常微分方程优秀PPT.ppt

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1、常微分方程常微分方程你现在浏览的是第一页，共121页10.1 10.1 常微分方程的一般概念常微分方程的一般概念10.1.1 10.1.1 常微分方程的一般概念常微分方程的一般概念10.1.2 10.1.2 微分方程的解微分方程的解你现在浏览的是第二页，共121页定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数(或微分或微分)的方程的方程，称为称为微分方程微分方程，有时有时简称为方程简称为方程，未知函数是一元，未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程，未知函数是多元未知函数是多元函数的微分方程函数的微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程.本教材仅讨论常微本教材仅讨论

2、常微分方程，并简称为微分方程分方程，并简称为微分方程.10.1.1 10.1.1 常微分方程的一般概念常微分方程的一般概念你现在浏览的是第三页，共121页(1)y=kx,k 为常数；例例如如，下下列列方方程程都都是是微微分分方方程程(其其中中 y,q q 均均为为未未知函数知函数).).(2)(y-2xy)dx+x2 dy=0；(4)(5)(3)你现在浏览的是第四页，共121页微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶.例如，方程例如，方程(1)-(3)为一阶微为一阶微分方程，分方程，通常，通常，n 阶微分方程的一般形式

3、为阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0，其中其中 x 是自变量，是自变量，y 是未知函数，是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，是已知函数，而且一定含有而且一定含有 y(n).方程方程(4)-(5)为二阶微分方程为二阶微分方程.10.1.2 10.1.2 微分方程的解微分方程的解你现在浏览的是第五页，共121页定义定义 2 2 任何代入微分方程后使其左右两端相等的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数C的个数与方程的阶数相同，且这些任意常数是相互独立的（即不能合并），则称此解为该方程的通解通解(或一般解).若再给出若干个条件（称为初始条件初始条件），以确定

4、通解中的所有任意常数，所得到的解，称为微分方程满足初始条件的特解特解.你现在浏览的是第六页，共121页例如方程 y=2x 的解 y=x2+C 中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件 y(0)=0 的解，代入通解 y=x2+C 中，得 C=0，那么 y=x2 就是方程 y=2x 的特解.你现在浏览的是第七页，共121页二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是即即 y(x0)=y0 与与 y(x0)=y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值初值问题问题.求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问

5、题，就是求方程的特解.通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是你现在浏览的是第八页，共121页例例 1 验证函数验证函数 y=3e x xe x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数，的导数，y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x=0，即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所给二阶微分方程的解所以该函数是所给二阶微分方程的解.你现在浏览的是

6、第九页，共121页 得得 C=2，故故所所求求特解为特解为 y=2x2.例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解 为为 y=Cx2 (C 为为任任意意 常常 数数)，并并 求求 满满 足足 初初 始始 条条 件件 y|x=1=2 的的 特特 解解.解解 由由 y=Cx2 得得y =2Cx,易易 证证 函函 数数 y=C x2 满满 足足 原原 方方 程程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数，所所以以 y=Cx2 是是一一阶阶微分方程微分方程将初始条件将初始条件 y|x=1=2 代入通解，代入通解，你现在浏览的是第十页，共121页例例3.列车在平直路上以的速度行驶,获得加

7、速度求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求 s=s(t).制动时你现在浏览的是第十一页，共121页一一般般地地，微微分分方方程程的的每每一一个个解解都都是是一一个个一一元元函函数数 y=y(x)，其其图图形形是是一一条条平平面面曲曲线线，我我们们称称它它为为微分方程的微分方程的积分曲线积分曲线.通通解解的的图图形形是是平平面面上上的的一一族族曲线，称为曲线，称为积分曲线族积分曲线族，特特解解的的图图形形是是积积分分曲曲线族中的一条确定的曲线线族中的一条确定的曲线.这这就就是是微微分分方方程程的的通通解解与

