相似三角形难题集锦含答案.docx

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1、精品名师归纳总结一、相像三角形中的动点问题资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 P 从 A 点动身，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向B 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.如图，在 Rt ABC中， ACB=90， AC=3， BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 动身沿射线AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点E 从点 C 沿射线 AC方向以每秒3 个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB于 H，过点 E 作 EF AC 交射线 BB1 于 F， G 是 EF 中点，连接DG设点 D 运动的时间为t 秒

2、（1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时DE的长度。（2）当 DEG与 ACB 相像时，求t 的值2.如图，在 ABC中， ABC90，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点动身，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C点动身，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒（1） 当 t=2.5s 时，求 CPQ的面积。 求 CPQ 的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式。（2）在 P， Q 移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 Rt ABC 中，ACB9

3、0， AC 6，BC 8，点 D 在边 AB 上运动， DE 平分CDB 交边 BC 于点 E， EM BD，垂足为M， EN CD，垂足为N（1）当 ADCD 时，求证： DEAC。（2）探究： AD 为何值时， BME 与 CNE相像？4.如下列图，在 ABC中， BA BC 20cm， AC 30cm，运动。同时点Q 从 C 点动身，沿CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当P 点到达 B 点时， Q 点随之停止运动设运动的时间为x（1）当 x 为何值时， PQ BC？（2） APQ 与 CQB能否相像？如能， 求出 AP 的长。 如不能说明理由5.如图，在矩形ABCD 中， AB

4、=12cm， BC=6cm，点 P沿 AB 边从 A 开头向点B 以 2cm/s 的速度移动。点Q 沿 DA 边从点 D 开头向点A 以 1cm/s 的速度移动假如 P、Q 同时动身，用t（ s）表示移动的时间（0 t6）。（1）当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC相像？二、构造相像帮助线双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 2， 1， 正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC 中， AB=， AC=4， BC=2，以 AB 为边在C 点的异侧

5、作 ABD，使 ABD 为等腰直角三角形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求线段 CD 的长资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11.如图： ABC中， D 是 AB 上一点， AD=AC， BC 边上的中线AE交 CD 于 F。求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结8. 在 ABC 中， AC=BC，ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证： MC： NC=AP： PB9.如图， 在直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点B 的坐标为（ 1， 3），将矩形沿对角 线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10.已知，如图，直线y= 2x 2 与坐标轴交于A、 B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1 2。求 C

7、、D 两点的坐标。三、构造相像帮助线 A、 X 字型12. 四 边 形 ABCD 中 ，AC 为AB、AD 的比例中项，且AC 平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD中， AB CD， AB b， CD a， E 为 AD 边上的任意一点，EF AB，且 EF 交 BC于点 F，某同学在讨论这一问题时，发觉如下事实：1当时，EF=。2 当时， EF=。3当时， EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b 和 k 表示 EF的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在 ABC中， M 是 AC的中点， E、F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

8、品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 BC 上的两点，且BE EFFC。求 BN： NQ：QM 资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15.证明：（ 1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（ 2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两

9、邻边对应成比例四、 相像类定值问题16.如图，在等边 ABC中， M 、N 分别是边 AB，AC 的中点， D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交AC、AB 于点 E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中， AB/DC，对角线AC、BD交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F。求证：18.如图，在 ABC 中，已知CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在 ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为a求证：五、 相像之共线线段的比例问题20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，始终线过

10、点P 分别交 BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍旧成立？如成立，试给出证明。如不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） 。222. 如 图 ， 已 知 &De

11、lta;ABC 中 ， AD， BF 分别为 BC， AC 边上的高，过D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于H。 求证：DE=EG.EH23.已知如图，P 为平行四边形ABCD的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD、BC、CD 的延长线、 AB 的延长线分别相交于点E、F、G、 H.求证：21.已知：如图， ABC 中， AB AC， AD 是中线， P 是 AD2上一点， 过 C 作 CF AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF于 F求证： BP PEPF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

12、- - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24.已知，如图，锐角ABC 中， AD BC 于 D， H 为垂心（三角形三条高线的交点）。在 AD 上有一点P，且 BPC2为直角 求证： PDADDH 。六、 相像之等积式类型综合25.已知如图， CD 是 RtABC斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点， ED 的延长线交CA于 F。求证：26 如图，在 Rt ABC中， CD 是斜边

13、AB 上的高，点M 在CD 上， DH BM 且与 AC的延长线交于点E.求证：（ 1） AED CBM。（2）27.如图， ABC是直角三角形， ACB=90，CD AB 于 D，E是 AC的中点， ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.（1）求证：.（2）如 G 是 BC 的中点， 连接 GD，GD 与 EF垂直吗？ 并说明理由 .28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与 CG 相交于点M ， CG 与 AD 相交于点N求证：229.如图， BD、CE 分别是 ABC 的两边上的高，过 D 作 DG BC于 G，分别交 CE及 BA 的延长线于 F、H。求证

