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1、 1.2 初等变换与初等矩阵1.2.1 初等变换1.2.2 初等矩阵及其性质1.2.3 初等变换与逆矩阵第1页/共24页m m个方程，个方程，n n个未知数个未知数对此线性方程组,可做如下三种同解变换:(1)互换两个方程的位置;(2)把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;(3)将某一个方程加上另一个方程的k倍.这三种变换都称为初等变换.这三种变换都是可逆的1.2.1 初等变换初等变换第2页/共24页设方程组(1)经过某一初等变换后变为另一个方程组,则新方程组与原方程组同解.例例解线性方程组一一对应 方程之间的变换 一一对应 矩阵的行之间的变换 方程组的增广矩阵 第3页/共24页 定义定义下面
2、三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:交换矩阵的两行（列）;以任意非零数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素;某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）的对应元素上去。矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。定义定义若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则称矩阵A与B等价（equation），记为 A B第4页/共24页行变换 Row列变换Column交换i,j两行第 i 行乘数K第 i行乘数K后加到第 j 行上去交换i,j两列第 i 列乘数K第 i 列乘数K后加到第 j 列上去矩阵初等变换的符号表示 第j行变 第j列变 第i行变 第i、j行变 第i列变 第i、j列变 第5页
3、/共24页例 利用矩阵的行初等变换解方程组 解 将方程组的增广矩阵作行初等变换 第6页/共24页续解 得同解方程组 原方程组的解为 第7页/共24页1.2.2 初等矩阵及其性质初等矩阵及其性质定义定义由单位阵I I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:(1)对调I I 中的第 i,j 行,得到的矩阵记为对调I I 中的第 i,j 列,得到的矩阵记为第8页/共24页(2)用不为零的数乘以I I 中的第i i行,得到的矩阵记为用不为零的数乘以I 中的第 i i 列,得到的矩阵记为第9页/共24页(3)以数乘以I 中的第i i行加到第j j行去,得到的矩阵记为 以数乘以I 中
4、的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为注意！结论：初等矩阵可逆,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵第10页/共24页性质 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换.例 定理 有限个初等矩阵的乘积必可逆.第11页/共24页用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵,相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换,即（）（）（）第12页/共24页例我们将第一行和第三行交换一下,可以用而得到.第13页/共24页例我们将第二列和第三列交换一下,可以用得到.同学们可以验证一下.第14页/共24页小结 矩阵A左乘一个
5、初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式子成立：（1）（2）（3）第15页/共24页证明定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I I，即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.第16页/共24页定理1.4 为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵证明：（必要性）因为为可逆方阵,故存在初等矩阵使得故现在给出求逆阵的另一种方法:因为原理:第17页/共24页由定理得出求逆矩阵的另一种方法:实际做法实际做法:行原理:1.2.3 初等变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵第18页/共24页例 求下列矩阵的逆解解第19页/共24页课堂练习：1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵2、利用初等变换求解线性方程组第20页/共24页答案1、（1）2、第21页/共24页同理可以用初等列变换求逆矩阵注意：在这两种求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换不能 混用。第22页/共24页习题1 P39 1.7(2)1.8(2）第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页