8、特解的几何意义与特解的几何意义.你现在浏览的是第十二页，共121页10.2 10.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程10.2.1 10.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程10.2.2 10.2.2 齐次微分方程齐次微分方程你现在浏览的是第十三页，共121页例如：形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.(1)分离变量分离变量该类微分方程可按照下面方法求解：10.2.1 10.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程(2)两边积分两边积分你现在浏览的是第十四页，共121页（3）整理后即可得方程通解.我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函

9、数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.你现在浏览的是第十五页，共121页例例 1 求方程解解分离变量，得两边积分，得这就是所求方程的通解你现在浏览的是第十六页，共121页例例 2 求方程解解两边积分，得化简得分离变量，得当y=0时，原方程是成立的，综上所述原方程的通解是你现在浏览的是第十七页，共121页对数的一些运算公式：你现在浏览的是第十八页，共121页(1)为了简便起见，本章可采用下列不加绝对值的积分：(2)当左边是y的对数时，不定常数通常取lnC.你现在浏览的是第十九页，共121页求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分，得两边积分，得整理即得通解：整理即得通解：其中其

10、中 C 为任意常数为任意常数.分离变量，得分离变量，得例例 2 求方程你现在浏览的是第二十页，共121页例例 3 求求方方程程 dx+2xydy=y2dx+2ydy 满满足足初初始始条条件件 y(4)=2 的特解的特解.解解将方程整理为分离变量，得两边积分，有化简，得原方程的通解：即你现在浏览的是第二十一页，共121页将初始条件 y(4)=2 代入，得 C=1.故所求特解为你现在浏览的是第二十二页，共121页例例 4解解分离变量得即两边积分，得因此方程的通解为你现在浏览的是第二十三页，共121页作业：P1982P2001（1）（3）（5）（7）2 (2)(4)你现在浏览的是第二十四页，共121

11、页知识回顾：（1）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶；（2）通解、特解；）通解、特解；（3）可分离变量微分方程的求解：）可分离变量微分方程的求解：分离变量；分离变量；两边积分；两边积分；整理即得微分方程的通解。整理即得微分方程的通解。你现在浏览的是第二十五页，共121页形如的方程叫做齐次微分方程齐次微分方程.令代入原方程得解法:10.2.2 10.2.2 齐次微分方程齐次微分方程此类方程可通过变换转化为可分离变量的微分方程.你现在浏览的是第二十六页，共121页两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.分

12、离变量，得你现在浏览的是第二十七页，共121页例例 1 求解微分方程求解微分方程解解代入方程得，积分得，代回原变量，即得通解，你现在浏览的是第二十八页，共121页原方程可写成 解解 例例2 求解方程代入上式，得你现在浏览的是第二十九页，共121页两边积分 得或写成分离变量 得 你现在浏览的是第三十页，共121页例例 3 求解微分方程求解微分方程解解原方程可转化为：你现在浏览的是第三十一页，共121页微分方程的解为你现在浏览的是第三十二页，共121页10.3 10.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程10.3.0 10.3.0 一阶线性微分方程一阶线性微分方程10.3.1 10.3.1 一阶线性

13、齐次微分方程的通解一阶线性齐次微分方程的通解10.3.2 10.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解你现在浏览的是第三十三页，共121页形如形如的方程称为一阶线性微分方程，简称的方程称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程.“线性线性”是指在方程中含有未知函数是指在方程中含有未知函数y和它的导数和它的导数的一次项，的一次项，的项都是关于的项都是关于y、10.3.0 10.3.0 一阶线性微分方程一阶线性微分方程其中其中q(x)称为称为自由项自由项。你现在浏览的是第三十四页，共121页称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程，简简称称线线性性齐齐次次

14、方方程程，0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 q(x)若若 q(x)0，则方程成为，则方程成为你现在浏览的是第三十五页，共121页一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程.两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得10.3.1 10.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解一阶线性齐次微分方程的通解你现在浏览的是第三十六页，共121页例例 1 求方程求方程 y +(s

