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1、导数 第三节学习重点学习重点函数的连续性概念函数的连续性概念导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义函数的连续性函数的连续性(continuity)(continuity)气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是着，反映在函数关系上是函数的连续性函数的连续性。当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性连续性。连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。连续函
2、数在图像上是一条连续无间断点的曲线。连续的定义连续的定义自变量的增量自变量的增量函数的增量函数的增量xyo如果函数如果函数y=f(x)在在x0点连续点连续,则必须则必须同时同时满足下列三个条件：满足下列三个条件：(1)f(x)在在x0的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义(2)极限值极限值 存在存在(3)极限值与函数值极限值与函数值 相等相等增量的概念增量的概念则有则有连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.连续性举例连续性举例1.讨论绝对值函数在讨论绝对值函数在x=0处的连续性处的连续性.解解 因为因为所以所以所以所以所以绝对值函数在所以绝对值函数在
3、x=0 处连续处连续连续性举例连续性举例2.证明证明:余弦函数余弦函数 在在 内连续内连续.证明证明所以所以由由 的任意性可知原命题成立的任意性可知原命题成立.一般地一般地,证明一个函数在某个区间内连续时证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定宜使用等价定义式义式 ;若要证明函数在某点处连续若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定则宜使用原定义式义式 .连续性举例连续性举例3.设有函数设有函数,问问 为何值时为何值时,函数函数在在 点连续点连续?解解 因为因为要使函数在要使函数在 点连续点连续,则应有则应有所以所以右连续右连续（Continuity from the rightContinu
4、ity from the right）单侧连续单侧连续x xa ab b右右连连续续左左连连续续连连续续 左连续左连续（Continuity from the Continuity from the leftleft）初等函数的连续性初等函数的连续性 函数在开区间函数在开区间 上每一点都连续，称为在上每一点都连续，称为在开区间开区间 内连续内连续。函数在开区间函数在开区间 上每一点都连续，且在上每一点都连续，且在 点点右连续右连续，点点左连续左连续,称为在称为在闭区间闭区间 上连续上连续。由由连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论：初等函数
5、在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的。内都是连续的。所谓定义区间，即指包含在定义域内的所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间区间。求求 的值，使函数在点的值，使函数在点 处连续。处连续。解解 由连续性的定义可知，要使函数在由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有点连续，则应有而而 最值定理（最值定理（The max-min theoremThe max-min theorem）闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质abxyo在区间内部取得最大值和最小值在区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值在区间端点取得最大值在在闭区间闭区间 a,b 上上连续的函数连
6、续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。一定能取得它的最大值和最小值。说明：可在说明：可在区间内部区间内部取得最值，也可在取得最值，也可在区间端点区间端点取得最值。取得最值。介值定理介值定理 The intermediate value theoremThe intermediate value theorem 设函数设函数 f(x)在在闭区间闭区间 a,b 上连续上连续,且最大值且最大值M不等于最不等于最小值小值m,那末，对介于那末，对介于m与与M之间的任意数之间的任意数C，在开区间（在开区间（a,b）内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 xyoabCCC 零点存在定理零点存在定理 设函
7、数设函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,且且 f(a)与与 f(b)异号异号,那末，那末，在在开区间开区间（a,b）内）内至少存在一点至少存在一点，使得，使得 o由由零点存在定理零点存在定理可知，原方程在可知，原方程在-1，5内必有根。内必有根。解解解解又又而而例题例题导数概念的物理背景导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度变速直线运动的即时速度 极限思想：极限思想：令令 t t0，取平均速度的极限，则可得到在取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即时刻的即时速度，即直观想法直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。如果
8、质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时即时速度速度 呢？呢？问题：问题：设某质点做直线运动，运动方程为设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t),S=S(t),我们可我们可用一段时间内用一段时间内,质点所发生的位移质点所发生的位移 除以所除以所花的时间花的时间t,得到平均速度，即得到平均速度，即导数概念的几何背景导数概念的几何背景曲线的切线问题曲线的切线问题问题：问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点如右图所示，已知曲线及曲线上的一
