《人教版2019-2020学年九年级数学第一学期第一次月考试题(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版2019-2020学年九年级数学第一学期第一次月考试题(含答案).pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2019-2020学年九年级数学第一学期第一次月考试题 一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1方程 x2=4 的解是（）Ax1=4，x2=4 Bx1=x2=2 Cx1=2，x2=2 Dx1=1，x2=4 2下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A B C D 3抛物线 y=（x2）2+3 的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）4已知点 P（b，2）与点 Q（3，2a）关于原点对称点，则 a、b 的值分别是（）A1、3 B1、3 C1、3 D1、3 5一元二次方程 x22x1=0 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确
2、定 6正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（）A36 B54 C72 D108 7某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（）Ax（x+1）=1035 Bx（x1）=10352 Cx（x1）=1035 D2x（x+1）=1035 8若 A（6，y1），B（3，y2），C（1，y3）为二次函数 y=x21 图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 9已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，y 与 x 的部分对应值如
3、下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y 1.59 1.16 0.71 0.24 0.25 0.76 则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 满足条件（）A1.2x1.3 B1.3x1.4 C1.4x1.5 D1.5x1.6 10 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则在下列各式子：abc0；a+b+c0；a+cb；2a+b=0；=b24ac0 中成立式子（）A B C D 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）11若（m2）mx+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为 12一元二次方程（a+1）x2ax+a2=1 的一个根为 0，则 a=13
4、将抛物线：y=x22x 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线是 14如图，ODC 是由OAB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形，若点 D 恰好落在AB 上，且AOC=105，则C 的度数是 15在平面直角坐标系中，已知点 P0的坐标为（2，0），将点 P0绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P1，延长 OP1到点 P2，使 OP2=2OP1，再将点 P2绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P3，则点 P3的坐标是 16如图，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的一部分，已知抛物线的对称轴为 x=2，与 x轴的一个交点是（1，0），则方程 ax2+bx+c
5、=0（a0）的两根是 三、解答题（共 86 分）17（8 分）解方程（1）2x24x=1（2）3x（2x+1）=4x+2 18（8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为 A（3，2），B（5，3），C（0，4）（1）以 C 为旋转中心，将 ABC 绕 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的对应的A1B1C1，写出点 A1的坐标；（2）求出（1）中点 B 旋转到点 B1所经过的路径长（结果保留根号和 ）19（8 分）已知抛物线 y=ax2bx+3 经过点 A（1，2），B（2，3）（1）求此抛物线的函数解析式（2）判断点 B（1，4）是否在此抛物线上 20（8 分）已知：如图，在ABC 中
6、，B=90，AB=5cm，BC=7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动（1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？（2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理由 21（8 分）二次函数 y=ax2+2x1 与直线 y=2x3 交于点 P（1，b）（1）求出此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 22（10 分）如图，在ABC 中，AB=AC，若将ABC 绕点 C
7、 顺时针旋转 180得到EFC，连接 AF、BE（1）求证：四边形 ABEF 是平行四边形；（2）当ABC 为多少度时，四边形 ABEF 为矩形？请说明理由 23（10 分）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满 当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲 对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求：（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（
8、元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？24（12 分）如图，在 ABCD 中，AB=1，BC=，对角线 AC，BD 交于 O 点，将直线 AC绕点 O 顺时针旋转，分别交于 BC，AD 于点 E，F（1）证明：当旋转角为 时，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 25（14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y=x22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）请直接写出点
9、 A，C，D 的坐标；（2）如图（1），在 x 轴上找一点 E，使得CDE 的周长最小，求点 E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1方程 x2=4 的解是（）Ax1=4，x2=4 Bx1=x2=2 Cx1=2，x2=2 Dx1=1，x2=4【分析】直接开平方法求解可得【解答】解：x2=4，x=2 或 x=2，故选：C【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
10、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 2下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是中心对称图形故错误；B、是中心对称图形故错误；C、不是中心对称图形故正确；D、是中心对称图形故错误 故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合 3抛物线 y=（x2）2+3 的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴【解答】解：y=（x2）2+3 是抛
11、物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故选：A【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式 y=a（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是 x=h 4已知点 P（b，2）与点 Q（3，2a）关于原点对称点，则 a、b 的值分别是（）A1、3 B1、3 C1、3 D1、3【分析】让两个横坐标相加得 0，纵坐标相加得 0 即可求得 a，b 的值【解答】解：P（b，2）与点 Q（3，2a）关于原点对称点，b+3=0，2+2a=0，解得 a=1，b=3，故选：A【点评】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为 0
