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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一）一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.解：解：因11(3)1(1)3limlim33,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn故131 063xx即时，幂级数收敛.3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数11(1)nnn，是收敛的.4 分 当6x 时，原级数成为调和级数11n
2、n，是发散的.5 分 所以，所求的收敛域为0,6.(2)已知 f(x)=e2x,f()x=1-x,且(x)0.求(x)并写出它的定义域.解：解：由2()1xex，得()ln(1)xx.3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x.5 分 所以()ln(1)xx，其定义域为(,0).(3)设 S 为曲面1222zyx的外侧，计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333.解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 2223()Ixyz dv（其中是由S所围成的区域）2 分 21220003dsindrrdr 4 分 125.5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学
3、试题参考解答及评分标准 1988 年 第 2 页 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)若 f(t)=xlimttxx2)11(，则()f t2(21)tte(2)设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1,1上的定 f(x)=01,210,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于23.(3)设 f(x)是连续函数，且103,)(xxdttf则 f(7)=112.(4)设 4*4 矩阵 A=),(4,3,2，B=),(4,3,2，其中，4,32,均为 4 维列向量，且已知行列式,1,4BA则行列式BA=.40.三、选择题三、
4、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)若函数 y=f(x)有21)(0 xf，则当0 x时，该函 x=0 x处的微分 dy 是 (B)(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程042 yyy的一个解，若()0f x，且0)(0 xf，则函数()f x在点0 x (A)(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域 22221:Rzyx,;0z及22222:Rzyx,0,0,0zyx则(C)(A)124xdvxdv(B)124ydvyd
5、v (C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)若nnnxa)1(1在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 (B)(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n 维向量组 12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是 (D)(A)有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk.(B)12,s 中任意两个向量都线性无关.(C)12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四四(本题满分本题满分 6 分分)郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分
6、标准 1988 年 第 3 页 设)()(xyxgyxyfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求222uuxyxx y.解：解：.uxyyyfggxyxxx 2 分 22231.uxyyfgxyyxx 3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y.6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数 y=y(x)满足微分方程,223xeyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为212xxYCeC e.2 分 设原方程的特解为*,xyAxe 3 分 得2A.4 分 故原方程通解为22
7、12()2xxxy xCeC exe.5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy，7 分 即12121,21cccc解得121,0cc.8 分 所以2(1 2).xyx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分)设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功.解：解：0,1MAxy 2 分 22(1).rxy 因引力f 的方向与MA 一致，故3,1kfxyr.4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988
8、 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 4 页 从而3(1)BOkWxdxy dyr 6 分 1(1)5k.9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分)已知PBAP,其中112012001,100000001PB求 A 及5A.解：解：先求出1100210411P.2 分 因PBAP，故1100100100210000210211001411APBP 100100100200210200201411611.4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个（）()()=.6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分)已知矩阵xA10100002与10
9、000002yB相似，(1)求 x 与 y；(2)求一个满足BAPP1的可逆矩阵P.解：解：(1)因A与B相似，故|EAEB，即 1 分 200200010001001yx，亦即22(2)(1)(2)(1)xyy.郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A，200010001B.3 分(2)从B可以看出A的特征值2,1,1.4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p .对1，可求得A的特征向量为2011p .对1，可求得A的特征向量为3011p.7 分 因上述123,ppp是属于不同特
10、征值的特征向量，故它们线性无关.令123100(,)011011p ppP，则P可逆，且有BAPP1.8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分)设函数)(xf在区间ba,上连续，且在),(ba内有0)(xf.证明：在),(ba内存在唯一的，使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍.证：证：存在性存在性 在,a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()()()()3()()()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则()F t在,a b上连续.
