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1、刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 1 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一、(每小题 5,本题满分 15 分)数学 一、(每小题 5,本题满分 15 分)(1)求幂级数133nnnxn的收敛域.(2)已知 2xf xe,1fxx,且 0 x.求 x并写出它的定义域.(3)设S为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分333SIx dydzy dzdxz dxdy.二、填空题:(本题满分 12 分,每小题 3 分)二、填空题:(本题满分 12 分,每小题 3 分)(1)若 21lim1t xxf ttx,则 ft (2)设 f x是周期为 2 的周期函数,它在
2、区间1,1上定义为 32,10,01xf xxx,则 f x的傅里叶级数在1x 处收敛于 .(3)设 f x是连续函数,且 310 xf t dtx,则 7f .(4)设 4 阶矩阵234,A ,234,B ,其中,234,均为 4 维列向量,且已知行列式4A,1B,则行列式AB .三、选择题(每小题 3 分,满分 15 分)三、选择题(每小题 3 分,满分 15 分)(1)若函数 yf x有012fx,则当0 x 时,该函数在0 xx处的微分dy是()(A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程240yyy的一个解,若
3、()0f x,且0()0fx,则函数()f x在点0 x(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加 (D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域22221:,0 xyzR z及22222:xyzR,0,0,0 xyz,则()(A)124xdvxdv (B)124ydvydv(C)124zdvzdv (D)124xyzdvxyzdv 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 2(4)若11nnnax在1x 处收敛,则此级数在2x 处()(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,3ssn 线性无关的充分必要条件是()(A)有
4、一组不全为 0 的数12,sk kk,使11220sskkk (B)12,s 中任意两个向量都线性无关(C)12,s 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出 (D)12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分)设xyuyfxgyx,其中,f g具有二阶连续导数,求222uuxyxx y.五、(本题满分 8 分)五、(本题满分 8 分)设函数 yy x满足微分方程322xyyye,且图形在点0,1处的切线与曲线21yxx在该点的切线重合,求函数 yy x.六、(本题满分 9 分)六、(本题满分 9 分)设位于点0,1的质点A对质点M的引力大小
5、为2kr(0k 为常数,r为质点A与M之间的距离),质点M沿曲线22yxx自2,0B运动到0,0O.求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功.七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 3 已知APPB,其中100000001B,100210211P,求A及5A.八、(本题满分 8 分)八、(本题满分 8 分)已知矩阵20000101Ax与20000001By相似,(1)求x与y,(2)求一个满足1P APB的可逆矩阵P.九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分)设函数 fx在区间,a b上连续,且在,a b内有 0fx
6、.证明:在,a b内存在唯一的,使曲线 yfx与两直线 yf,xa所围平面图形面积1S是曲线 yfx与两直线 yf,xb所围平面图形面积2S的 3 倍.十、填空题(每小题 2 分,满分 6 分)十、填空题(每小题 2 分,满分 6 分)(1)设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率为 (2)在区间0,1中随机地取两个数,则事件“两数之和小于65”概率为 (3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布.已知 2212uxxedu,2.50.9938,则X落在区间9.95,10.05内的概率为 十一、(本题满分 6
7、 分)十一、(本题满分 6 分)设随机变量X的概率密度函数为21()1Xfxx,求随机变量31YX 的概率密度函数()Yfy.刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 4 数学 一、(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)【数学 一、(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)【同数学第一(1)题】(2)【】(2)【同数学第一(2)题】(3)【】(3)【同数学第一(3)题】二、填空题(本题满分 12 分,每小题 3 分)(1)【】二、填空题(本题满分 12 分,每小题 3 分)(1)【同数学第二(1)题】(2)【】(2)【同数学第二(2)题】(3)【】(3)【同数学第二(
8、3)题】(4)【】(4)【同数学第二(4)题】三、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分)(1)【】三、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分)(1)【同数学第三(1)题】(2)(2)【同数学第三(2)题】(3)(3)【同数学第三(3)题】(4)(4)【同数学第三(4)题】(5)(5)【同数学第三(5)题】四、(本题满分 18 分,每小题 6 分)】四、(本题满分 18 分,每小题 6 分)(1)【同数学第四题】(2)计算24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy(3)求椭球面2222321xyz上某点M处的切平面的方程,使平面过已知直线6321:212xyzl.五、(本
9、题满分 8 分)【五、(本题满分 8 分)【同数学第五题】六、(本题满分 9 分)【】六、(本题满分 9 分)【同数学第六题】七、(本题满分 6 分)【】七、(本题满分 6 分)【同数学第七题】八、(本题满分 8 分)【】八、(本题满分 8 分)【同数学第八题】九、(本题满分 9 分)【】九、(本题满分 9 分)【同数学第九题】刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 5 数学 一、填空题(每小题 4 分,满分 20 分)数学 一、填空题(每小题 4 分,满分 20 分)(1)若 sincos,02,0 xexxxfxxax是,上的连续函数,则a (2)【同数学第二(1)题】
10、(3)【同数学第二(3)题】(4)01lim()tanxxx (5)40 xe dx 二、选择题(每小题 4 分,满分 20 分)二、选择题(每小题 4 分,满分 20 分)(1)3211()6132f xxxx的图形在点0,1处切线与x轴交点的坐标是()(A)1,06(B)1,0(C)1,06(D)1,0(2)若()f x与()g x在,上皆可导,且()()f xg x,则必有()(A)()()fxgx (B)()()fxg x (C)00lim()lim()xxxxf xg x (D)00()()xxf t dtg t dt(3)【同数学第二(1)题】(4)曲线32sin,0yxx与x轴围
