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1、插值与逼近你现在浏览的是第一页，共65页 插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定条件下在某个范围内近似代替另一个较复杂的函数或解析表达式未能给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。你现在浏览的是第二页，共65页5.1 代数插值代数插值5.1.1 一元函数插值一元函数插值一、基本概念一、基本概念你现在浏览的是第三页，共65页代数插值问题：在次数不超过在次数不超过n的多项式集合的多项式集合这这类类问问题题称称为为一一元元函函数数的的代代数数插插值值问问题题。称称为为插插值值结结点点，f(x)称称为为被被插插函函数数，称称为为插插值基函数。值基函数。你现在浏览的是第四页，共6
2、5页插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性你现在浏览的是第五页，共65页 二、二、Lagrange插值方法插值方法你现在浏览的是第六页，共65页三、插值余项与截断误差估计三、插值余项与截断误差估计你现在浏览的是第七页，共65页说明：说明：你现在浏览的是第八页，共65页例5.1 你现在浏览的是第九页，共65页你现在浏览的是第十页，共65页四、四、Newton插值方法插值方法(5.1.7)你现在浏览的是第十一页，共65页你现在浏览的是第十二页，共65页差商你现在浏览的是第十三页，共65页Newton插值公插值公式式将以上结果代入将以上结果代入(5.1.7)(5.1.7)得到得到NewtonN
3、ewton插值公式插值公式说明说明你现在浏览的是第十四页，共65页差商的性质你现在浏览的是第十五页，共65页差商表差商表你现在浏览的是第十六页，共65页例5.2解：解：先造差商表先造差商表一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.410750.550.578150.650.696750.800.888110.901.026521.051.25386你现在浏览的是第十七页，共65页 由由Newton公式得四次插值多项式为：公式得四次插值多项式为：你现在浏览的是第十八页，共65页定理定理5.2证明证明你现在浏览的是第十九页，共65页 5.2 Hermite插值插值 前面所讨论的代数插值问
4、题只要求插值多项式前面所讨论的代数插值问题只要求插值多项式 pn(x)满足插值条件：满足插值条件：如果如果在插值条件中在插值条件中再增加再增加对结点处导数的限制，对结点处导数的限制，则构造则构造的多项式函数能在光滑性上的多项式函数能在光滑性上于结点处与原函数保持一致于结点处与原函数保持一致从而使构造出的函数从而使构造出的函数能更好地逼近原来的函数能更好地逼近原来的函数引言引言你现在浏览的是第二十页，共65页Hermite插值问题插值问题在次数不超过在次数不超过n+m+1 的多项式集合的多项式集合的的Hermite插值多项式插值多项式你现在浏览的是第二十一页，共65页存在性定理存在性定理 你现在
5、浏览的是第二十二页，共65页误差估计误差估计(5.2.3)你现在浏览的是第二十三页，共65页例5.2.1例例5.2.15.2.1 给定函数值表如下给定函数值表如下:你现在浏览的是第二十四页，共65页你现在浏览的是第二十五页，共65页你现在浏览的是第二十六页，共65页你现在浏览的是第二十七页，共65页你现在浏览的是第二十八页，共65页带重结点的差商表带重结点的差商表你现在浏览的是第二十九页，共65页 5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法最佳平方逼近的概念与解法 5.6 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近你现在浏览的是第三十页，共65页权函数一、基本概念一、基本概念你现在浏览的是第三十一页，共6
6、5页内积你现在浏览的是第三十二页，共65页函数组的生成子空间你现在浏览的是第三十三页，共65页最佳平方逼近多项式(5.6.1)你现在浏览的是第三十四页，共65页最佳平方逼近的条件(5.6.2)你现在浏览的是第三十五页，共65页二、最佳平方逼近元素的求法(5.6.3)非奇异的，即法方程组存在唯一解。你现在浏览的是第三十六页，共65页均方误差你现在浏览的是第三十七页，共65页例例1 1定义内积定义内积你现在浏览的是第三十八页，共65页你现在浏览的是第三十九页，共65页正交多项式组(5.6.4)(5.6.5)你现在浏览的是第四十页，共65页Legendre多项式多项式你现在浏览的是第四十一页，共65
7、页Chebshev多项式多项式你现在浏览的是第四十二页，共65页Laguerre多项式多项式你现在浏览的是第四十三页，共65页Hermite多项式多项式你现在浏览的是第四十四页，共65页三角函数系三角函数系你现在浏览的是第四十五页，共65页例1(续)应用应用Legendre多项式求解例多项式求解例1你现在浏览的是第四十六页，共65页曲线拟合问题曲线拟合问题已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求寻求一个函数（曲线）一个函数（曲线）y=f(x),使使f(x)在某种准则下与所有数据点在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。最为
8、接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线y=f(x)的距离的距离(纵轴方向纵轴方向)5.6.5 曲线拟合与曲面拟合曲线拟合与曲面拟合你现在浏览的是第四十七页，共65页拟合与插值的关系拟合与插值的关系 函函数数插插值值与与曲曲线线拟拟合合都都是是要要根根据据一一组组数数据据构构造造一一个个函函数数作作为为近近似似，由由于于近近似似的的要要求求不不同同，二二者者的的数数学学方方法法上上是是完全不同的。完全不同的。问题相同：问题相同：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线。解决方案不同：解决方案不同：若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反
9、映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线通过所给所有数据点，就是插值问题插值问题；你现在浏览的是第四十八页，共65页最小二乘法(5.6.7)(5.6.8)你现在浏览的是第四十九页，共65页求最小二乘法解的方法求最小二乘法解的方法你现在浏览的是第五十页，共65页类似于定理类似于定理1和定理和定理2 的证明，我们可以证明以下结论。的证明，我们可以证明以下结论。(5.6.11)你现在浏览的是第五十一页，共65页例例2 2给定数表给定数表x-0.75-0.5-0.2500.250.50.75y0.330.881.442.002.563.133.71试分别用一
10、次、二次、三次多项式根据最小二乘试分别用一次、二次、三次多项式根据最小二乘原则拟合这些数据，并比较优劣。原则拟合这些数据，并比较优劣。xy你现在浏览的是第五十二页，共65页解解(1)法方程法方程的解为的解为所求一次多项式为所求一次多项式为误差平方和误差平方和你现在浏览的是第五十三页，共65页(2)法方程法方程的解为的解为所求二次多项式为所求二次多项式为误差平方和误差平方和你现在浏览的是第五十四页，共65页法方程法方程的解为的解为所求三次多项式为所求三次多项式为误差平方和误差平方和(3)你现在浏览的是第五十五页，共65页你现在浏览的是第五十六页，共65页你现在浏览的是第五十七页，共65页例例3
11、3已知一组实验数据已知一组实验数据x23478101114161819y106.42 108.20 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.76 111.00 111.20试以最小二乘原则求一个函数拟合这组数据。试以最小二乘原则求一个函数拟合这组数据。xy你现在浏览的是第五十八页，共65页(1)双曲线模型双曲线模型这时，这时，法方程法方程的解为的解为所求双曲线函数为所求双曲线函数为误差平方和误差平方和你现在浏览的是第五十九页，共65页(2)指数曲线模型指数曲线模型两边取对数两边取对数其中其中由此原由此原数据表可换成数据表可换成数据表数据表你现在浏览的是第六十页，共65页法方程法方程的解为的解为由此得由此得误差平方和误差平方和所求指数函数为所求指数函数为你现在浏览的是第六十一页，共65页你现在浏览的是第六十二页，共65页你现在浏览的是第六十三页，共65页定理1证明你现在浏览的是第六十四页，共65页你现在浏览的是第六十五页，共65页