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1、第1页/共73页复习回顾口答：第2页/共73页问题：630可以被哪些整数整除？解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630630进行分解质因数进行分解质因数630=23257类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题新课引入第3页/共73页试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积)回忆前面整式的乘法第4页/共73页上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与
2、整式乘法是逆变形第5页/共73页 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的积）第6页/共73页创设情景 学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。台三个部分，如下图，计算操场总面积。abcm第7页/共73页abcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmm第8页/共73页方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面两个式子中哪个是因式分解？在式子ma+mb+mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。
3、公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)第9页/共73页ma+mb+mc=m(a+b+c)在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。这种方法叫做提公因式法。提公因式法一般步骤：1、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，3、把它与公因式相乘。第10页/共73页 如何准确地找到多项式的公因式呢？1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘第11页/共73页例题精讲最大公因数为3=3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a5b
4、c)=4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=第12页/共73页做一做 按照提公因式法因式分解。第13页/共73页提高训练(一)第14页/共73页提高训练(二)第15页/共73页第16页/共73页第 3课时第 2课时第17页/共73页第18页/共73页复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算：第19页/共73页=(999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运用了什么公式?新课引入试计算：9992 112=1000998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2 ;（2）y2 4 2522 52=(x+2)(x2)=(y+5)(y5)这些计算
5、过程中都逆用了平方差公式即：第20页/共73页此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。尝试练习(对下列各式因式分解)：a2 9=_ 49 n2=_ 5s2 20t2=_ 100 x2 9y2=_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)第21页/共73页 x x2 2+4+4 4 4x x2 2+y y2 2 x x4 4 1 1 x x2 2 x x6 6 6 6x x3 3 54 54xyxy2 2(x x+p p)2 2 (x x q q)2 2第22页/共73页=y2 4x2=(
6、=(y y+2+2x x)()(y y22x x)=(x2)2 12=(=(x x2 2+1)(+1)(x x2 21)1)4 4x x2 2+y y2 2 x x4 4 1 1(x21)=(4x2 y2)=(2=(2x x+y y)(2)(2x x y y)(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底!第23页/共73页 x x2 2 x x6 6=x2 (x3)2=(=(x x+x x3 3)()(x x x x3 3)=x(1+(1+x x2 2)x(1(1x x2 2)=x x2 2(1+(1+x x2 2)(1+x)(1x)x x2 2 x x6 6=x2(1(1x x4 4)=x x2
7、 2 (1+x2)(1x2)=x x2 2(1+(1+x x2 2)(1+x)(1x)在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。第24页/共73页 6 6x x3 3 54 54xyxy2 2=6x(x x2 299y y2 2)=6=6x x (x+3y)(x3y)(x x+p p)2 2 (x x q q)2 2=(=(x x+p p)+()+(x x q q)(x x+p p)()(x x q q)=(2=(2x x+p p q q)()(p p+q q)YXYXYX第25页/共73页做一做 利用平方差公式因式分解。第26页/共73页提高训练(一)设m、n为自然数且
8、满足关系式12+92+92+22+m2=n2，则m=_，n=_。第27页/共73页提高训练(二)3、n是自然数，代入n3 n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是()。A.421800 B.438911 C.439844 D.428158第28页/共73页第29页/共73页第30页/共73页复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：第31页/共73页新课引入试计算：9992+1998 +129991=(999+1)2=106此处运用了什么公式此处运用了什么公式?完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：第32页/共73页
9、这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。牛刀小试(对下列各式因式分解)：a2+6a+9=_ n210n+25=_ 4t28t+4=_ 4x212xy+9y2=_(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2第33页/共73页 16 16x x2 2+24+24x x+9+9 4 4x x2 2+4+4xyxy y y2 2 x x2 2+2+2x x 1 1 4 4x x2 2 8 8xyxy+4+4y y2 2 1 2 1 2a a2 2+a a4 4(p p+q q)2 2 12(12(p p+q q)+36)+36 形如
10、a22ab+b2的式子叫做完全平方式。完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解第34页/共73页完全平方式的特点：1、必须是三项式（或可以看成三项的）2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。第35页/共73页 16 16x x2 2+24+24x x+9+9 4 4x x2 2+4+4xyxy y y2 2 4 4x x2 2 8 8xyxy+4+4y y2 2=(4x+3)2=(4x24xy+y2)=(2xy)2=4(x22xy+y2)=4(xy)2第36页/共73页 2 2a a2 2+(p p+q q)2 2 12(12
11、(p p+q q)+36)+36a a4 41 1=(a21)2=(a+1)2(a1)2=(a+1)(a1)2=(p+q6)2XXX第37页/共73页做一做 用完全平方公式进行因式分解。第38页/共73页做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：提公因式法平方差公式完全平方公式第39页/共73页提高训练(一)给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 _。第40页/共73页提高训练(二)第41页/共73页提高训练(三)第42页/共73页第43页/共73页第44页/共73页知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法第4