15、in x)y=0 的通解的通解.解解所给方程是一阶线性齐次方程，且所给方程是一阶线性齐次方程，且 p(x)=sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程的通解公式为的通解公式为你现在浏览的是第三十七页，共121页例例 2求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 的通解的通解.解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解你现在浏览的是第三十八页，共121页作业：P2001（2）(4)(6)（8）2（1）（3）(5)你现在浏览

16、的是第三十九页，共121页知识回顾：(1)形如的方程叫做齐次微分方程齐次微分方程.令代入原方程得解法:下面按照分离变量方程来求解。你现在浏览的是第四十页，共121页（2 2）形如）形如的方程称为的方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程，其中其中q(x)称为称为自由项自由项。称为称为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程；0，则称为，则称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程；若若 q(x)若若 q(x)0，则方程成为，则方程成为(3)(3)一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程的通解公式为的通解公式为你现在浏览的是第四十一页，共121页对比对比发现只差自由项不同，发现只差自由项不同，10

17、.3.2 10.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解已知一阶线性齐次方程已知一阶线性齐次方程的通解公式为的通解公式为因此猜想将齐次因此猜想将齐次方程方程通解中的通解中的C C改为函数改为函数u(x),),你现在浏览的是第四十二页，共121页你现在浏览的是第四十三页，共121页这就是一阶线性非齐次方程这就是一阶线性非齐次方程的通解。的通解。你现在浏览的是第四十四页，共121页上述讨论中所用的方法，是将常数上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定变为待定 再通过确定再通过确定u(x)而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，称为称为常数变易法常数变易法.函数函数 u(

18、x)，你现在浏览的是第四十五页，共121页例例 1 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解法一 使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程为设 所 给 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 为你现在浏览的是第四十六页，共121页将 y 及 y 代入该方程，得于是，有因此，原方程的通解为你现在浏览的是第四十七页，共121页解法二将所给的方程改写成下列形式：例例 1 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.你现在浏览的是第四十八页，共121页则原方程的通解为你现在浏览的是第四十九页，共121页例例 2 求解初值问题：求解初值问题：

19、解将所给的方程改写成下列形式：则你现在浏览的是第五十页，共121页因此，所给线性非齐次方程的通解为你现在浏览的是第五十一页，共121页将初始条件 y(p)=1 代入，所以，所求的特解为得 C=p，你现在浏览的是第五十二页，共121页解将所给的方程改写成下列形式：例例 3 求方程求方程 的通解的通解.你现在浏览的是第五十三页，共121页因此，所给线性非齐次方程的通解为你现在浏览的是第五十四页，共121页一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程的通解为的通解为你现在浏览的是第五十五页，共121页例例 4求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 的通解的通解.解解将原方程改写为则q(y)=1

20、.你现在浏览的是第五十六页，共121页代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为你现在浏览的是第五十七页，共121页作业：P2021（1）(要求用2种方法求解)（3）(5)2（2）（4）你现在浏览的是第五十八页，共121页(1)(1)一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程的通解：的通解：知识回顾：知识回顾：（2 2）一阶线性非齐次方程）一阶线性非齐次方程的通解：的通解：你现在浏览的是第五十九页，共121页10.4 10.4 几种可降阶的二阶微分方程几种可降阶的二阶微分方程10.4.110.4.110.4.210.4.2型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程10.4.310.4.3

21、型的微分方程型的微分方程你现在浏览的是第六十页，共121页观察微分方程10.4.110.4.1型的微分方程型的微分方程可知该方程右端仅含有自变量x的函数。若令则有同理，可依次求出你现在浏览的是第六十一页，共121页例例1 解微分方程解微分方程 解解 积分一次得积分一次得 再积分一次得再积分一次得 你现在浏览的是第六十二页，共121页例例2 解微分方程解微分方程 解解 原方程整理后得原方程整理后得 你现在浏览的是第六十三页，共121页这个方程的特点是右端这个方程的特点是右端不显含未知函数不显含未知函数y，.的一阶方程的一阶方程如果能求出上述方程的通解如果能求出上述方程的通解 再由方程再由方程 可

