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1、高等数学第一章函数第1页，此课件共37页哦绪论绪论课程名称课程名称高等数学高等数学计划学时计划学时考核形式考核形式课堂纪律课堂纪律作业问题作业问题答疑辅导答疑辅导学习方法学习方法真、苦、巧、活真、苦、巧、活课前预习、重点听讲、简记笔记、课前预习、重点听讲、简记笔记、整理咀嚼、后作练习整理咀嚼、后作练习第2页，此课件共37页哦 我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用以及作为一元微积分学的简单应用常微分方程。由于常微分方程。
2、由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。分。17世纪（世纪（1763年）年）Descartes建立了解析几何，同时把建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的函数的一门学科，是学习其它自然科学
3、的基础。基础。第3页，此课件共37页哦 高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学由于高等数
4、学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象推理更加严谨推理更加严谨第4页，此课件共37页哦 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维领会一
5、些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。好了数学。第5页，此课件共37页哦 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重
6、要概念，极限理论是高等数学的基础理念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终化过程多么复杂
7、，我们所关心的仅仅是变量变化的终极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限 本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性质，然后讨论函数的连续性第6页，此课件共37页哦重点重点 极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类及其分类难点难点极限概念及求极限的方法技巧极限概念及求极限的方法技巧基本要求基本要求能准确叙述并深刻理解极限定义
8、，明确其几何意能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限义，会用定义验证极限正确理解无穷小量及其与极限的关系正确理解无穷小量及其与极限的关系第7页，此课件共37页哦牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数数 极限的保号性质极限的保号性质理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限正确理解连续概念，理解间断点的分类正确理解连续概念，理解间断点的分类理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数理解初等函数的连续性，
9、掌握闭区间上连续函数的性质的性质第8页，此课件共37页哦一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集第9页，此课件共37页哦数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两
10、这两个实数叫做区间的端点个实数叫做区间的端点.第10页，此课件共37页哦称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间第11页，此课件共37页哦无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域:第12页，此课件共37页哦第13页，此课件共37页哦4.4.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式：绝对值不等式的两个变形公式：第14页，此课件共37页哦绝对值不等式的证明绝对值不等式的证明两式相加
11、得两式相加得几何直观几何直观分四种情况验证分四种情况验证xyx+y第15页，此课件共37页哦在复数范围内成立在复数范围内成立为证三角不等式只须证明为证三角不等式只须证明为证上式，又只须证明为证上式，又只须证明第16页，此课件共37页哦又只须证明又只须证明由基本不等式由基本不等式上式是显然的上式是显然的 对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。同理同理第17页，此课件共37页哦二、函
12、数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)第18页，此课件共37页哦定义定义 设设x和和y是两个变量是两个变量，D是一个给定的数集是一个给定的数集，若对于若对于x D，变量变量y按照确定的法则总有按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的函数的函数记作记作自变量因变量第19页，此课件共37页哦函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量对应法则对应法则f因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.第20页
13、，此课件共37页哦如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值值函数，否则叫与多值函数函数定义定义:第21页，此课件共37页哦几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (1)符号函数符号函数1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第22页，此课件共37页哦(3)狄利克雷函数狄利克雷函数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4)
14、取最值函数取最值函数yxoyxo第23页，此课件共37页哦在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.(5)绝对值函数绝对值函数oxy定义域定义域R值域值域第24页，此课件共37页哦例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压第25页，此课件共37页哦第26页，此课件共37页哦例例2 2解解故故第27页，此课件共37页哦三、函数的特性三、函数的
15、特性1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界第28页，此课件共37页哦2函数的单调性函数的单调性:xyo第29页，此课件共37页哦xyo第30页，此课件共37页哦3函数的奇偶性函数的奇偶性:yxox-x偶函数偶函数第31页，此课件共37页哦yxox-x奇函数奇函数第32页，此课件共37页哦4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.第33页，此课件共37页哦四、反函数四、反函数DWDW第34页，此课件共37页哦 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.第35页，此课件共37页哦例例3 3解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,不是单调函数不是单调函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)第36页，此课件共37页哦思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故第37页，此课件共37页哦