14、：（ 1）DGBGCG。（ 2）BGCGGFGH七、相像基本模型应用30.ABC和 DEF 是 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 ，A= D=90， DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ，EF 与 AC 交于点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N，求证： BEM CNE。资料word 精心总结归纳 - - - -

15、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M ， EF与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相像三角形外，能否再找出一对相像三角形并证明你的结论答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ：（ 1 ） ACB=90， AC=3， BC=4AB=5又 AD=AB，AD=5tt=1，此时 CE=3，DE=3+3-5=1（2）如 图 当 点D在 点E左 侧 ， 即 ： 0 t 时 ，DE=3t+3-5t=3-2t 如 DEG与 ACB相像，有两种情形： DEG ACB，此时，可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， 点 R 为 DE 的中点， BR分别交 AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相像三角形（相像比为1 除外）。（2）求 BP：PQ： QR32.如图，在ABC 中，AD BC 于 D，DE AB 于 E，DF AC于 F。求证：即：，求得： t=。 DEG BCA，此时，即：，求得： t=。如 图 ， 当 点D在 点E右 侧 ， 即 ： t时 ，DE=5t-3t+3=2t-3 如 DEG与 ACB相像，有两种情形： DEG ACB，此时，即：，求得： t=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

17、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -EMCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DEG BCA，此时，即：，求得： t=综上， t 的值为或或或3.答案： 解：（1）证明： AD=CD A= ACDDE 平分CDB 交边 BC于点 E CDE= BDE CDB 为CDB 的一个外角 CDB= A+ ACD=2 ACD

18、CDB= CDE+ BDE=2CDE ACD= CDEDE AC（2） NCE= MBEEMBD，EN CD， BME CNE，如图 NCE= MBEBD=CD又 NCE+ ACD= MBE+ A=90 ACD= AAD=CDAD=BD=AB在 Rt ABC 中，ACB 90， AC 6， BC 8AB=10AD=5 NCE= MEBEMBD，EN CD， BME ENC，如图 NCE= MEBCDAB在 Rt ABC 中，ACB 90， AC 6， BC 8AB=10 A= A， ADC=ACB ACD ABC综上： AD=5 或时， BME 与 CNE相像4.答案： 解（ 1 ）由题意：

19、AP=4x， CQ=3x， AQ=30-3x，当 PQ BC时，即：解得：（2）能， AP=cm 或 AP=20cm APQ CBQ，就，即解得：或（舍）此时： AP=cm APQ CQB，就，即解得：（符合题意）此时： AP=cm故 AP=cm 或 20cm 时， APQ 与 CQB能相像5.答案： 解：设运动时间为t，就 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t， BP=12-2t（1）如 QAP 为等腰直角三角形，就AQ=AP，即： 6-t=2t ， t=2（符合题意）t=2 时， QAP 为等腰直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

20、归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） B= QAP=90资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交y 轴于点 C，过点 B 作 BD AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 QAP ABC时，即：，解得：（符合题意） 。 当 PAQ ABC时，即：， 解得：（符合题意） 当或时

21、，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC相像6.答案： 解：分两种情形第一种情形，图象经过第一、三象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于y 轴的直线交x 轴于点 C，过点 B 作 BD AC就由上可知： 90由双垂直模型知：OCA ADBA（ 2， 1）， 45OC 2， AC 1，AO ABAD OC2， BD AC 1D 点坐标为（ 2， 3）B 点坐标为（ 1，3）此时正比例函数表达式为：y3x其次种情形，图象经过其次、四象限就由上可知： 90由双垂直模型知：OCA ADBA（ 2， 1）， 45OC 1， AC 2，AO ABAD OC 1， BD AC 2

22、D 点坐标为（ 3，1）B 点坐标为（ 3， 1）此时正比例函数表达式为：yx7.答案： 解：情形一：情形二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 MC： CN=DA： DC- - - - - - - - - - - -PD/BCDA： DC=PA： PBMC： CN=PA： PB方法二：如图，过 M 作 MD AB 于 D，过 N 作 NE

23、 AB 于 E由 双 垂 直 模 型 ， 可 以 推 知 PMDNPE ， 就，依据等比性质可知，而MD=DA，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结情形三：NE=EB， PM=CM，PN=CN，MC： CN=PA：PB9.答案： A解题思路： 如图过点 D 作 AB 的平行线交BC 的延长线于点M ，交 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴于点 N，就 M= DNA=90 ，由于折叠，可以得到 ABC ADC，又由 B（1， 3）BC=DC=1， AB=AD=MN=3， CDA= B=90 1+ 2=90 DNA=90 3+ 2=90 1= 3 DMC AND，可编

