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1、刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 1 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分）数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分） （1）求幂级数133nnnxn的收敛域. （2）已知 2xf xe， 1fxx ，且 0 x.求 x并写出它的定义域. （3）设S为曲面2221xyz的外侧， 计算曲面积分333SIx dydzy dzdxz dxdy . 二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分）二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分） （1）若 21lim1t xxf ttx，则 ft （2）设 f x是周
2、期为 2 的周期函数，它在区间1,1上定义为 32, 10,01xf xxx ，则 f x的傅里叶级数在1x 处收敛于 . （3）设 f x是连续函数，且 310 xf t dtx，则 7f . （4）设 4 阶矩阵234,A ，234,B ，其中，234, , 均为 4 维列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式AB . 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） （1） 若函数 yf x有012fx， 则当0 x 时， 该函数在0 xx处的微分dy是 （ ） （A）与x等价的无穷小 （B）与x同阶的无穷小 （C）比x低阶的无穷小 （D）比
3、x高阶的无穷小 （2）设( )yf x是方程240yyy的一个解，若( )0f x ，且0()0fx，则函数( )f x在点0 x （A）取得极大值 （B）取得极小值 （C）某个邻域内单调增加 （D）某个邻域内单调减少 （3）设有空间区域22221:,0 xyzR z及22222:xyzR，0,0,0 xyz，则（ ） （A）124xdvxdv （B）124ydvydv （C）124zdvzdv （D）124xyzdvxyzdv 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 2 （4）若11nnnax在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ） （A）条件收敛 （B） 绝对收敛 （C
4、）发散 （D）收敛性不能确定 （5）n维向量组12,3ssn 线性无关的充分必要条件是（ ） （A）有一组不全为 0 的数12,sk kk，使11220sskkk （B）12,s 中任意两个向量都线性无关 （C）12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D）12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 四、 （本题满分 6 分） 四、 （本题满分 6 分） 设xyuyfxgyx，其中, f g具有二阶连续导数，求222uuxyxx y . 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 设函数 yy x满足微分方程322xyyye，且图形在点0,1处的切线与曲线21yx
5、x在该点的切线重合，求函数 yy x. 六、 （本题满分 9 分） 六、 （本题满分 9 分） 设位于点0,1的质点A对质点M的引力大小为2kr（0k 为常数，r为质点A与M之间的距离） ，质点M沿曲线22yxx自2,0B运动到0,0O.求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功. 七、 （本题满分 6 分） 七、 （本题满分 6 分） 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 3 已知APPB，其中100000001B，100210211P，求A及5A. 八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 已知矩阵20000101Ax与20000001By相似， （1
6、）求x与y， （2）求一个满足1P APB的可逆矩阵P. 九、 （本题满分 9 分） 九、 （本题满分 9 分） 设函数 fx在区间, a b上连续，且在, a b内有 0fx.证明：在, a b内存在唯一的，使曲线 yfx与两直线 yf，xa所围平面图形面积1S是曲线 yfx与两直线 yf，xb所围平面图形面积2S的 3 倍. 十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） （1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于1927，则事件A在一次试验中出现的概率为 （2）在区间0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”
7、概率为 （3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知 2212uxxedu，2.50.9938，则X落在区间9.95,10.05内的概率为 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量X的概率密度函数为21( )1Xfxx，求随机变量31YX 的概率密度函数( )Yfy. 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 4 数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（1）题】 （2） 【】 （2） 【同数学第一（2）题】 （3） 【】 （3）
8、【同数学第一（3）题】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【同数学第二（1）题】 （2） 【】 （2） 【同数学第二（2）题】 （3） 【】 （3） 【同数学第二（3）题】 （4） 【】 （4） 【同数学第二（4）题】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【同数学第三（1）题】 （2）（2） 【同数学第三（2）题】 （3）（3） 【同数学第三（3）题】 （4）（4） 【同数学第三（4）题】 （5）（5） 【同数学第三（5）题】
9、 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） 】 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） （1）【同数学第四题】 】 （2）计算24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy （3）求椭球面2222321xyz上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线6321:212xyzl. 五、 （本题满分 8 分） 【 五、 （本题满分 8 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 9 分） 【】 六、 （本题满分 9 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 6 分） 【】 七、 （本题满分 6 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 8 分） 【】 八、 （本题满分 8 分） 【
10、同数学第八题】 九、 （本题满分 9 分） 【】 九、 （本题满分 9 分） 【同数学第九题】 】 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 5 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） （1）若 sincos,02,0 xexxxfxxax是, 上的连续函数，则a （2）【同数学第二（1）题】 】 （3）【同数学第二（3）题】 】 （4）01lim()tanxxx （5）40 xe dx 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） （1）3211( )6132f x