22、求得原方程的通解可求得原方程的通解10.4.210.4.2型的微分方程型的微分方程可设可设代入原方程，可得代入原方程，可得则则 你现在浏览的是第六十四页，共121页例例3 求微分方程 的通解。解解 这是不显含 y 的方程，令 则则 于是原方程为 你现在浏览的是第六十五页，共121页你现在浏览的是第六十六页，共121页例4.求解求解解解代入方程得分离变量积分得你现在浏览的是第六十七页，共121页利用于是有利用因此所求特解为你现在浏览的是第六十八页，共121页此类方程的特点是不显含 x，这里的 p是y 的函数，是x 的复合函数。则 于是原方程化为：这是以y为自变量,p为未知函数的一阶方程10.4.

23、310.4.3型的微分方程型的微分方程可设 ，你现在浏览的是第六十九页，共121页假设能求出该方程的通解：即 利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为 你现在浏览的是第七十页，共121页例例5 求微分方程 的通解 解解 令 代入原方程得分离变量，得 两边积分得 则你现在浏览的是第七十一页，共121页分离变量，得 两边积分得 即得原微分方程的通解：你现在浏览的是第七十二页，共121页作业：P2051(1)(3)2（2）3（2）你现在浏览的是第七十三页，共121页(1)(1)知识回顾：知识回顾：（2 2）型的微分方程型的微分方程;解法：积分n次可设型的微分方程型的微分方程;（3 3）解法：型的微分

24、方程型的微分方程;解法：可设则你现在浏览的是第七十四页，共121页10.5.1 10.5.1 10.5.1 10.5.1 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构10.510.5二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程10.5.2 10.5.2 10.5.2 10.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程10.5.3 10.5.3 10.5.3 10.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程二

25、阶线性常系数非齐次微分方程10.5.0 10.5.0 10.5.0 10.5.0 二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念你现在浏览的是第七十五页，共121页二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称称为为自由项自由项。方程中 p(x)、q(x)和 f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y，且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项。例如 y+

26、xy+y=x2 就是二阶线性方程.而 y+x(y)2+y=x2 就不是二阶线性方程.10.0 10.0 10.0 10.0 二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程的基本概念你现在浏览的是第七十六页，共121页y +p(x)y +q(x)y=f(x)当 f(x)0 时，称为二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程，当 f(x)恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，y +p(x)y +q(x)y=0即你现在浏览的是第七十七页，共121页定理定理 1 (1)如果函数如果函数 y1 线性齐次方程线性齐次方程的解，的解，y

27、=C y1也是该方程的解也是该方程的解，证证因为 y1 方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，所以有其中其中 C是任意常数是任意常数.则函数则函数证毕！10.5.1 10.5.1 10.5.1 10.5.1 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构你现在浏览的是第七十八页，共121页(2)(2)如果函数如果函数y1与与y2是线性齐次方程是线性齐次方程的两个解，的两个解，y=y1+y2也是该方程的解也是该方程的解.证证因为 y1 与 y2 是方程 y+p(x)y+q(x)y=0和所以有则函数则函数两式相加得的两个解，你现在浏览的是第七

28、十九页，共121页如果函数如果函数 y1 与与 y2 是线性齐次方程的两个解，是线性齐次方程的两个解，y=C1 y1+C2 y2也是该方程的解也是该方程的解，其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则它们的线性组合则它们的线性组合由上面的定理，我们可以综合得到如下结论：你现在浏览的是第八十页，共121页定义定义如果存在如果存在n个不全为个不全为 0 的常数的常数使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.例如，函数例如，函数和函数和函数因为不存在两个不全为因为不存在两个不全为 0 的常数的常数 k

29、1和和 k2，使得对所有的，使得对所有的x都有都有是线性无关是线性无关.你现在浏览的是第八十一页，共121页事实上,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.当 y1(x)与 y2(x)线性相关，你现在浏览的是第八十二页，共121页定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，由前面结论知 y=C1 y1+C2 y2

30、也是该方程的解.又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，故C1 与C2不能合并为一个任意常数，因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(形如 y1=ky2 或 y2=k1 y)来表示.你现在浏览的是第八十三页，共121页求二阶线性齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性齐次方程通解的一般步骤为：求求线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的线性无关的两个特解的线性无关的两个特解 y1 与与 y2；则该方程的通解则该方程的通解 y=C1 y1+C2 y2.

