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1、应用多元统计分析应用多元统计分析第第 2 章章 多元正态抽样分布多元正态抽样分布1第第 2 章章 多元正态抽样分布多元正态抽样分布在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要的地位。这是因在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要的地位。这是因为，许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态为，许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布；当样本量很大时，许多统计量的极限分布往往和正态分布有分布；当样本量很大时，许多统计量的极限分布往往和正态分布有关。此外，对多元正态分布，理论与实践都比较成熟，已有一整套关。此外，对多元正态分布，理论与实践都比较成熟，已有一整套行之有效的
2、统计推断方法。行之有效的统计推断方法。基于这些理由，我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，基于这些理由，我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参数的估计首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参数的估计 问问题。题。多元统计分析讨论的是多变量总体。以多元统计分析讨论的是多变量总体。以p个随机变量作为分量个随机变量作为分量构成的向量构成的向量称为称为p维维随机向量随机向量。如果我们同时对。如果我们同时对p个变量作一次观测，得到个变量作一次观测，得到观观 测值测值，它是一个样品。如果我们观，它是一个样品。如果我们观察察n次得到次得到n
3、个样品品个样品品，而，而n个样品就构成一个样个样品就构成一个样本。本。常把常把n个样品排成一个个样品排成一个np矩阵，称为矩阵，称为样本数据矩阵样本数据矩阵（或样本资料（或样本资料阵），记为阵），记为在多元统计分析理论中涉及到的向量一般都是随机向量，或是由在多元统计分析理论中涉及到的向量一般都是随机向量，或是由多个随机向量构成的随机矩阵。多个随机向量构成的随机矩阵。均值向量和协方差阵均值向量和协方差阵设设是一个随机向量。称向量是一个随机向量。称向量为随机向量为随机向量X的的均值向量均值向量。称矩阵。称矩阵为随机向量为随机向量X的的协方差矩阵协方差矩阵，其中，其中。均值向量和协方差阵均值向量和协
4、方差阵设设是另一个随机向量。称矩阵是另一个随机向量。称矩阵为随机向量为随机向量X与与Y的的协方差矩阵协方差矩阵，其中，其中2.1 随机向量随机向量均值向量和协方差阵均值向量和协方差阵若若关阵，其中关阵，其中若记若记为为X的协方差阵，则的协方差阵，则称为称为X的的相相，则有，则有或或2.1 随机向量随机向量均值向量和协方差阵的性质均值向量和协方差阵的性质性质性质 1.设设X和和Y是适当维数的随机向量，是适当维数的随机向量，A 和和 B 是适当阶数的常是适当阶数的常数数矩阵，则有矩阵，则有2.1 随机向量随机向量均值向量和协方差阵的性质均值向量和协方差阵的性质性质性质 2.若若X与与Y相互独立，则
5、相互独立，则；反之则不一定成立。；反之则不一定成立。性性质质 3.随机向量随机向量X的协方差阵的协方差阵是对称非负定矩阵是对称非负定矩阵。性质性质 4.，其中其中L为非负定矩阵，称为为非负定矩阵，称为的平方根矩阵，记的平方根矩阵，记为为，即，即。证明证明由于由于，利用实对称非负定矩阵的对角化原理，存在正交，利用实对称非负定矩阵的对角化原理，存在正交矩阵矩阵，使得，使得2.1 随机向量随机向量均值向量和协方差阵的性质均值向量和协方差阵的性质其中其中这里这里为为的特征值，的特征值，为为的与的与对应的单位正交特征向量。对应的单位正交特征向量。2.1 随机向量随机向量均值向量和协方差阵的性质均值向量和
6、协方差阵的性质性质性质 5.定理定理 2.1 设设其中其中表示矩阵表示矩阵B的迹。的迹。则则A为非退化矩为非退化矩阵。阵。2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质定义定义 2.1.设设为随机向量，其中为随机向量，其中相互独立，同服相互独立，同服从标准正态分布从标准正态分布。设。设为为p维常数向量，维常数向量，A为为常数矩阵，则称常数矩阵，则称向量向量所服从的分布为所服从的分布为p维正态分布，并称维正态分布，并称X为为p维正态随机维正态随机向向 量，记为量，记为，或简记为，或简记为,其中其中。性质性质 1.设设，则，则性质性质 1 说明，正态随机向量的任意
