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1、计算方法五插值与逼近现在学习的是第1页，共59页摘摘 要要l 本文主要介绍了插值方法中的多项式插值方法本文主要介绍了插值方法中的多项式插值方法本文主要介绍了插值方法中的多项式插值方法本文主要介绍了插值方法中的多项式插值方法l l 插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的方法，插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的方法，利用该方法可以通过函数在有限个点处的函数值求出其近利用该方法可以通过函数在有限个点处的函数值求出其近似函数，进而估算出函数在其它点处的值似函数，进而估算出函数在其它点处的值l l 插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分、插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分
2、、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要的应用数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要的应用现在学习的是第2页，共59页1.1.1 1.1.1 插值问题插值问题构造一个简单易算的函数，使其满足下述条件：构造一个简单易算的函数，使其满足下述条件：(4-1)(4-2)1.1 1.1 引引 言言设已知函数在上个互异点处的函数值和导数值设已知函数在上个互异点处的函数值和导数值以上问题称作以上问题称作插值问题插值问题，称为称为插值节点插值节点，关于节点组关于节点组 的的插值函数插值函数,称为称为（4-24-2）称为）称为插值条件。插值条件。现在学习的是第3页，共59页现在学习的是第4页，共59页在插值法中
3、需考虑的问题：在插值法中需考虑的问题：简单函数类的选取问题简单函数类的选取问题 存在唯一性问题存在唯一性问题 余项估计问题余项估计问题余项估计问题余项估计问题 收敛性问题收敛性问题 现在学习的是第5页，共59页1.1.2 1.1.2 LagrangeLagrange插值基本概念插值基本概念 我们的目标是找一个简单的函数，例如多项式函数我们的目标是找一个简单的函数，例如多项式函数 ,使之满足条件使之满足条件即在给定点即在给定点 处，处，与与 是相吻合的是相吻合的。假设假设 是定义在区间是定义在区间 上的未知或复杂函数上的未知或复杂函数 ,但已知该函数在互异点但已知该函数在互异点处的函数值处的函数
4、值(4-3)现在学习的是第6页，共59页条件条件(4-3)(4-3)称为称为插值条件插值条件,并把求并把求 的过程的过程称为称为插值法插值法。把把 称为称为 的的插值多项式插值多项式(函数函数),),通常把通常把 称为称为插值节点插值节点,称为称为被插函数被插函数.称为称为插值区间插值区间设设 由插值条件可得由插值条件可得 现在学习的是第7页，共59页显然，其系数是满足Vandermorde（范德蒙）行列式（范德蒙）行列式，满满足足这实际这实际上就上就证证明了代数多明了代数多项项式插式插值值的的存在唯一性存在唯一性。（所有次数不超（所有次数不超过过 的实系数代数多项式的实系数代数多项式因此，在
5、因此，在的集合）中有唯一的多项式的集合）中有唯一的多项式现在学习的是第8页，共59页4.2.1 Lagrange插值公式 的情形，的情形，且且 构造一次多构造一次多项项式式 ，满满足条件：足条件：考虑考虑给定给定由直由直线线的两点式可知：的两点式可知：，解之，得，解之，得进进一步可改写成一步可改写成其中其中分分别别称其称其为为关于关于节节点点 和和 的的插插值值基函数基函数。现在学习的是第9页，共59页并且具有性质：并且具有性质：从而，从而，满满足插足插值值条件条件：条件条件：故故即即为满为满足条件的一次足条件的一次LagrangeLagrange插值插值多多项项式。式。l 插值基函数的个数插
6、值基函数的个数=插值节点的个数；插值节点的个数；注意：注意：l 插值基函数的次数插值基函数的次数=插值节点的个数插值节点的个数-1-1；l 插值基函数决定着插值多项式满足插值条件；插值基函数决定着插值多项式满足插值条件；l 插值基函数与插值节点的次序无关。插值基函数与插值节点的次序无关。现在学习的是第10页，共59页 ,满满足条件：足条件：且且 构造二次多构造二次多项项式式的情形，的情形，考虑考虑给定给定进进一步写成一步写成其中其中，均，均为为二次的插二次的插值值基函数多基函数多项项式，且式，且满满足足下面我们下面我们 以为例来确定出：以为例来确定出：现在学习的是第11页，共59页由条件由条件
