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1、第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值二、条件极值二、条件极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值 定定义义4-64-6 设设函函数数 在在点点 的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义,对对于于该该邻邻域域内内异异于于 的的点点 都都满满足足不不等等式式 极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值;使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极值点极值点.则称函数则称函数 在点在点 有有极小值极小值(极大值极大值);.为函数为函数 极小值点极小值点(极大值点极大值点).例例例例例例 从以上例子看出从以上例子看出:若函数在某点取得极值若函数在某点取得极值
2、,这点的偏这点的偏导数等于零或不存在导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条件与充下面介绍极值存在的必要条件与充分条件分条件.定定理理4-54-5（必必要要条条件件)设设函函数数 在在点点 取取得极值得极值,且在该点处两个一阶偏导数都存在且在该点处两个一阶偏导数都存在,则必有则必有证明证明不妨设不妨设 在点在点 处有极大值处有极大值 则对于的则对于的 某邻域内任意某邻域内任意 都有都有 类似地可证类似地可证 .必有必有 说明一元函数说明一元函数 在在 处有极大值处有极大值 故当故当 ，时，时，与与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的为
3、函数的驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点呢如何判定一个驻点是否为极值点呢?定理定理4-64-6（充分条件充分条件）设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续且有的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数一阶及二阶连续偏导数,又又 ，.(2)(2)极值点也可能不是驻点极值点也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面可能是极值点，如锥面 在顶点在顶点 处偏导处偏导数不存在，但顶点是极值点数不存在，但顶点是极值点.注意注意 (1)驻驻点不一定是极值点点不一定是极值点.例如例如,点是函点是函数数 的驻点的驻点,但不是极值点但不是极值点.令令则有则有 （1 1）当）当
4、时时,函数函数 在点在点 处具有处具有极值极值,且当且当 时有极大值时有极大值,时有极小值；时有极小值；（3 3）当）当 时时,可能有极值可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论.（2 2）当）当 时时,函数函数 在点在点 没有没有极值；极值；由此可得求二元可微函数由此可得求二元可微函数 极值的一般步极值的一般步骤：骤：第一步第一步求求函数函数 的一阶和二阶偏导数的一阶和二阶偏导数;第二步第二步解解方程组方程组 ,可求得所有驻点可求得所有驻点;第四步第四步求出各极值点的求出各极值点的函数值函数值 对每个驻点对每个驻点,求出相应的二阶偏导数求出相应的二阶偏导数 A、B
5、、C 的值的值,并根据并根据 的符号判别各驻点是否是极值点的符号判别各驻点是否是极值点,是是极大值点还是极小值点极大值点还是极小值点;第三步第三步例例4-284-28 求函数求函数 的极值的极值.解解 求方程组求方程组得驻点得驻点 .又又在在点点 处处,且且故故 是极小值点是极小值点,极小值为极小值为 .在在点点 处处,故故 不是极小值点不是极小值点.在在点点 处处,故故 不是极小值点不是极小值点.在在点点 处处,且且故故 是极大值点是极大值点,极大值为极大值为 .求最值的一般方法：求最值的一般方法：（1 1）求函数在）求函数在D D内的所有驻点和偏导数不存在的点；内的所有驻点和偏导数不存在的
6、点；（2 2）求出函数在）求出函数在D D内的所有驻点和偏导数不存在点内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值处的函数值,以及在区域边界上的最大值和最小值；以及在区域边界上的最大值和最小值；（3 3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的最大值和最小值.二元函数的最值二元函数的最值 例例4-29 求函数求函数 在圆域上在圆域上 的最大值的最大值.解解 显然显然,函数在圆周函数在圆周 上的值到处是上的
7、值到处是 .令令得驻得驻点点 ,所以在所以在 处取得最大值处取得最大值2.在很多实际问题中在很多实际问题中,根据问题本身的性质根据问题本身的性质,知道函数知道函数f(x,y)在区域在区域D内一定能取到最大值内一定能取到最大值(最小值最小值),又如果函又如果函数在数在D内只有一个驻点内只有一个驻点,那么这驻点处的函数值就是那么这驻点处的函数值就是f(x,y)在在D上的最大值上的最大值(最小值最小值),而不必再进行检验而不必再进行检验.例例4-30 要制作一个容量要制作一个容量V为长方体箱子，问如何为长方体箱子，问如何选择尺寸，才能使所用材料最省？选择尺寸，才能使所用材料最省？此水箱的用料面积此水
8、箱的用料面积解解 设箱子的长为设箱子的长为 ,宽为宽为 ,则其高为则其高为 .所以当水箱的长、宽、高均为所以当水箱的长、宽、高均为 时时，水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省.令令 根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域在，并在开区域D D 内取得内取得.又函数在又函数在D D内只有唯内只有唯一的驻点，因此可断定当一的驻点，因此可断定当时，时，S S取得最小值取得最小值条件极值条件极值 对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值 无条件极值无条件极值 对自变量除有定义域的限制外无任何其对自变量除有定义域的限制外无任何其它
9、条件限制的极值它条件限制的极值二、条件极值二、条件极值条件极值还可以应用条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来拉格朗日乘数法来计算计算.问题问题 求目标函数求目标函数 在约束条件在约束条件 下的极下的极值值.求解求解步骤步骤(1)构造辅助函数构造辅助函数(lagrange函数函数)(为常数为常数)(2)对函数对函数 分别关于分别关于 、求偏导数求偏导数,并令并令其等于零其等于零,得方程组得方程组 (3)解方程组解方程组,若若 是方程组的解是方程组的解,则则 是可是可能的条件极值点能的条件极值点 (4)判别判别 是否为极值点是否为极值点.在实际问题中在实际问题中,可根据可根据问题本身的性质来判定问题
10、本身的性质来判定.例例4-31 某工厂生产两种型号的仪器某工厂生产两种型号的仪器,其产量分别其产量分别为为 台和台和 台台,两种仪器的产量与所需的成本的关系可两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量以用一个以应变量z为成本、以自变量为成本、以自变量(x,y)为两种仪为两种仪器产量的函数表示器产量的函数表示:(单位单位:万元万元).若若根据市场调查预测根据市场调查预测,需这两种仪器共需这两种仪器共8台台,问应如何安排问应如何安排生产生产,才能使成本最小才能使成本最小?构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 解解 本题归结为本题归结为:求函数求函数 在约束条在约束条件件 下的最小值下的最小值.解解方程组方程组得得唯一解唯一解 由于实际问题的最小值存在，由于实际问题的最小值存在，、是是 唯一的驻点，故唯一的驻点，故 、是本题的最小值点是本题的最小值点.即：两种即：两种型号的仪器各生产型号的仪器各生产5台和台和3台时台时,总成本达最小总成本达最小,最小成本为最小成本为(万元万元)1.二元函数的极值二元函数的极值2.取得极值的必要条件、充分条件取得极值的必要条件、充分条件3.二元函数的最值二元函数的最值主要内容主要内容4.无条件极值无条件极值 条件极值条件极值