31、你现在浏览的是第八十四页，共121页定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程是线性非齐次方程的一个特的一个特解，解，则线性非齐次方程则线性非齐次方程的通解是的通解是证证依题意有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，是该方程所对应的线性齐是该方程所对应的线性齐次方程次方程的通解，的通解，你现在浏览的是第八十五页，共121页将两式相加，得将两式相加，得 因此，因此，是线性非齐次方程是线性非齐次方程的通解。的通解。你现在浏览的是第八十六页，共121页求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求求线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(

32、x)y=0 的的线线性性无无关的两个特解关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 y=C1 y1+C2 y2.(2)求求线线性性非非齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的的一个特解一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为你现在浏览的是第八十七页，共121页如果二阶线性齐次微分方程为如果二阶线性齐次微分方程为y +py +qy=0，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则则称称该该方方程程为为二二阶阶线线性性常常系系数数齐次微分方程齐次微分方程.10.5.2 10.5.2 10.5.2 10.5.2 二阶线性常系数齐次微分

33、方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程你现在浏览的是第八十八页，共121页y +py +qy=0 考虑到左边 p，q 均为常数，我们可以猜想该方程具有 y=ex 形式的解，其中 为待定常数.将由于ex 0，因此，只要 满足方程y=ex 就是式的解.代入上式，得你现在浏览的是第八十九页，共121页代数方程2+p+q=0，称为微分方程特征方程的根称为特征根特征根.的特征方程特征方程；y+py+qy=0 例如，其特征根是你现在浏览的是第九十页，共121页特征方程是个一元二次方程，其解有三种可能，因而它的通解为所以 y1 与 y2 线性无关，都是 的解，则函

34、数1 特征方程具有两个不相等的实根 1 与 2；下面根据这三种可能分别讨论齐次微分方程通解.你现在浏览的是第九十一页，共121页例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为 2 2 3=0,其对应的两个线性无关的特解为 y1=e-x 与 y2=e3x,所以方程的通解为它有两个不等的实根 1=-1，2=3,你现在浏览的是第九十二页，共121页例例 2求方程求方程 y -5y +6+6y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为 2 5+6=0,所以方程的通解为它的特征根 是1=2，2=3,你现在浏览的是第九十三页，共121页作业：P2122（1）（2）3（1

35、）你现在浏览的是第九十四页，共121页知识回顾：知识回顾：（1）如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，y=C1 y1;都是该方程的解，其中 C1，C2 是任意常数.则y+p(x)y+q(x)y=f(x)y+p(x)y+q(x)y=0且如果函数 y1 与 y2 是线性无关，则方程的通解就是y=y1+y2;y=C1 y1+C2 y2y=C1 y1+C2 y2你现在浏览的是第九十五页，共121页y +py +qy=0（2）二阶线性常系数齐次微分方程：二阶线性常系数齐次微分方程：（其中（其中 p、q 均为常数）均为常数）.其特征方程特征方程是方程的通解为1 特征方程具有两个不相等的实根 1

36、 与 2,你现在浏览的是第九十六页，共121页y +py +qy=010.5.2 10.5.2 10.5.2 10.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个还还需需再再找找一一个个与与 y1 线线性性无无关关的的特特解解 y2，即即特解特解 y1=ex.其特征方程特征方程是你现在浏览的是第九十七页，共121页将 y2 及其一阶导数y2=ex(u(x)+2u(x)+2u(x)，为