12、 5一元二次方程 x22x1=0 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定【分析】把 a=1，b=2，c=1 代入=b24ac，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a=1，b=2，c=1，b24ac=4+4=8，方程有两个不相等的实数根 故选：A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 6正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（）A36 B54 C72 D108【分
13、析】根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是=72度 故选：C【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角 7某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（）Ax（x+1）=1035 Bx（x1）=10352 Cx（x1）=1035 D2x（x+1）=1035
14、【分析】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是 x（x1）张，即可列出方程【解答】解：全班有 x 名同学，每名同学要送出（x1）张；又是互送照片，总共送的张数应该是 x（x1）=1035 故选：C【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键 8若 A（6，y1），B（3，y2），C（1，y3）为二次函数 y=x21 图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征可求出 y1、y2、
15、y3的值，比较后即可得出结论【解答】解：A（6，y1）、B（3，y2）、C（1，y3）为二次函数 y=x21 图象上的三点，y1=35，y2=8，y3=0，y3y2y1 故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值是解题的关键 9已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，y 与 x 的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y 1.59 1.16 0.71 0.24 0.25 0.76 则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 满足条件（）A1.2x1.3 B1.3x1.4 C1.4x1.5
16、D1.5x1.6【分析】仔细看表，可发现 y 的值0.24 和 0.25 最接近 0，再看对应的 x 的值即可得【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为 1.4x1.5 故选：C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的 10 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则在下列各式子：abc0；a+b+c0；a+cb；2a+b=0；=b24ac0 中成立式子（）A B C D【分析】根据二次函数的性
17、质，利用数形结合的思想一一判断即可；【解答】解：抛物线的开口向上，a0，对称轴在 y 轴的右侧，a，b 异号，b0，抛物线交 y 轴于负半轴，c0，abc0，故正确，x=1 时，y0，a+b+c0，故错误，x=1 时，y0，ab+c0，a+cb，故正确，对称性 x=1，=1，2a+b=0，故正确，抛物线与 x 轴有两个交点，=b24ac0，故错误，故选：D【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）11若（m2）mx+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为 2 【分析】本题根据一元二次方
18、程的定义求解 一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：根据题意得：，解得：m=2 故答案是：2【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 12一元二次方程（a+1）x2ax+a2=1 的一个根为 0，则 a=1 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 a+10 且 a21=0，然后解不等式和方程即可得到 a 的值【解答】
19、解：一元二次方程（a+1）x2ax+a2=1 的一个根为 0，a+10 且 a2=1，a=1 故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为 ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定义 13将抛物线：y=x22x 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线是 y=（x5）2+2 或 y=x210 x+27 【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式【解答】解：y=x22x=（x1）21，根据平移规律，向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线
20、是：y=（x5）2+2，将顶点式展开得，y=x210 x+27 故答案为：y=（x5）2+2 或 y=x210 x+27【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式 14如图，ODC 是由OAB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形，若点 D 恰好落在AB 上，且AOC=105，则C 的度数是 45 【分析】先根据AOC 的度数和BOC 的度数，可得AOB 的度数，再根据AOD 中，AO=DO，可得A 的度数，进而得出ABO 中B 的度数，可得C 的度数【解答】解：AOC 的度数为 105，由旋转可得AOD=BOC=40，AOB
21、=10540=65，AOD 中，AO=DO，A=（18040）=70，ABO 中，B=1807065=45，由旋转可得，C=B=45，故答案为：45【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答 15在平面直角坐标系中，已知点 P0的坐标为（2，0），将点 P0绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P1，延长 OP1到点 P2，使 OP2=2OP1，再将点 P2绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P3，则点 P3的坐标是（2，2）【分析】利用旋转的性质得到 OP2=2OP1=OP3=4，xOP2=P2OP3=60，作 P3Hx 轴于
22、H，利用含 30 度的直角三角形求出 OH、P3H，从而得到 P3点坐标【解答】解：如图，点 P0的坐标为（2，0），OP0=OP1=2，将点 P0绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P1，延长 OP1到点 P2，使 OP2=2OP1，再将点 P2绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60得点 P3，OP2=2OP1=OP3=4，xOP2=P2OP3=60，作 P3Hx 轴于 H，OH=OP3=2，P3H=OH=2，P3（2，2）故答案为（2，2）【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，9