11、成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积是()(A)43 (B)43 (C)223 (D)23(5)【同数学第三(5)题】三、(本题满分 15 分,每小题 5 分)三、(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)【同数学第一(2)题】(2)已知1xyyxe,求0y x及0y x(3)求微分方程2111yyxx x的通解(一般解).四、(本题满分 12 分)四、(本题满分 12 分)作函数2624yxx的图形,并填写下表.刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 6 单调增区间 单调减区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐 点 渐近线 五、(本题满分 8 分)五、(本题满分 8
12、 分)将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?六、(本题满分 10 分)六、(本题满分 10 分)【同数学第五题(分值不同)】七、(本题满分 7 分)七、(本题满分 7 分)设1x ,求11|xt dt.八、(本题满分 8 分)八、(本题满分 8 分)设 fx在,上有连续导数,且 mfxM.(1)求201lim4aaaf taf tadta;(2)证明 1,02aaf t dtfxMm aa.刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 7 数学 一、填空题(本题满分 12 分,每空 1 分)数学 一、填空题
13、(本题满分 12 分,每空 1 分)(一)已知函数 2120 xtfxedt,x (1)fx (2)fx的单调性:(3)fx的奇偶性:(4)fx图形的拐点:(5)fx图形的凹凸性:(6)fx图形的水平渐近线:(二)1110110110110111 (三)10001001001001000 (四)假设 0.4P A,0.7P AB,那么(1)若A与B互不相容,则 P B (2)若A与B相互独立,则 P B 二、判断题(本题满分 10 分,每小题答对得 2 分,答错得-1 分,不答得 0 分,全题最低 0 分)二、判断题(本题满分 10 分,每小题答对得 2 分,答错得-1 分,不答得 0 分,全
14、题最低 0 分)(1)若极限 0limxxfx与 0limxxfx g x都存在,则极限 0limxxg x必存在.()(2)若0 x是函数 fx的极值点,则必有 0fx.()(3)等式 00aafx dxf ax dx,对任何实数a都成立.()(4)若A和B都是n阶非零方阵,且0AB,则A的秩必小于n.()(5)若事件A,B,C满足等式ABBC,则AB.()三、计算下列各题(每小题 4 分,满分 16 分)三、计算下列各题(每小题 4 分,满分 16 分)刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 8(1)求极限 11limlnxxxxx(2)已知uuexy,求2ux y.(
15、3)求定积分301dxxx(4)求二重积分660cosyxdydxx 四、(本题满分 6 分,每小题 3 分)四、(本题满分 6 分,每小题 3 分)(1)讨论级数111!nnnn的敛散性(2)已知级数21nna与2ii nb都收敛,试证明级数1n nna b绝对收敛.五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分)已 知 某 商 品 的 需 求 量D和 供 给 量S都 是 价 格P的 函 数:2aDD pp,SS pbp,其中0a 和0b 是常 数;价 格P是 时间t的 函数且 满足方 程 dpk d ps pdt,(k是常数),假设当0t 时价格为 1,试求:(1)需求量等于供给量时的均衡
16、价格eP;(2)价格函数 P t;(3)极限 limtP t 六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8 分)在曲线2,0yxx上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围成的面积为112,试求:(1)切点A的坐标;(2)过切点A的切线方程:(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 9 七、(本题满分 8 分)七、(本题满分 8 分)已给线性方程组123412341213412342231363315351012xxxxxxxxxxk xxxxxxk,问1k和2k各取何值时,方程组无解?有唯一解?无穷解?在方程组有无穷解的
17、情景下,试求出一般解.八、(本题满分 7 分)八、(本题满分 7 分)已 知 向 量 组12,2sa aas 线 性 无 关,设112aa,223aa,11sssaa,1ssaa,讨论向量组12,s 的线性相关性.九、(本题满分 6 分)九、(本题满分 6 分)设A是三阶方阵,A是A的伴随矩阵,A的行列式12A,求行列式132AA的值.十、(本题满分 6 分)十、(本题满分 6 分)玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客开箱随机观察4只,若无残次品,则购买下该玻璃杯,否则退回.试求:(1
18、)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率.十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分)某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布;(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.(附:(2.5)0.994,(1.5)0.993)十二、(本题满分 6 分)十二、(本题满分 6 分)假设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布.试求随机变量2xYe的概率密度 fy.刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 10
19、数学 一、数学 一、【同数学第一题】二、二、【同数学第二题】三、(每小题分,满分 16 分)三、(每小题分,满分 16 分)()求极限21lim 1tan2xxx()已知xyue,求2ux y ()【同数学第三(3)题】()【同数学第三(4)题】四、(本题满分四、(本题满分 6 分)分)确定常数a和b,使函数 2,1,1axb xfxxx处处可导.五、(本题满分 8 分)【五、(本题满分 8 分)【同数学第五题】六、(本题满分 8 分)【】六、(本题满分 8 分)【同数学第六题】七、(本题满分 8 分)【】七、(本题满分 8 分)【同数学第七题】八、(本题满分 6 分)】八、(本题满分 6 分)已知n阶方阵A满足矩阵方程2320AAE,E是单位矩阵.证明A可逆并求出其逆矩阵1A.九、(本题满分 7 分)九、(本题满分 7 分)【同数学第八题】十、(本题满分 7 分)十、(本题满分 7 分)【同数学第十题】十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分)假设有十只同种电器元件,其中有两只废品,装配仪器时从这批元件中任取一只,如是废品,则扔掉重新任取一只:若仍是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的分布,数学期望与方差.十二、(本题满分 5 分)十二、(本题满分 5 分)【同数学第十二题】