7、可知可知,其中其中A为为待定系数。又由待定系数。又由，可得可得从而，从而，同理，同理，是是 的两个根，从而的两个根，从而现在学习的是第12页，共59页进进而而满满足条件的二次足条件的二次Lagrange插值插值多多项项式式为为：设设 是是 上的上的 个互异点，取个互异点，取(4-6)其中显然(4-7)称为称为 次次Lagrange插值基函数插值基函数现在学习的是第13页，共59页就是就是 多项式空间多项式空间 中中满满足插足插值值条件条件从而从而的唯一的多的唯一的多项项式，式，称称为为次次Lagrange插值多项式插值多项式 现在学习的是第14页，共59页，并利用并利用 计算出计算出 的近似值
8、的近似值 解解 首先计算插值基函数：首先计算插值基函数：求求 的二次的二次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式 例例1 1的如下函数值：的如下函数值：已知函数已知函数现在学习的是第15页，共59页于是 现在学习的是第16页，共59页 在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节点个数在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节点个数插值节点个数发生变化后，所有的插值节点个数发生变化后，所有的LagrangeLagrange插值基函数都会发生插值基函数都会发生变化，从而整个变化，从而整个LagrangeLagrange插值多项式的结构发生变化，这在计算实插值多项式的结构发
9、生变化，这在计算实践中是不方便的为了克服践中是不方便的为了克服LagrangeLagrange插值多项式的缺点，能灵活地插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有增加插值节点，使其具有“承袭性承袭性”，我们引进，我们引进NewtonNewton插值公式。插值公式。4.2.2 Newton插值公式插值公式现在学习的是第17页，共59页，将基函数取作：上的函数值在上的设已知函数个互异插值节点(4-8)则可将 次插值多项式写成如下形式：(4-9)其中待定系数由插值条件来确定 差商展开式！现在学习的是第18页，共59页例如，时，由插值条件:可得从而时，应有由 得 现在学习的是第19页，共59页的
10、一般表达式，我们给出均差的定义。即 实际上，由于插值多项式的唯一性，Newton插值多项式只不过是Lagrange插值多项式的另一种表现形式，两者是可以互推的。为得到Newton插值多项式的一般表达式,即 现在学习的是第20页，共59页定义4.2 设函数 在互异的节点 上的函数值为,称 为 关于的一阶均差（差商）一阶均差（差商）。称 (4-11)(4-12)为 关于 的二阶均差（差商）。二阶均差（差商）。称 为 关于 的k阶均差（差商）阶均差（差商）。现在学习的是第21页，共59页均差有如下性质：，其中1 对称性，即在中任意调换的位置时，均差的值不变,即意味着上式求和的次序的改变，而其值不变。
11、为自然数，则3诸 的齐次函数，2若事实上，由1可以看出任何两个节点调换顺序，只是现在学习的是第22页，共59页4此处 内次可微，则在包含的区间设练习，练习，求和解解:若次次Newton插值多项式公式：插值多项式公式：从而我们可以构造出现在学习的是第23页，共59页为了便于计算均差，常利用如下形式生成均差表：例2已知 注意：求 关于上述节点组的三次插值多项式现在学习的是第24页，共59页解 首先利用均差表计算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多项式为：现在学习的是第25页，共59页例 3已知求 关于上述节点组的插值多项式解 首先利用均差表计算均差现在学习的是第26页，共59页由上面的均差表可知
12、，故所求的插值多项式为：插值余项插值余项定理定理4.2其中其中 的区的区间间 上上若若 在包含着插在包含着插值节值节点点，存在与存在与 有关的有关的 次可微，次可微，则对则对任意任意使得使得 (4-14)现在学习的是第27页，共59页证明：因为有个互异根所以有个互异根（Rolle定理），有一个根使得又注意便知现在学习的是第28页，共59页递推地得到：递推地得到：从而现在学习的是第29页，共59页求牛顿求牛顿2次插值多项式，使其在处与的值相同。现在学习的是第30页，共59页4.5 4.5 正交函数族在逼近中的应用正交函数族在逼近中的应用4.5.1 4.5.1 正交多项式简介正交多项式简介对于对于