11、xxx的图形在点0,1处切线与x轴交点的坐标是（ ） （A）1,06 （B）1,0 （C）1,06 （D）1,0 （2）若( )f x与( )g x在, 上皆可导，且( )( )f xg x，则必有（ ） （A）()()fxgx （B）( )( )fxg x （C）00lim( )lim( )xxxxf xg x （D）00( )( )xxf t dtg t dt （3） 【同数学第二（1）题】 】 （4）曲线32sin, 0yxx与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A）43 （B）43 （C）223 （D）23 （5） 【同数学第三（5）题】 三、 （本题满分 15 分，
12、每小题 5 分） 三、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（2）题】 （2）已知1xyyxe ，求0y x及0y x （3）求微分方程2111yyxx x的通解（一般解）. 四、 （本题满分 12 分） 四、 （本题满分 12 分） 作函数2624yxx的图形，并填写下表. 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 6 单调增区间 单调减区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐 点 渐近线 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和
13、为最小？ 六、 （本题满分 10 分）六、 （本题满分 10 分）【同数学第五题（分值不同） 】 七、 （本题满分 7 分） 七、 （本题满分 7 分） 设1x ，求11 | |xt dt. 八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 设 fx在, 上有连续导数，且 mfxM. （1）求201lim4aaaf taf tadta； （2）证明 1,02aaf t dtfxMm aa. 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 7 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） （一）已知函数 2120 x
14、tfxedt，x （1） fx （2） fx的单调性： （3） fx的奇偶性： （4） fx图形的拐点： （5） fx图形的凹凸性： （6） fx图形的水平渐近线： （二）1110110110110111 （三）10001001001001000 （四）假设 0.4P A ，0.7P AB，那么 （1）若A与B互不相容，则 P B （2）若A与B相互独立，则 P B 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） （1）若极限 0l
15、imxxfx与 0limxxfx g x都存在，则极限 0limxxg x必存在.（ ） （2）若0 x是函数 fx的极值点，则必有 0fx . （ ） （3）等式 00aafx dxf ax dx ，对任何实数a都成立.（ ） （4）若A和B都是n阶非零方阵，且0AB ，则A的秩必小于n.（ ） （5）若事件A，B，C满足等式ABBC，则AB.（ ） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 8 （1）求极限 11limlnxxxxx （2）已知uuexy，求2ux y
16、. （3）求定积分301dxxx （4）求二重积分660cosyxdydxx 四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分）四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分） （1）讨论级数111 !nnnn的敛散性 （2）已知级数21nna与2ii nb都收敛，试证明级数1n nna b绝对收敛. 五、 （本题满分 6 分） 五、 （本题满分 6 分） 已 知 某 商 品 的 需 求 量D和 供 给 量S都 是 价 格P的 函 数 ： 2aDD pp， SS pbp， 其中0a 和0b 是常 数；价 格P是 时间t的 函数且 满足方 程 dpk d ps pdt， （k是常数） ，假设当0t 时价格为
17、1，试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格eP； （2）价格函数 P t； （3）极限 limtP t 六、 （本题满分 8 分） 六、 （本题满分 8 分） 在曲线2,0yxx上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求： （1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程： （3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 9 七、 （本题满分 8 分） 七、 （本题满分 8 分） 已给线性方程组123412341213412342231363315351012xxxxxxxxxxk xxxxxxk，问
18、1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 八、 （本题满分 7 分） 八、 （本题满分 7 分） 已 知 向 量 组12,2sa aas 线 性 无 关 ， 设112aa，223aa， ，11sssaa，1ssaa，讨论向量组12,s 的线性相关性. 九、 （本题满分 6 分） 九、 （本题满分 6 分） 设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式12A ，求行列式132AA的值. 十、 （本题满分 6 分） 十、 （本题满分 6 分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱
19、玻璃杯， 在购买时， 售货员随意取一箱， 而顾客开箱随机观察4只， 若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X的概率分布； （2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993） 十二、 （本题满分 6 分） 十二、 （本题满分 6 分）
20、 假设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布.试求随机变量2xYe的概率密度 fy. 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail: 10 数学 一、数学 一、【同数学第一题】 二、 二、【同数学第二题】 三、 （每小题分，满分 16 分） 三、 （每小题分，满分 16 分） （）求极限21lim 1tan2xxx （）已知xyue，求2ux y （） 【同数学第三（3）题】 （） 【同数学第三（4）题】 四、 （本题满分四、 （本题满分 6 分）分） 确定常数a和b，使函数 2,1,1axb xfxxx处处可导. 五、 （本题满分 8 分） 【五、 （本题满分 8 分） 【同数学第
21、五题】 六、 （本题满分 8 分） 【】 六、 （本题满分 8 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 8 分） 【】 七、 （本题满分 8 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 6 分） 】 八、 （本题满分 6 分） 已知n阶方阵A满足矩阵方程2320AAE,E是单位矩阵.证明A可逆并求出其逆矩阵1A. 九、 （本题满分 7 分）九、 （本题满分 7 分）【同数学第八题】 十、 （本题满分 7 分） 十、 （本题满分 7 分）【同数学第十题】 十一、 （本题满分 7 分） 十一、 （本题满分 7 分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望与方差. 十二、 （本题满分 5 分）十二、 （本题满分 5 分）【同数学第十二题】