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1、常微分方程课件你现在浏览的是第一页，共45页IV IV 积分曲线与向量场积分曲线与向量场表示区域表示区域D D一条光滑曲线，称之为方程的一条光滑曲线，称之为方程的积分曲线积分曲线.设设D D 为平面上的区域，考虑微分方程为平面上的区域，考虑微分方程方程的通解方程的通解当当C C 变动时，表示区域变动时，表示区域D D的的 一族曲线，称之为一族曲线，称之为积分曲线族积分曲线族.你现在浏览的是第二页，共45页你现在浏览的是第三页，共45页转化转化 初等积分法 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 第二章 你现在浏览的是第四页，共45页分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设
2、 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当当G(y)与与F(x)可微且可微且 G(y)g(y)0 时时,说明由说明由确定的隐函数确定的隐函数 y(x)是是的解的解.则有则有称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当F(x)=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x(y)也是也是的解的解.你现在浏览的是第五页，共45页例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每
3、一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)你现在浏览的是第六页，共45页例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为你现在浏览的是第七页，共45页例例3.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:你现在浏览的是第八页，共45页练习练习:解法解法 1故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:(试用适当
4、的变量代换试用适当的变量代换)解法解法2 分离变量分离变量即即(C 0,积分得积分得故有故有得得 (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程)你现在浏览的是第二十二页，共45页顶到底的距离为顶到底的距离为 h,说明说明:则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得代入通解表达式得你现在浏览的是第二十三页，共45页(h,k 为待为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为 令令,解出解出 h,k(齐次方程齐次方程)定常数
5、定常数),你现在浏览的是第二十四页，共45页求出其解后求出其解后,即得原方即得原方 程的解程的解.原方程可化为原方程可化为 令令(可分离变量方程可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 你现在浏览的是第二十五页，共45页例例4.求解求解解解:令令得得再令再令 YX u,得得令令积分得积分得代回原变量代回原变量,得原方程的通解得原方程的通解:你现在浏览的是第二十六页，共45页得得 C=1,故所求特解为故所求特解为练习练习:若方程改为若方程改为 如何求解如何求解?提示提示:你现在浏览的是第二十七页，共45页(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方
6、程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法1)根据几何关系列方程根据几何关系列方程 2)根据物理规律列方程根据物理规律列方程 3)根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解求通解,并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤你现在浏览的是第二十八页，共45页线性微分方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第二章 你现在浏览的是第二十九页，共45页一、一阶线性微分方程一、
7、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为称为称为齐次方程齐次方程;你现在浏览的是第三十页，共45页对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.解非齐次方程解非齐次方程用用常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得你现在浏览的是第三十一页，共45页例例1.解方程解方程 解解:先解先解即即积分得积分得即即用用常数变易法常数变易法求特解求特
8、解.令令则则代入非齐次方程得代入非齐次方程得解得解得故原方程通解为故原方程通解为你现在浏览的是第三十二页，共45页例例2.求方程求方程的通解的通解.解解:注意注意 x,y 同号同号,由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式,得得故方程可变形为变形为所求通解为所求通解为 这是以这是以为因变量为因变量,y为为 自变量自变量的一阶线性方程你现在浏览的是第三十三页，共45页在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0例例3.有一电路如图所示有一电路如图所示,电阻电阻 R 和电和电 解解:列方程列方程.已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L的
9、电压降为的电压降为因此有因此有即即初始条件初始条件:由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,你现在浏览的是第三十四页，共45页解方程解方程:由初始条件由初始条件:得得利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得你现在浏览的是第三十五页，共45页暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流 因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义:你现在浏览的是第三十六页，共45页二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式:令令求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边,得得换回原变量即得伯努
10、利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)你现在浏览的是第三十七页，共45页例例4.求方程求方程的通解的通解.解解:令令则方程变形为则方程变形为其通解为其通解为将将代入代入,得原方程通解得原方程通解:（原方程一特解（原方程一特解:y=0）你现在浏览的是第三十八页，共45页内容小结内容小结1.一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式化为线性方程求解化为线性方程求解.2.伯努利方程伯努利方程你现在浏览的是第三十九页，共45页思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:提示提
11、示:可分离可分离 变变量方程量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程伯努利伯努利方程方程你现在浏览的是第四十页，共45页综合题综合题1.求一连续可导函数求一连续可导函数使其满足下列方程使其满足下列方程:提示提示:令令则有则有利用公式可求出利用公式可求出你现在浏览的是第四十一页，共45页2.设有微分方程设有微分方程其中其中试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件的连续解的连续解.解解:1)先解定解问题先解定解问题利用通解公式利用通解公式,得得利用利用得得故有故有你现在浏览的是第四十二页，共45页2)再解定解问题再解定解问题此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得利用衔接条件得因此有因此有3)原问题的解为原问题的解为你现在浏览的是第四十三页，共45页求所满足的微分方程求所满足的微分方程.例例.已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q解解:如图所示如图所示,令令 Y=0,得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x,y)处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,你现在浏览的是第四十四页，共45页