37、此，设 y2=u(x)y1，其中 u(x)为待定函数.y2=(uex)=exu(x)+u(x)，二阶导数代入方程 y+py+qy=0 中，得注意到所以有 2+p+q=0及 2+p =0.ex 0且是特征方程的重根，你现在浏览的是第九十八页，共121页因此只要 u(x)满足则 y2=uex就是为简便起见，取方程 u(x)=0 的一个解 u=x，于是得到方程且与 y1=ex 线性无关的解:因此，式的通解为式的解。你现在浏览的是第九十九页，共121页解解该方程的特征方程是该方程有两个线性无关的解：例例1 1因该方程的通解是你现在浏览的是第一百页，共121页解解该方程的特征方程是例例2 2因该方程的通

38、解是你现在浏览的是第一百零一页，共121页3 特征方程具有一对共轭复根特征方程具有一对共轭复根这时有两个线性无关的特解这是两个复数解，为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式 可得你现在浏览的是第一百零二页，共121页于是有于是有 由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx均为 式的解，且它们线性无关.因此，这时方程的通解为你现在浏览的是第一百零三页，共121页例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为 22+2+3=0，它有共轭复根所以方程的通解为你现在浏览的是第一百零四页，共121页例例

39、4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解所以方程的通解为2+4=0，该方程的特征方程为它有共轭复根 1,2=2i.即a=0，b=2.你现在浏览的是第一百零五页，共121页 上上述述求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程通通解解的的方方法法称称为为特征根法，其步骤是：特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根根据据特特征征根根的的三三种种不不同同情情况况，写写出出对对应应的的特特解解，并写出其通解并写出其通解.有两个不相等的实根 1、2 有一对共轭复根 1,2abiyeax(C1cosbxC2sinbx)方

40、程ypyqy0的通解方程2pq0的根的情况有两个相等的实根 你现在浏览的是第一百零六页，共121页例例 求解下列各二阶线性常系数齐次微分求解下列各二阶线性常系数齐次微分方程的通解方程的通解.你现在浏览的是第一百零七页，共121页你现在浏览的是第一百零八页，共121页你现在浏览的是第一百零九页，共121页你现在浏览的是第一百一十页，共121页10.5.3 10.5.3 10.5.3 10.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程是线性非齐次方程的一个特的一个特解，解，

41、则线性非齐次方程则线性非齐次方程的通解是的通解是是该方程所对应的线性齐是该方程所对应的线性齐次方程次方程的通解，的通解，知识回顾知识回顾y+p(x)y+q(x)y=f(x)y+p(x)y+q(x)y=0你现在浏览的是第一百一十一页，共121页形如形如其中其中 p、q 均为常数均为常数.的微分方程称为的微分方程称为二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程,在这里我们仅介绍在这里我们仅介绍的情景的情景,其中其中Pm(x)是是x的多项式，的多项式，即即你现在浏览的是第一百一十二页，共121页v结论（证明过程略）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解有形如其中Qm(x)是与Pm(x)同次的

42、多项式你现在浏览的是第一百一十三页，共121页例如则方程有个特解你现在浏览的是第一百一十四页，共121页例例 5求方程求方程 y +4y +3 y=x-2-2的一个特解的一个特解.解解所以可设特解为这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，你现在浏览的是第一百一十五页，共121页则则代入原方程后，化简得代入原方程后，化简得该式子对所有的该式子对所有的x都成立，因此比较两边同次幂的系数，都成立，因此比较两边同次幂的系数，得得因此得特解为因此得特解为你现在浏览的是第一百一十六页，共121页例例 6求方程求方程 y -2y +y=xe ex的通解的通解.解解所以齐次方程的通解是这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。你现在浏览的是第一百一十七页，共121页所以可设特解为你现在浏览的是第一百一十八页，共121页代入原方程你现在浏览的是第一百一十九页，共121页比较两边同次幂的系数，得比较两边同次幂的系数，得因此得特解为因此得特解为从而原方程的通解为从而原方程的通解为你现在浏览的是第一百二十页，共121页作业：P2122（3）（4）3（2）4（1）（3）你现在浏览的是第一百二十一页，共121页