11、又因0)(xf,故()f x在,a b上是单调增加的.于是在(,)a b内取定点c，有()3()()3()()3()()bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 113()()3()()()0,bcf xf a dxff abccb .郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 6 页()()()()()()()bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ()()caf bf x dx22()()()0,f bfcaac.5 分 所以由介值定理知，在(,)a b内存在,使0)(F，即.3
12、21SS 6 分 唯一性唯一性 因()()()3()0F tf ttabt，8 分 故)(tF在(,)a b内是单调增加的.因此，在(,)a b内只有一个,使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分)(1)设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13.(2)在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3)设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938.0)5.2(，则X落在区间(9.95，10
13、.05)内的概率为0.9876.十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)设随机变量X的概率密度函数为)1(1)(2xxfx，求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY.解：解：因Y的分布函数()()YFyP Yy 1 分 33311(1)PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx.4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)()1(1)YdyFydyy.6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二）一一(本题满分本题满分 15 分，每小
14、题分，每小题 5 分分)(1)【同数学一 第一、(1)题】(2)【同数学一 第一、(2)题】(3)【同数学一 第一、(3)题】二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)【同数学一 第二、(1)题】(2)【同数学一 第二、(2)题】(3)【同数学一 第二、(3)题】(4)【同数学一 第二、(4)题】三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)【同数学一 第三、(1)题】(2)【同数学一 第三、(2)题】(3)【同数学一 第三、(3)题】(4)【同数学一 第三、(4)题】(5)【同数学一 第三、(5)题】四四(本
15、题满分本题满分 18 分，每小题分，每小题 6 分分)(1)【同数学一 第四题】(2)计算dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin.解：解：dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin 221sin2yyxdydxy 3 分 212coscos22yy dy.4 分 33284cos()(2)2yttdtt 令.6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 8 页(3)求椭球面2132222zyx上某点 M 处的切平面的方程，使平面过已知直线2121326:zyxl.解：解：令222(,)2321,F x y zx
16、yz则2,4,6.xyzFx Fy Fz 椭球面在点000(,)M x y z处的切平面的方程为 0000002()4()6()0 x xxy yyz zz,即0002321x xy yz z.2 分 因为平面过直线 L，故 L 上的任两点，比如点17(6,3,)(0,0,)22A、B应满足的方程，代入有000366212xyz (1)02z (2)又因 2220002321,xyz (3)于是有0000003,0,21,2,2xyzxyz及.4 分 故所求切平面的方程为274+621xzxyz和.6 分 五、五、（本（本题满分题满分 8 分）分）【同数学一 第五题】六、六、（本题满分（本题满
17、分 9 分）分）【同数学一 第六题】七、七、（本题满分（本题满分 6 分）分）【同数学一 第七题】八、八、（本题满分（本题满分 8 分）分）【同数学一 第八题】九、九、（本题满分（本题满分 9 分）分）【同数学一 第九题】郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 9 页 数数 学（试卷三）学（试卷三）一、填空题一、填空题(本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分)(1)若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数，则1.(2)【同数学一 第二、（1）题】(3)【同数学一 第二、（3）题】(4)01lim()
18、tgxxx1.(5)40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题(本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分)(1)162131)(23xxxxf的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是 (A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf)(xg，则必有 (C)(A)()()fxgx(B)()()fxg x(C)00lim()lim()xxxxf xg x(D)00()()Xxf t dtg t dt(3)【同数学一 第二（1）题】(4)曲线)0(sin23xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形
