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1、1随机事件及其概率随机事件及其概率习题课习题课概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章题型一题型一 古典概型与几何概型古典概型与几何概型解题提示：解题提示：首先要正确判断概型，其次弄清样本空间及首先要正确判断概型，其次弄清样本空间及有利事件的结构，再按相应的概率计算公式进行计算。有利事件的结构，再按相应的概率计算公式进行计算。例例1 袋中有袋中有9个球，个球，4个白球个白球5个黑球，现从中任取个黑球，现从中任取2个，个，求求:(1)2个均为白球的概率；个均为白球的概率；（2）2个球一个是白球，另一个是黑球的概率；个球一个是白球，另一个是黑球的概率；（3）至少有一个黑球的概率。）至少有一个黑
2、球的概率。2解：解：3例例2 在长度为在长度为a的线段内任取的线段内任取2点将其分为点将其分为3段，求段，求它们可以构成一个三角形的概率。它们可以构成一个三角形的概率。解：设线段被分成的解：设线段被分成的3段长分别为段长分别为x，y和和a-x-y，则样本空间，则样本空间为为x0，y 0，x+y a所构成的图形，其面积所构成的图形，其面积S AOB =0.5a2,有利于事件有利于事件A（即（即x，y，a-x-y三段构成三角形三段构成三角形）的基本事件）的基本事件集：由线段集：由线段x，y，a-x-y所围成的三角形，其面积记为所围成的三角形，其面积记为S DCE。由三角形由三角形2边之和大于第三边
3、，边之和大于第三边，2边之差小于第三边得边之差小于第三边得 0 x 0.5a,0 y 0.5a,0 a-x-y 0.5a即即0 x 0.5a,0 y 0.5a，0.5a x+y a(它们构成它们构成 DCE)，于是由几何概型的计算公式于是由几何概型的计算公式4B(a,0)A(0,a)OD(0.5a,0)EC(0,0.5a)例 若在区间（0,1）上随机地取两个数u，v，则关于x 的一元二次方程x2-2vx+u=0有实数根的概率。解：0u 1，0v 1 由=4v2-4u0得u v2，样本空间是边长等于1的正方 形，有利的事件A的区域为图 中的阴影部分 D6题型题型2 事件的关系和概率性质的命题事件
4、的关系和概率性质的命题解题提示：解题提示：这类问题多以填空、选择的形式出这类问题多以填空、选择的形式出现，只要充分利用事件的关系、运算律和概率现，只要充分利用事件的关系、运算律和概率的基本性质很容易求解。的基本性质很容易求解。例例 设设2个相互独立的事件个相互独立的事件A和和B都不发生的都不发生的概率为概率为1/9，A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不不发生的概率相等，则发生的概率相等，则P(A)=例例48题型三题型三 条件概率与积事件概率的计算条件概率与积事件概率的计算解题提示解题提示：正确理解两种概率是求解的关键。：正确理解两种概率是求解的关键。对于具体问题可以从以下两个
5、方面进行判断对于具体问题可以从以下两个方面进行判断（1）从样本空间讲，积事件概率）从样本空间讲，积事件概率P(AB)是在原是在原样本空间考虑，条件概率（）是在一样本空间考虑，条件概率（）是在一个缩小的样本空间考虑；个缩小的样本空间考虑；（2）积事件概率）积事件概率P(AB)指，同时发生的概指，同时发生的概率，而（）指已知发生的条件下率，而（）指已知发生的条件下发生的条件概率，故此时，在时间上一定发生的条件概率，故此时，在时间上一定有先后关系。有先后关系。9例例甲乙两班共有名同学，其中女甲乙两班共有名同学，其中女生名，设甲班有名同学，而女生生名，设甲班有名同学，而女生名，问在碰到甲班同学时，正好
6、碰到一名名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。女同学的概率。10题型四全概率公式与题型四全概率公式与公式的命题公式的命题解题提示：解题提示：全概率公式是计算复杂时间概率的全概率公式是计算复杂时间概率的一个有效公式，而复杂时间是由若干一个有效公式，而复杂时间是由若干“原因原因”引起的；公式是用来计算复杂事件引起的；公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一种已发生的条件下，某一种“原因原因”发生的条件发生的条件概率。概率。题型五有关贝努力概型的命题题型五有关贝努力概型的命题解题提示：解题提示：若试验可以看成或分解成独立若试验可以看成或分解成独立重复进行的试验，且每次试验的结果只需重复
7、进行的试验，且每次试验的结果只需考虑两个试验结果：发生、不发生，该试考虑两个试验结果：发生、不发生，该试验就是一个贝努力试验。计算公式是验就是一个贝努力试验。计算公式是（）（）例 某射手的命中率为P(0P 1)，该射手连续射击n次才命中k次（kn）的概率（）12近几年的研究生考试题近几年的研究生考试题（年）设事件与互不相容，（年）设事件与互不相容，则则答案：答案：13（年）在区间（年）在区间（,）中随机地取两）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于的概率为个数，则两数之差的绝对值小于的概率为【】答案：答案：3.随机地向半圆随机地向半圆0y内掷一个点，点落在半圆内任何区域的概率内掷一个点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与与x轴的夹角小于轴的夹角小于/4的概率的概率 154（年）某人向同一目标独立（年）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第次射击恰好第次命中目标的则此人第次射击恰好第次命中目标的概率为概率为5.设A、B、C是随机事件，A、C互不相容，P（AB）=1/2，P（C）=1/3，则