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1、函数逼近的插值法第1页，此课件共83页哦引言 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。第2页，此课件共83页哦引言问题提出1 函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值2 仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.第3页，此课件共8
2、3页哦引言 第4页，此课件共83页哦2.1 Lagrange插值法第5页，此课件共83页哦线性插值第6页，此课件共83页哦 第7页，此课件共83页哦 第8页，此课件共83页哦Lagrange插值法第9页，此课件共83页哦构造插值基函数 引理1 设在区间a,b上有n+1个互异节点 ，如果n次多项式 满足则第10页，此课件共83页哦构造插值函数Ln(x)第11页，此课件共83页哦第12页，此课件共83页哦第13页，此课件共83页哦第14页，此课件共83页哦误差估计第15页，此课件共83页哦特例第16页，此课件共83页哦第17页，此课件共83页哦第18页，此课件共83页哦第19页，此课件共83页哦例
3、题第20页，此课件共83页哦第21页，此课件共83页哦例题第22页，此课件共83页哦第23页，此课件共83页哦第24页，此课件共83页哦第25页，此课件共83页哦第26页，此课件共83页哦Lagrange插值算法第27页，此课件共83页哦 第28页，此课件共83页哦编写程序如下nfunction yy =Lagrange(x,y,xi)nm=length(x);n=length(y);nif m=n,error(The length of vector x and y must be consistent);endns=0;nfor i=1:nn z=ones(1,length(xi);n f
4、or j=1:nn if j=in z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j);n endn endn s=s+z*y(i);nendnyy=s;nend第29页，此课件共83页哦n 例2 已知数据如表所示，试用Lagrange插值多项式求x=0.5626，0.5635，0.5645时的函数近似值。xi0.56160 0.56280 0.56401 0.56521yi0.82741 0.82659 0.82577 0.81495第30页，此课件共83页哦nx=0.5610,0.56280,0.56401,0.56521;n y=0.82741,0.82659,0.82557,0.8249
5、5;n xi=0.5625,0.5635,0.5645;n yi=Lagrange(x,y,xi)nyi=n 0.8268 0.8260 0.8252n plot(x,y,o,xi,yi,g)第31页，此课件共83页哦第32页，此课件共83页哦关于Langrange插值的几点说明n 仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。n若 本身是一个不超过n次多项式，则第33页，此课件共83页哦nLangrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；第34页，此课件共83页哦第35页，此课件共83页哦n例3 在区间【-
6、5，5】上取节点数n=11，等距间隔h=1的节点为插值点，对于 进行Lagrange插值，画出 和插值多项式的曲线图。作业：取节点数n=21 等距间隔h=1第36页，此课件共83页哦nt=-5:0.1:5;nft=5./(1+t.*t);nt1=-5:1:5;nft1=5./(1+t1.*t1);ny1=Lagrange(t1,ft1,t);nplot(t,ft,b+,t,y1,r:)第37页，此课件共83页哦第38页，此课件共83页哦第39页，此课件共83页哦第40页，此课件共83页哦第41页，此课件共83页哦第42页，此课件共83页哦第43页，此课件共83页哦差商的性质 第44页，此课件共
7、83页哦第45页，此课件共83页哦差商的性质第46页，此课件共83页哦第47页，此课件共83页哦第48页，此课件共83页哦第49页，此课件共83页哦第50页，此课件共83页哦第51页，此课件共83页哦第52页，此课件共83页哦Newton插值计算插商表1一阶插商二阶插商三阶插商单元号F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)第53页，此课件共83页哦插商表2第54页，此课件共83页哦求Nn(x)n插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。n插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。n下面用n=3举例计算“秦九韶算法”第55页，此课件共83页哦第56页，此课件共83页哦例题第57页，此课件共83页哦第
8、58页，此课件共83页哦第59页，此课件共83页哦第60页，此课件共83页哦nfunction yi=Newton Int(x,y,xi)nn=length(x);m=length(y);nif n=mn error(The length of vector x and y must be consistent);n return;nendnY=zeros(n);Y(:,1)=y;nfor k=1:n-1n for i=1:n-kn Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);n endnendnyi=0;nfor i=1:nn z=1;n for k=1:i
9、-1n z=z*(xi-x(k);n endn yi=yi+Y(1,i)*z;nend第61页，此课件共83页哦n=2;x=linspace(0,2,n);y=2*exp(x)+sin(x);xi=0:0.01:2;yi=New_Int(x,y,xi);xx=0:0.01:2;yy=2*exp(xx)+sin(xx);plot(xx,yy,b,x,y,b*,xi,yi,r-)第62页，此课件共83页哦nLagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代
10、的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。第63页，此课件共83页哦第64页，此课件共83页哦Hermite插值多项式n构造H(x)第65页，此课件共83页哦第66页，此课件共83页哦第67页，此课件共83页哦第68页，此课件共83页哦第69页，此课件共83页哦第70页，此课件共83页哦第71页，此课件共83页哦第72页，此课件共83页哦算法2.3.1第73页，此课件共83页哦第74页，此课件共83页哦Hermite插值余项第75页，此课件共83页哦特例第76页，此课件共83页哦第77页，此课件共83页哦例题第78页，此课件共83页哦第79页，此课件共83页哦第80页，此课件共83页哦第81页，此课件共83页哦第82页，此课件共83页哦第83页，此课件共83页哦