19、成的旋转 (B)(A)43(B)43(C)223(D)23【B 】(5)【同数学一 第三（5）题】三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分)(1)【同数学一第一、（2）题】(2)已知xyxey1，求0 xy及0 xy.解：解：显然0 x 时，1y.1 分 2()(1)xyxyxyyxexyyeex yxy.2 分 因此001xye；3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 10 页 而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy，4 分 即得000|2xyee.5 分(3)求微分方程)1(11
20、2xxyxy的通解（一般解）.解：解：1121(1)dxdxxxyeedxCx x 3 分 2111dxCxx 4 分 1arctanxCx，其中 C 是任意常数.5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)作函数4262xxy的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)(区间 凸)(区间 拐 点 渐近线 解：解：单调增加区间(,1)（1 分）单调减少区间(1,)（2 分）极值点 1（3 分）极值 2（4 分）凹区间(,0)(2,)及（6 分）凸区间(0,2)（7 分）拐点 33(0,)(2,)22及（9 分）渐进线 0y （10 分）郝海龙：考研数学复习大全配套光
21、盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 11 页 其图形为：五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解：解：设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 222244216816axxaaAxx，3 分 4088aAx（令），得4ax.5 分 408A.7 分 故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A 之值最小.8 分 六、六、(本题满分本题满分 10 分分)【同数学一 第五题（分值不同）】七、七、(本题满分本题满分 7 分分)设1x，求 d
22、ttx)1(1.解：解：当10 x 时，11(1|)(1)xxt dtt dt 1 分 211(1)2xt 2 分 21(1)2x.3 分 当0 x 时，0110(1|)(1)(1)xxt dtt dtt dt 5 分 211(1)2x.7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分)郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 12 页 设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(.(1)求dtatfatfaaaa)()(41lim20；(2)证mMxfdttfaaa)()(21)0(a.解：解：(1)由积分中值定理和微分中值定理有 201lim(
23、)()4aaaf taf ta dta 01lim()()2afafaa()aa 2 分*00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.4 分(2)证：证：由()f x的有界性及积分估值定理有 5 分 1()2aamf t dtMa,6 分 又 ()Mf xm ，7 分 故有 1()()()2aaMmf t dtf xMma，即 1()()2aaf t dtf xMma.8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 13 页 数数 学（试卷四）学（试卷四）一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分
24、）(一一)已知函数xdtexfxt,)(0212.（1）)(xf221te.（2）)(xf的单调性：单调增加 .（3）)(xf的奇偶性：奇函数 .（4）)(xf图形的拐点：（0，0）（5）)(xf图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）.（6）)(xf图形的水平渐近线近线：,22yy (二二)11101101101101113.(三三)100010010010010000001001001001000.(四)假设()0.4()0.7P AP AB，那么（1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3.（2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5.二、（本题满分二
25、、（本题满分 10 分）（每小题，回答正确得分）（每小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分；分；全题最低得全题最低得 0 分）分）（1）若极限)(lim0 xfxx与)(lim0 xfxx)(xg都存在，则极限)(lim0 xgxx必存在.（）（2）若0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)(0 xf.（）（3）等式aadxxafdxxf00,)()(对任何实数a都成立.（）（4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n.（）郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 1
26、4 页（5）若事件 A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B.（）三、（本题满分三、（本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.）(1)求极限 11limlnxxxxx 解一：解一：此极限为00型未定式，由罗必塔法则，则 11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式.4 分 解二：解二：令lntxx，则xtxe.由于当1x 时，0t，可见 001=limlim1tttteet原式.4 分(2)已知xyeu，求yxu2.解：解：由于11uuuyuxxeye，2 分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3 分 311(1)uuuxyeee.4 分(3)求定积分)1
