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1、3.1 几个重要统计量的分布 一、维希特（一、维希特（WishartWishart）1 1、定义、定义随机矩阵的分布 矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其行向量拉长，组成一个长向量 定义定义 维希特（维希特（WishartWishart）分布的统计量）分布的统计量 设 个随机向量 独立同分布于 ，则随机矩阵 服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当于一元统计中的 分布。定理1：若 ，且 ，则 的分布密度为特别，当 和 时，服从 分布。维希特（Wishart）分布的密
2、度函数二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：（1）若W1和W2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。（2），C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。三、三、抽样分布抽样分布 定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有 则有证明：当 ，时，由卡方分布的定义可知可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。服从自由度为 的卡方分布。定理定理2 2 设 独立同正态分布 ，则统计量 证：由于样本均值 相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必须用样本的方
3、差来代替总体的方差，则那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。定义：称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布。定理定理：当 时，服从自由度为n的中心霍特林分布，记为 。定定理理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有 定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，（1）Wilks分布 定义：设 和 ，且 相互独立，和 ，则称服从Wilks分布，记 。可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。四、基于四、基于维斯特维斯特(Wishart)分布的统计量分布的统计量 在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。2、统计量和分布 设k个总体 ，它们服从 。分别抽出如下的样本：W=E+B 当当K个总体的均值相等时个总体的均值相等时,服从服从Wilks(p,n-k,k-1)分布。分布。