12、5页/共73页一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm)2 2）4(4(x x+y y)+4()+4(x x33y y)第46页/共73页二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。第47页/共73页常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b
13、+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导第48页/共73页这是公式这是公式x x2 2+y y2 2+z z2 2+xyxy+xzxz+yzyz的推导过程的推导过程不要与不要与(x x+y y+z z)2 2=x x2 2+y y2 2+z z2 2+2xyxy+2xzxz+2yzyz混淆混淆第49页/共73页公式法随堂练
14、习：1 1）(a a2 21010a a+25)(+25)(a a2 2 25)25)2 2）x x3 3+3+3x x2 2+3 3x x+1+1二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。第50页/共73页三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项可以看出常数项 3=3=1 3而一次项系数而一次项系数 4=4=1+3 原式原式=(=(x
15、 x+1)()(x x+3)暂且称为暂且称为p、q型因式分解第51页/共73页例2：因式分解x27x+10可以看出常数项可以看出常数项10=10=(2)(5)而一次项系数而一次项系数 7=7=(2)+(5)原式原式=(=(x x2)()(x x5)这个公式简单的说，这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法随堂练习：1 1）a a2 266a a+5 2+5 2）a a2 2 5 5a a+6+63 3）x x2 2(2(2mm+1)+1)x x+mm2 2+mm22第52页/共73页
16、三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成(axax+b b)()(cxcx+d d)的形式。的形式。(axax+b b)()(cxcx+d d)=)=acx x2 2+(ad+bc)x x+bd 所所以，需要将以，需要将二次项系数与与常数项分别拆成分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。分解就成功了。第53页/共73页=173 x2+11 x
17、+106 x2+7 x+223124+3=7 6 6x x2 2+7+7x x+2=(+2=(2x x+1)()(3x x+2)13522+15=1113255+6 3 3x x2 2+11+11x x+10=(+10=(x x+2)()(3x x+5)第54页/共73页=65 x2 6 xy 8 y2试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法。15244 10 5 5x x2 266xyxy88y y2 2=(=(x x2y y)()(5x x+4y y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法随堂练习：1 1）4 4a a2 299a a+2+22 2）
18、7 7a a2 21919a a663 3）2(2(x x2 2+y y2 2)+5)+5xyxy第55页/共73页四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式 =(ab ac)+(bd cd)=a a (b c)+d d (b c)=(a+d)(b b c c)还有别的解法吗？第56页/共73页四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式 =(ab+bd)(ac+cd)=b b (a+d
19、)c c (a+d)=(=(a a+d d)(b c)第57页/共73页例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式解：原式 =(=(x x5 5+x x4 4+x x3 3)+()+(x x2 2+x x+1)+1)=(=(x x3 3+1)+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x x2 2+x x+1)+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1第58页/共73页回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解
20、：原式 =(=(x x5 5+x x4 4)+()+(x x3 3+x x2 2)+()+(x x+1)+1)=(=(x x+1)(+1)(x x4 4+x x2 2+1)+1)=(=(x x+1)(+1)(x x4 4+2x2+1+1x2)=(=(x x+1)+1)(x2+1)2 x x2 2 =(x x+1)+1)(x2+x+1)(x2x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解第59页/共73页 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜
21、测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法第60页/共73页因式分解 x4+4解：原式解：原式 =x x4 4 +4x2+4 +4 4x2 =(=(x x2 2+2)+2)2 2 (2 (2x x)2 2 =(=(x x2 2+2+2x x+2)(+2)(x x2 222x x+2)+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1 1）x x4 42323x x2 2y y2 2+y y4 42 2）(mm2 21)(1)(n n2 21)+41)+4mnmn第61页/共73页配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配方法是一种特
22、殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。，再用平方差公式进行分解。因式分解 a2b2+4a+2b+3。解：原式解：原式 =(=(a a2 2+4+4a a+4)(+4)(b b2 222b b+1)+1)=(=(a a+2)+2)2 2 (b1)2 =(=(a a+b b+1)(+1)(a a b b+3)+3)配方法 (拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式第62页/共73页六*、待定系数法试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到 (2(2x x33y y)()(x x+3+3y y)设原式等于(2x3y+a)(x
23、+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：解得：解得：，原式原式 =(2=(2x x 3 3y y+4)(+4)(x x+3+3y y+5)+5)第63页/共73页=3=1410+42 2 x x2 2+3 +3 xy xy 9 9 y y2 2+14 +14 x x 3 3 y y+20+20双十字相乘法 双十字相乘法适用于双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。则没有这个限制。因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345=312 15 原式原式 =(2x x3y y+4)()(x x+
24、3y y+5)第64页/共73页七*、求根法 设原多项式等于零，解出方程的解设原多项式等于零，解出方程的解 x x1 1、x x2 2，则原式就，则原式就可以分解为可以分解为(x x x x1 1)()(x x x x2 2)()(x x x x3 3)更多的方法需要同学们自己去寻找!多练才能拥有自己的解题智慧!第65页/共73页综合训练(一)第66页/共73页综合训练(二)2 2、x x2 2y y y y2 2z z+z z2 2x x x x2 2z z+y y2 2x x+z z2 2y y22xyzxyz因式因式分解后的结果是分解后的结果是()()。A.(A.(y y z z)()(x x+y y)()(x x z z)B.()B.(y y z z)()(x x y y)()(x x+z z)C.(C.(y y+z z)()(x x y y)()(x x+z z)D.()D.(y y+z z)()(x x+y y)()(x x z z)3 3、因式分解、因式分解 x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+6 +6。第67页/共73页综合训练(三)第68页/共73页第69页/共73页总结训练(一)第70页/共73页总结训练(二)第71页/共73页第72页/共73页感谢您的观看。第73页/共73页