27、(30 xxdx.解一：解一：由于2()dxdxx，可见 原式302=1dxx 2 分 23.4 分 解二：解二：令2,2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t；当3x 时，3t；1 分 于是，3202=1dtt原式 2 分 302arctanx 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 15 页 23.4 分(4)求二重积分660cosyxdydxx.解：解：在原式中交换积分次序，得 原式600cosxxdxdyx 2 分 60=cosxdx601=sin2x 4 分.四、四、（本题满分分，每小题分本题满分分，每小题分）(1)讨论级
28、数11)!1(nnnn的敛散性 解：解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn，有 11limlim21111(11)nnnnnneuunn，2 分 故由级数收敛的比值判别法，知11)!1(nnnn收敛.3 分(2)已知级数12na和2ii nb都收敛，试证明级数1nnnba绝对收敛.证：证：由于级数12na和2ii nb都收敛，所以2211()2iinab收敛.2 分 而221()2n nnna bab，故由比较判别法，知级数1|nnna b收敛，即1nnnba绝对收敛.3 分 五、五、（本题满分本题满分 8 分分）已知某商品
29、的需求量和供给量都是价的函数：2()aDD pp，()SS pbp，其中a0和b0是常数：价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdkdtdpk是常数），假设当 t=0 时价格为 1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格eP；（2）价格函数)(tp；（3）极限)(limtpt.郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 16 页 解：解：(1)当需求量等于供给量时，有2abpp，即3apb.故13()eapb.1 分(2)由条件知322()()dpabak D pS pkbpkpdtppb.因此有332edpbkppdtp，即233ep
30、 dpkbdtpp.3 分 在该式两边同时积分得333kbteppce.5 分 故由条件(0)1P，可得31ecp.于是价格函数为13333()(1)kbteep tpp e.6 分(3)13333lim()lim(1)kbteeettp tpp ep 8 分 六、六、（本题满分本题满分 8 分分）在曲线2(0)yx x上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112，试求：(1)切点 A 的坐标；(2)过切点 A 的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解：解：设切点 A 的坐标为2(,)a a，则过点 A 的切线方程的斜率为|2x aya，切线方
31、程为22()yaa xa，即22yaxa.2 分 可见，切线与x轴的交点为2(,0)2a.故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx.4 分 而由题设知112S，因此1a.5 分 于是，切点 A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21yx.6 分 旋转体的体积为112 22102()(21)30Vxdxxdx.8 分 七、七、（本题满分本题满分 8 分分）郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 17 页 已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxx
32、xxxxxxxxx，问1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解：解：以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵，因121112331361(|)331151510 12kkA B1211123101214002250003kk 2 分 故当12k 时，()(|)4RRAA B，方程组有唯一解；3 分 当12k 时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000kkA B 4 分 这时，若21k，则()3(|)4RRAA B，故方程组无解；若21k，则()(|)34RRAA B，故方程
33、组有无穷多组解，此时有 6 分 1123 11004 01000801211012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx，取3xc（c为任意常数），得方程组的一般解：12348,3 2,2xxc xc x.8 分 综上所述：当12k 时，方程组有唯一解；当12k 而21k 时，方程组无解；当12k 且21k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,3 2,2xxc xc x，其中c为任意常数.八、八、（本题满分本题满分 7 分分）已知向量组1,2,sa aa（S2）线性无关
34、，设11222311,ssssaaaaaaa，郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 18 页 讨论向量组12,s 的线性相关性.解：解：假设12,sk kk是一数组，满足条件11220sskkk 1 分 那么，有111221()()()0sssskkkkkk.由于,2,1saaa线性无关，故有1122310000ssskkkkkkkk （*）3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式：110001110002,1(1)011000,00011sD 若s为奇数若s为偶数 5 分 若s为奇数，则20D，故方程组（*）只有零解，即12,sk kk必全
35、为 0.这时，向量组12,s 线性无关.若s为偶数，则0D，故方程组（*）有非零解，即存在不全为 0 的数组12,sk kk，使11220sskkk.这时，向量组12,s 线性相关,7 分 九、九、（本题满分本题满分 6 分分）设 A 是三阶方阵，A是 A 的伴随矩阵，A 的行列式.21A求行列式 AA2)3(1的值.解：解：因 111(3)3AA，2 分 故*111|2AA AA，3 分 所以 311111122(3)2|333AA AAAA 5 分 1627.6 分 十、十、（本题满分本题满分 7 分分）玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率是8.0，0.1