24、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8.答案： 证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PD AC于 D，就 PD/BC依据折叠可知MN CP 2+ PCN=90 ， PCN+CNM=90 2= CNM CDP= NCM=90 PDC MCNMC： CN=PD： DCPD=DA设 CM=x，就 DN=3x， AN=1 x， DM 3x 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，就。 答案为 A10.答案： 解：过点 C 作 x 轴的平行线交y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC的延长线于E。直线 y= 2x 2 与坐标轴交于A、B 两点A（ 1,0）， B（ 0,2）OA=1，OB=2， AB=AB： BC=1:2BC=AD= ABO+ CBG=90 ， ABO+ BAO=90 CBG= BAO又 CGB= BOA=90 OAB GBCGB=2，GC=4GO=4C（ 4,4）同理可得 ADF BAO

26、，得 DF=2， AF=4 OF=5 D（5,2）11.答案： 证明：（方法一）如图延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CMBE=CE， AEB= MEC BEA CEMCM=AB， 1= BAB CM M= MAD ， MCF= ADF MCF ADFCM=AB， AD=AC（方法二）过 D 作 DG BC 交 AE 于 G就 ABE ADG， CEF DGF，AD=AC， BE=CE12.答案： 证明：过点 D 作 DF AB 交 AC 的延长线于点F，就 2=3AC 平分 DAB 1= 2 1= 3AD=DF DEF=BEA， 2= 3 BEA DEFAD=DFAC 为 AB、A

27、D 的比例中项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即又 1=2 ACD ABC13.答案： 解：资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - BE： BF NE： MF BE EF BN： BM NE： MF 1:2 BN： NM 1:1 设 NEx，就 MF 2x， AE 4x AN 3x MF AE NAQ MFQNQ： QM AN

28、： MF 3:2 BN：NM 1:1， NQ：QM 3:2 BN： NQ： QM 5:3:215.答案： 证明：（ 1）如图 1， AD、 BE为 ABC的中线，且AD、BE 交于点 O过点 C 作 CF BE，交 AD 的延长线于点FCF BE 且 E 为 AC 中点 AEO ACF， OBD FCD， AC 2AE EAO CAF AEO ACF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：过点 E 作 PQ BC 分别交 BA 延长线和DC于点 P 和点 QAB CD， PQ BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PB EF

29、 CQ， 又 AB b， CD aAP PB-ABEF-b， DQDC-QC a-EF14.答案： 解： 连接 MFM 是 AC的中点， EF FCMF AE 且 MF AE BEN BFM BN：BMD 为 BC 的中点， ODB FDC BOD CFDBO CF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图 2， AD 为 ABC的角平分线过点 C 作 AB 的平行线CE交 AD 的延长线于E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，

30、共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BAD= EAD 为 ABC的角平分线 BAD= CAD E=CADAC CECE AB BAD CED资料word 精心总结归纳 AOE ACD， DOE DBA- - - - - - - - - - - -，18.答案： 证明： EF CD， EH AB， AFE ADC， CEH CAB，EF EH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16.答案： 证明：如图，作DP AB， DQ AC就四边形 MDPB 和四边形 NDQC均为

31、平行四边形且 DPQ是等边三角形BP+CQ MN ， DP DQ PQM 、N 分别是边AB， AC 的中点MN BC PQDP AB， DQ AC CDP CFB， BDQ BEC，DP DQ PQBCABAB（）17.答案： 证明： EF/AB，AB/DCEF/DC19.答案： 证明： EF AC， DE BC， BFE BCA， AED ABC，EF DE a20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC， DRP= S， RDB=DBS DRP BSP同理由 AB CD 可证 PTD PQB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

32、师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD中， AD BC， PRD= S， RDP= DBS DRP BSP同理由 ABCD 可证 PTD PQB21.答案： 证明 :AB AC， AD 是中线，AD BC,BP=CP 1= 2又 ABC= ACB 3= 4CF AB 3= F, 4= F又 EPC= CPF EPC CPF BP2PEPF 即证所求22.答案： 证明： DE AB 90 90资料word

33、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - ADE DBEDE2=BF AC 90 90且 BEG HEA DE2=EG•EH23.答案：证明：四边形ABCD为平行四边形AB CD， AD BC 1= 2， G= H， 5= 6 PAH PCG又 3=4 APE CPF24.答案： 证明：如图，连接BH 交 AC 于点 E，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - CMB CDB MBD 90 MBDADE ADC MDH 90 MDH ADE CMB AED CBM（2）由上问可知：，即故只需证明即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H 为垂心BEAC EBC+BC