7、线性组合仍然服从正态分布。说明，正态随机向量的任意线性组合仍然服从正态分布。2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质推论推论 2.1.设设将将分块为分块为则则。此推论说明此推论说明,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布。但反之不一定多元正态分布的边缘分布仍为正态分布。但反之不一定2.1）。）。2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质例例 2.2.设设其中其中求求的分布的分布,这里这里2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质性质性质 2.若若，则，则。此性质给出多元正态分布中参数
8、的明确统计意义。此性质给出多元正态分布中参数的明确统计意义。性质性质 3.设设常数。则常数。则2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质性质性质 4.设设则则性质性质 5.设设则则X的密度函数为的密度函数为其中其中是是p维向量。维向量。2.2 多元正态分布多元正态分布条件分布和独立性条件分布和独立性设设将将分块为分块为由推论由推论 2.1 可知可知定理定理 2.2.设设则则与与独立，当且仅当独立，当且仅当。2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质定理定理 2.3.设设分块为分块为则给定则给定其中其中时，时，的条件分布
9、为的条件分布为2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质推论推论 2.4.在定理在定理 2.3 条件下有条件下有（1）与与相互独立；相互独立；（2）与与相互独立；相互独立；（3）其中其中2.2 多元正态分布多元正态分布多元正态分布的定义和性质多元正态分布的定义和性质例例 2.4.设设其中其中试求已知试求已知时时的条件分布。的条件分布。2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量和样本协方差阵设设本，且本，且的一个随机样的一个随机样下面我们引入样本均值向量、样本离差阵、样本协方差阵和样本相下面我们引入样本均值向量、样本离差阵、样本协
10、方差阵和样本相关阵。关阵。2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量样本均值向量为为其中其中为为的样本均值。的样本均值。2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差样本均值向量和样本协方差阵阵样本离差阵样本离差阵为为其中其中2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量和样本协方差阵样本协方差阵样本协方差阵为为其中其中称为变量称为变量的样本方差，称其算术平方根的样本方差，称其算术平方根为变量为变量的样本标准的样本标准差。差。2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量和样本协方差
11、阵样本相关阵样本相关阵其中其中2.3 多元抽样分布多元抽样分布样本均值向量和样本协方差阵样本均值向量和样本协方差阵定理定理 2.4.设设离差阵离差阵,则则(1)(2)A可表示为可表示为(3)和和A相互独立。相互独立。2.4 极大似然估计极大似然估计极大似然估计及其性质极大似然估计及其性质设设为来自正态分布为来自正态分布的一个随机样的一个随机样本，且本，且。本节我们讨论参数。本节我们讨论参数和和的极大似然估计。的极大似然估计。为此我们把样本的联合密度函数为此我们把样本的联合密度函数视为视为和和的函数，并称其为的函数，并称其为似然函数似然函数，即，即2.4 极大似然估计极大似然估计2.4 极大似然估计极大似然估计极大似然估计及其性质极大似然估计及其性质由于由于我们有我们有2.4 极大似然估计极大似然估计极大似然估计及其性质极大似然估计及其性质令令2.4 极大似然估计极大似然估计极大似然估计及其性质极大似然估计及其性质得到得到其中其中因为因为故故是是的无偏估计。的无偏估计。2.4 极大似然估计极大似然估计极大似然估计及其性质极大似然估计及其性质又由定理又由定理 2.4 可得可得因此因此才是才是的极大似然估计不是的极大似然估计不是的无偏估计。常称的无偏估计。常称的无偏估计，而的无偏估计，而为样本均值为样本均值，S为样本协方差阵为样本协方差阵。