9、点M M,如何确定曲线在点如何确定曲线在点 M M 处的切线？处的切线？过点过点 M 作曲线的割线作曲线的割线 MN，当动点当动点N N 沿曲线向定点沿曲线向定点 M M 靠靠拢时，割线拢时，割线 MN MN 则绕定点则绕定点 M M 旋转而趋于极限位置旋转而趋于极限位置 MT,MT,得到得到曲线在点曲线在点 M M 的的切线切线。M MN NT TM MN Nx xy yo oT T切线：割线的极限位置。切线：割线的极限位置。上述过程可用极限式表示如下：上述过程可用极限式表示如下：变化率问题变化率问题设某个变量设某个变量 Q Q 随时间随时间 t t 的变化而变化，时刻的变化而变化，时刻 t
10、 t 取值取值 Q Q(t),(t),从时刻从时刻 t t 经过经过 t t 时间，时间，量量 Q Q 的改变量为的改变量为量量 Q Q 的的平均变化率平均变化率为为导数导数 DerivativeDerivative的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x x0 0 处处不不可导可导。设函数设函数 y y=f f(x x)在点在点 x x=x x0 0 的某个邻域内有定义，当自变的某个邻域内有定义，当自变量量 x x 在在 x x0 0 处取得增量处取得增量 x x(点点 x x0 0+x x 仍在该邻域内）时，仍在该邻域内）时，相应地函数相应地函数
11、 y y 取得增量取得增量 y y=f f(x x0 0+x x)-f-f(x x0 0)，若，若y y与与x x之比当之比当 x x00的极限存在，则称函数的极限存在，则称函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处处可导可导(derivable)(derivable)，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处处的的导数导数(derivative)(derivative)，记为记为 。即即在引例中有在引例中有导数定义的不同形式导数定义的不同形式导数是函数变导数是函数变化率的精确描化率的精确描述，从数量方述，从数量方面刻画了变化面刻画
12、了变化率的本质率的本质差商差商解答解答例题例题 设设 ，求，求 解解所以所以如果将式中的定点如果将式中的定点x=2改为任意点改为任意点x,则有如下结果则有如下结果其结果表示是其结果表示是x的函数，称之为的函数，称之为导函数导函数。若函数若函数 y=f(x)在开区间在开区间 I I 内的每点处都可导，就称函数内的每点处都可导，就称函数 y=f(x)在开区间在开区间 I I 内可导。这时，对于任意内可导。这时，对于任意 x I x I ,都对应都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数原来函数 y=f(x)的的导函
13、数导函数（简称（简称导数导数derivativederivative），记作：），记作：把把 x0 换成换成 x,可得可得或或点导数与导点导数与导函数的关系函数的关系导函数的概念导函数的概念如上例中如上例中 利用定义求导数举例利用定义求导数举例例例1 求常值函数求常值函数 的导数。的导数。解解所以常数的导数等于零，即所以常数的导数等于零，即例例2 求正弦函数求正弦函数 的导数。的导数。所以所以同理可求得同理可求得解解对一般的幂函数有对一般的幂函数有例例3 求幂函数求幂函数 的导数。的导数。解解所以所以例如例如例例4 求对数函数求对数函数 的导数。的导数。解解所以所以特别特别单侧导数单侧导数 左
14、导数左导数 （derivative on the leftderivative on the left）右导数右导数 （derivative on the rightderivative on the right）和和函数函数f(x)在开区间在开区间（a,b)内可导，且内可导，且 存在，则称存在，则称 f(x)在在闭区间闭区间a,b内可导内可导。函数在点函数在点x0处可导处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。左导数和右导数都存在，并且相等。例例5 已知已知解解 因为因为所以所以 ，从而，从而导数的几何意义导数的几何意义MxyoT法线是过切点法线是过切点且与切线垂直且与切线垂直的直线的直线的切
15、线方程为的切线方程为法线方程为法线方程为解解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线的斜率为所求法线方程为所求法线方程为例例6 6 求双曲线求双曲线 在点在点 处的切线的斜率，并写出曲处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。线在该点处的切线方程和法线方程。即即即即函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 函数函数 f(x)在某点可导，则在该点连续。在某点可导，则在该点连续。证明证明 设函数设函数 在点在点 可导可导则则 存在存在于是于是所以所以即函数即函数 在点在点
16、处连续处连续例例7 讨论函数讨论函数 f(x)=|x|在点在点 x=0 的连续性和可导性。的连续性和可导性。xyO故函数故函数 f(x)=|x|在点在点 x=0 连续连续故函数故函数 f(x)=|x|在点在点 x=0 不可导不可导 连续是可连续是可导的导的必要非必要非充分条件充分条件解解 函数函数 f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。在某点连续，却不一定在该点可导。小结：本节的主要内容小结：本节的主要内容1.熟练掌握函数的连续性的概念及导数的概念；熟练掌握函数的连续性的概念及导数的概念；2.掌握讨论函数的连续性的方法及初等函数的连续性结论；掌握讨论函数的连续性的方法及初等函数的连续性结论；3.熟练掌握利用导数定义求导数的方法；熟练掌握利用导数定义求导数的方法；4.掌握导数的几何意义；掌握导数的几何意义；5.理解可导性与连续性之间的关系。理解可导性与连续性之间的关系。