13、 上的连续函数上的连续函数 ，定义内积：，定义内积：其中可积函数其中可积函数(x)0（xa,b）是权函数。）是权函数。连续连续函数函数 和和 的内积满足：的内积满足：，当且，当且仅仅当当 时，时，（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）现在学习的是第31页，共59页 在在a,b上关于上关于权权函数函数 和和正交正交则称则称给给定定线线性无关的函数性无关的函数组组 若若 ,正交多项式系正交多项式系 可用如下Schmidt正交化过程得到正交向量系：现在学习的是第32页，共59页易证：其中可以证明线性相关现在学习的是第33页，共59页因此，因此，是正交向量系。并且现在学习的是第34页，共59页最后，
14、得到标准正交向量系：现在学习的是第35页，共59页进进行正交化即得正交多行正交化即得正交多项项特别取多项式系特别取多项式系式系：令式系：令 取取 则则 构成构成正交多正交多项项式系式系。现在学习的是第36页，共59页例例1，解解求 上关于 二次正交多二次正交多项项式族式族。取现在学习的是第37页，共59页下面验证下面验证 和和 俩俩相互正交。俩俩相互正交。事实上，事实上，现在学习的是第38页，共59页例例2，解解求 上关于 二次正交多二次正交多项项式族式族。取现在学习的是第39页，共59页正交多项式的一些重要性质：正交多项式的一些重要性质：性质性质 2 2 性质性质 3 3 性性质质2和性和性
15、质质3是构造是构造Gauss型求型求积积公式的重要依据公式的重要依据性质性质 1 1 恰好是n次多项式，是 的一组基底函数。在 内恰有 个互异零点。与次数低于 次的所有多项式正交。现在学习的是第40页，共59页4.5.2 函数的最佳平方逼近设求使得现在学习的是第41页，共59页这等价于求多元函数的极小值点：现在学习的是第42页，共59页称为法方程组。经常是病态的。但是，如果用标准正交多项式，则法方程组矩阵为单位阵，且就是的正交展开式现在学习的是第43页，共59页4.5.3 4.5.3 数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法这这些数据往往些数据往往带带有随机的有随机的误误差，如果利用差，如果利
16、用这这些数据按插些数据按插值值法法求求与与实际实际不符的不符的结结果。果。的一的一组组数据数据假设有变量假设有变量的近似表达式，必然将误差带入函数关系式中，甚至可能得到的近似表达式，必然将误差带入函数关系式中，甚至可能得到函数关系函数关系满满足足线线性关系性关系假设假设例如，例如，现在学习的是第44页，共59页称为称为散点散点图图）时时，这这些点可能并不共些点可能并不共线线（但（但这这些点又必然在直些点又必然在直线线的周的周围围），因此插），因此插值值多多项项式不会是式不会是线线性函数只能性函数只能另另而在而在xOy坐标平面上将以这组数据为坐标的点描出来（所得图形坐标平面上将以这组数据为坐标的
17、点描出来（所得图形最小二乘法最小二乘法是处理这类数据拟合选办法确定关系式选办法确定关系式问题的好方法。问题的好方法。最小二乘法的几何意义最小二乘法的几何意义现在学习的是第45页，共59页 设设 为给为给定的一定的一组组数据求一个函数数据求一个函数使其使其满满足足简简称称最小二乘法最小二乘法，则称为为离散数据离散数据的数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法 显显然，求解然，求解等价于求多元函数等价于求多元函数 的最小的最小值值点点为为最小二乘解最小二乘解。并称并称现在学习的是第46页，共59页 令 得即进一步有，现在学习的是第47页，共59页称此方程称此方程组为组为法方程组。法方程组。写成矩写
18、成矩阵阵形式形式为为可由可由Gramer法法则则求解求解该该方程方程组组，即得，即得现在学习的是第48页，共59页l 根据散点根据散点图图中散点的分布情况或根据中散点的分布情况或根据经验经验确定确定拟拟合合l 建立并求解法方程建立并求解法方程组组。用最小二乘法做数据拟合问题的步骤是：用最小二乘法做数据拟合问题的步骤是：的曲线的类型；的曲线的类型；求求拟拟合下列数据的最小二乘曲合下列数据的最小二乘曲线线例例3 3现在学习的是第49页，共59页法方程组为：法方程组为：解解解得解得故所求直故所求直线线方程是方程是即现在学习的是第50页，共59页现在学习的是第51页，共59页 以上以上讨论讨论的是的是
19、线线性最小二乘性最小二乘拟拟合合问题问题，即，即拟拟合函数是待定参量合函数是待定参量的的线线性函数，法方程性函数，法方程组组是是线线性方程性方程组组。但有。但有时时也会遇到非也会遇到非线线性情性情形。形。或例如，已知拟合曲线方程的形式为例如，已知拟合曲线方程的形式为或此此时时法方程法方程组组是非是非线线性方程性方程组组（求解比（求解比较较困困难难）：）：和和 现在学习的是第52页，共59页我我们们可按如下方式将非可按如下方式将非线线性性问题转为线问题转为线性性问题问题：取取，记记 取取，记记或或则则上述非上述非线线性性问题问题就就变为变为由由观测观测数据数据求最小二乘求最小二乘拟拟合曲合曲线线
