD的中点的中点,E为为C上的一点上的一点,且且EC=BC求证求证:EFA=9014ABCDEF.方法一方法一:利用相似证明利用相似证明.方法二方法二:利用勾股定理计算利用勾股定理计算三边三边,再利用勾股定理逆定再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形理判定是直角三角形
18、.习题习题1.4 驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w1.1.如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知AB=13cm,BC=10cm,BCAB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线边上的中线AD=12cm.AD=12cm.w求证求证:AB=A:AB=AC.C.证明证明:BD=CD,BC=10cm(:BD=CD,BC=10cm(已知已知),),BD=5cm(BD=5cm(等式性质等式性质).).AD AD2 2+BD+BD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,144+25=169,AB AB2 2=13=132 2=169,=169,ADAD2 2+BD+BD2 2=AB
19、=AB2 2.D DBCA 在在ABDABD中中,ABCABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).在在RtADCRtADC中中 ACAC2 2=DC=DC2 2+AD+AD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,144+25=169,ACAC2 2=AB=AB2 2.AB=AC(AB=AC(等式性质等式性质).).习题习题1.4 w2.2.房梁的一部分如图所示房梁的一部分如图所示,其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,CB,
20、AB=10m,CB1 1AB,AB,B B1 1C C1 1AC,AC,垂足为垂足为B B1 1,C,C1 1,那么那么BCBC的长是多的长是多少？少？B B1 1C C1 1呢？呢？解解:BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,AB=10m(已知已知),),BC=AB/2=102 BC=AB/2=1025 5(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐如果有一个锐角等于角等于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半),),又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=90=900 0-60-600 0=30=300 0(直角三角形
21、两锐角互余直角三角形两锐角互余),),BBBB1 1=BC/2=52=BC/2=522.52.5(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一如果有一个锐角等于个锐角等于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半).).老师提示老师提示:对于含对于含30300 0角的直角三角形边之间角的直角三角形边之间,角之间的角之间的关系要作为常识去认可关系要作为常识去认可.BCA30300 0B1 1C1 1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5=10-2.5=7.5(等式性质等式性质).).BB1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.52
22、/2=7.523.753.75(在直角三角形中在直角三角形中,如如果有一个锐角等于果有一个锐角等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).).习题习题1.4 w3.3.如图如图,正四棱柱的底面边长为正四棱柱的底面边长为5c5cm,m,侧侧棱长为棱长为8cm,8cm,一只一只蚂蚁欲从蚂蚁欲从正四棱柱的底正四棱柱的底面上的点面上的点A A沿棱柱沿棱柱侧面到点侧面到点C C1 1处吃食物处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？那么它需要爬行的最短路径是多少？解解:如下图如下图,将将四棱柱的侧面展开四棱柱的侧面展开,连结连结ACAC1,1,AC=10cm,
23、CCAC=10cm,CC1 1=8cm=8cm(已知已知),),老师提示老师提示:对于空间图形需要动手对于空间图形需要动手操作操作,将其转化为平面图形来解决将其转化为平面图形来解决.BCAB1 1C1 1D1 1A1 1DBAB1 1D1 1A1 1DC1 1C答答:蚂蚁需要爬行的最短路径是蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.cm.梦想成真梦想成真1.如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体的房间里在一个长方体的房间里,一只一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的英尺的A处处,苍蝇苍蝇则在对面墙的正中间离地板则在对面墙的正中间离地板1英尺的英尺的B处处.试问试问:蜘蛛为了捕获苍蝇蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是需要爬行的最短距离是多少多少?AB 301212结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.