36、 和 0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察 4 只，若无郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 19 页 残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：解：设iB箱中恰有 i 件残品次品（0,1,2i），A顾客买下所察看的一箱.1 分 由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B；419014204(|)1,(|)5CP A BP A BC；418242012(|)19CP A BC.3 分(1)由全概率公式
37、200.41.2()()(|)0.80.94519iiiP AP B P A B；5 分(2)由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A BP BAP A.7 分 十一、十一、（本题满分本题满分 6 分分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出 X 的概率分布；(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.解：解：(1)X服从二项分布，参数100,0.2np，其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100
38、)kkkP XkCk.2 分(2)由(,)XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp,4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理，有 14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5 分(2.5)(1.5)(2.5)1(1.5)0.9941 0.9330.927.6 分 十二、十二、（本题满分本题满分 6 分分）假设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xeY2的概率密度 f(y).解：解：由条件知，X的密度函数为1,12()0,xp x若其他 1 分 记()F yP Yy为Y的分布函数，则有 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考
39、解答及评分标准 1988 年 第 20 页 21ln242140,2(),31,4yyeF ydxeyeye若 分若 分若 分因此22440,1()(),20,yef yF yeyeyye若若若于是（当24,ye e时，补充定义()0f y），得2441,2()0eyeyf yye若若.6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 21 页 数数 学（试卷五）学（试卷五）一、一、【同数学四 第一题】二、二、【同数学四 第二题】三、（本题满分三、（本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.）(1)求极限xtgxx2)1(lim21.解：解
40、：211limcot2xxx原式 1 分 212limsin22xxx 3 分 4.4 分(2)已知xyue，求yxu2.解：解：1xyuexy，1 分 22211xxyyuxeex yyyy 3 分 3.xyxyey 4 分(3)【同数学四 第三、（3）题】(4)【同数学四 第三、（4）题】四、（本题满分四、（本题满分 6 分）分）确定常数a和b，使函数2,1(),1axb xf xxx，处处可导.解：解：当1x 时，显然()f x可导；1 分 为使1x 时，导数()fx存在，()f x在1x 处必须连续，故有(1 0)(1 0)(1)fff，2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988
41、 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 22 页 由此可得1ab.3 分 又由(1 0),(1 0)2,fa f 4 分 以及()f x在1x 处的可导性，有(1 0)(1 0)ff.由此得2a，5 分 从而1b .6 分 五、五、（本题满分（本题满分 8 分分.）【同数学三 第五题】六、六、（本题满分（本题满分 8 分分.）【同数学四 第六题】七、七、（本题满分（本题满分 8 分分.）【同数学四 第七题】八、（本题满分八、（本题满分 6 分分.）已知n阶方阵 A 满足矩阵方程0232EAA，其中 A 给定，而 E 是单位矩阵.证明 A 可逆，并求出其逆矩阵1A.解一：解一：由232
42、0AAE，可见232AAE，(3)2A AEE.在上式两端同取行列式，得|(3)|2|A AEE；|(3)|2|20nAAEE 3 分 由此可见|0A，从而 A 可逆.4 分 在(3)2A AEE两端同时左乘112A，得11(3)2AAE.6 分 解二：解二：由2320AAE，可见232AAE.从而有 1(3)2AAEE及1(3)2AEAE.3 分 记1(3)2B AE，则ABBAE.由逆矩阵的定义知A可逆，且B是A的逆矩阵：11(3)2ABAE.6 分 九、九、（本题满分（本题满分 7 分分.）【同数学四 第八题】十、十、（本题满分（本题满分 7 分分.）【同数学四 第十题】十一、（本题满分
43、十一、（本题满分 7 分）分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.解：解：以X表示在取到正品前已取出的废品数.知X是一随机变量，其有 3 个可能的取值：0,1,2.1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 23 页（1）分布：800.810P X；2 88110 945P X；2 1 81210 9 845P X.4 分（2）数学期望：8120 0.8 1245459EX .5 分（3）方差：222281400.8 12454515EX，6 分 2288()405DXEXEX.7 分 十二、十二、（本题满分（本题满分 5 分分.）【同数学四 第十二题 分值不同】