20、或或这这是个是个线线性性问题问题。其中其中其中其中或或现在学习的是第53页，共59页，令令那么那么 相应的值相应的值求求拟拟合下列数据的最小二乘曲合下列数据的最小二乘曲线线 取取例例4 4解解求最小二乘拟合曲线，求最小二乘拟合曲线，如表中所示。如表中所示。则上述问题化为则上述问题化为即现在学习的是第54页，共59页解得解得又，故所求曲，故所求曲线线是是现在学习的是第55页，共59页又例如，又例如，拟拟合曲合曲线线方程的形式方程的形式为为 或或 可可设设，则则得得又又设设，则则得得。也可以利用正交多项式！现在学习的是第56页，共59页 约瑟夫约瑟夫路易路易拉格朗日拉格朗日(Joseph Loui
21、s Lagrange，17361813）,法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家 17551755年拉格朗日发表第一篇论文年拉格朗日发表第一篇论文“极大和极小的方法研究极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。分法，为变分法奠定了理论基础。17561756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。院通讯院士。17831783年，被任命为都灵科学院名誉院长。出任法国米制委员会主任。制定了年，被任命为都灵科学院名誉院长。出任法国米制委员会主任。制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的
22、单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。17911791年，年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。学教授。17951795年建立了法国最高学术机构年建立了法国最高学术机构法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。他自己的一系列研究工作包括，编写了一批重要著作：论任意阶数值方理委员会主席。他自己的一系列研究工作包括，编写了一批重要著作：论任意阶数值方程的
23、解法、解析函数论和函数计算讲义。程的解法、解析函数论和函数计算讲义。他是参议员，帝国伯爵，并被授予帝国大十字勋章。他是参议员，帝国伯爵，并被授予帝国大十字勋章。18世纪最伟大的科学家之一。在数学、力学和天文学三个学科世纪最伟大的科学家之一。在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。现在学习的是第57页，共59页 拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立
24、性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。拉格朗日在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。群论的先驱。在解析函数论以及他早在在解析函数论以及他早在17721772年的一篇论文中，他用幂级数表示函数的处理方法对分年的一篇论文中，他用幂级数表示函数的
25、处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著分析力学中，在总结历史上各种力学拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著分析力学中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展基本原理的基础上，发展达朗贝尔达朗贝尔、欧拉欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，建立了拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定
26、了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。了道路。拉格朗日用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解拉格朗日用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究彗星和小行星法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。的摄动问题，提出了彗星起源假说等。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。现在学习的是第58页，共59页设设 是是 上的上的 个互异点，取个互异点，取其中其中显然显然 称为称为 次次Lagrange插值基函数插值基函数(4-6)(4-7)现在学习的是第59页，共59页