23、0，180 16如图，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的一部分，已知抛物线的对称轴为 x=2，与 x轴的一个交点是（1，0），则方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根是 x1=1，x2=5 【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与 x 轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可【解答】解：抛物线的对称轴为 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0），抛物线与 x 轴的另一交点是（5，0），方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根是 x1=1，x2=5 故答案为：x1=1，x2=5【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程与二次函数的关系，难点在于熟练掌握二次函
24、数的对称性确定出与 x 轴的另一交点坐标 三、解答题（共 86 分）17（8 分）解方程（1）2x24x=1（2）3x（2x+1）=4x+2【分析】（1）利用配方法解方程配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（2）先移项，然后提取公因式（2x+1）进行因式分解，再来解方程即可【解答】解：（1）2x24x=1，x22x=，x22x+1=+1，（x1）2=，x1=x=；（2）方程整理得：3x（2x+1）2（2x+1）=0，分解因式得：（3x2）（2x+1）=0，可得 3x2=0 或 2x+1=0，解得：x1=，x2=【点评】此题考查了配方法解一元
25、二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如 ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方 18（8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为 A（3，2），B（5，3），C（0，4）（1）以 C 为旋转中心，将 ABC 绕 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的对应的A1B1C1，写出点 A1的坐标；（2）求出（1）中点 B 旋转到点 B1所经过的路径长（结果保留根号和 ）【分析】（
26、1）根据旋转图形的作法，画出A1B1C1；（2）根据弧长公式可求点 B 旋转到点 B1所经过的路径长【解答】解：（1）如图：点 A1的坐标（6，1）（2）点 B 旋转到点 B1所经过的路径长=【点评】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式 19（8 分）已知抛物线 y=ax2bx+3 经过点 A（1，2），B（2，3）（1）求此抛物线的函数解析式（2）判断点 B（1，4）是否在此抛物线上【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；（2）求出 x=1 时的函数值即可判断；【解答】解：（1）将点 A（1，2），B（2，3）代入 y=ax2bx+3
27、，得 解得，抛物线的函数解析式为 y=x20.5x+3，（2）当 x=1 时，y=1+0.5+3=4.54，点 B（1，4）不在此抛物线上【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20（8 分）已知：如图，在ABC 中，B=90，AB=5cm，BC=7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动（1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？（2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理
28、由 【分析】（1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 6cm2，根据点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，表示出 BP 和 BQ 的长可列方程求解（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到 8cm2【解答】解：（1）设 经过 x 秒以后PBQ 面积为 6cm2，则 （5x）2x=6，整理得：x25x+6=0，解得：x=2 或 x=3 答：2 或 3 秒后PBQ 的面积等于 6cm2 （2）设经过 x 秒以后PBQ 面积为 8cm2，则（5x）2x=8，整理得：x25x+8=0，
29、=2532=70，所以，此方程无解，故PQB 的面积不能等于 8cm2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“PBQ 的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键 21（8 分）二次函数 y=ax2+2x1 与直线 y=2x3 交于点 P（1，b）（1）求出此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题；【解答】解：（1）点 P（1，b）在直线 y=2x3 上，b=23=1，P（1，1），把 P（1，1）代入 y=ax2+2x1，
30、得到 a=2，二次函数的解析式为 y=2x2+2x1 （2）y=2（x）2，顶点坐标为（，），当 x时，y 随 x 的增大而减小【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型 22（10 分）如图，在ABC 中，AB=AC，若将ABC 绕点 C 顺时针旋转 180得到EFC，连接 AF、BE（1）求证：四边形 ABEF 是平行四边形；（2）当ABC 为多少度时，四边形 ABEF 为矩形？请说明理由 【分析】（1）根据旋转得出 CA=CE，CB=CF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的判定得出ABC 是等边三角形，求出 A
31、E=BF，根据矩形的判定得出即可【解答】（1）证明：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 180得到EFC，ABCEFC，CA=CE，CB=CF，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）解：当ABC=60时，四边形 ABEF 为矩形，理由是：ABC=60，AB=AC，ABC 是等边三角形，AB=AC=BC，CA=CE，CB=CF，AE=BF，四边形 ABEF 是平行四边形，四边形 ABEF 是矩形【点评】本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 23（10 分）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每
32、天 200 元时，房间可以住满 当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲 对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求：（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=60 个房间每个房间每天的定价增加的钱数10；（2）已知每天定价增加为 x 元，则每天要（200+x）元则宾馆每
33、天的房间收费=每天的实际定价房间每天的入住量；（3）支出费用为 20（60），则利润 w=（200+x）（60）20（60），利用配方法化简可求最大值【解答】解：（1）由题意得：y=60（2 分）（2）p=（200+x）（60）=+40 x+12000（3 分）（3）w=（200+x）（60）20（60）（2 分）=+42x+10800=（x210）2+15210 当 x=210 时，w 有最大值 此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第
34、三种是公式法本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般 24（12 分）如图，在 ABCD 中，AB=1，BC=，对角线 AC，BD 交于 O 点，将直线 AC绕点 O 顺时针旋转，分别交于 BC，AD 于点 E，F（1）证明：当旋转角为 90 时，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 【分析】（1）根据BAC=AOF=90推出 ABEF，根据平行四边形性质得出 AFBE，即可推出四边形 ABEF 是平行四边形；（2）证DFOBEO，推出 OF=OE，得出四边形
35、BEDF 是平行四边形，根据勾股定理求出 AC，求出 OA=AB=1，求出AOB=45，根据AOF=45，推出 EFBD，根据菱形的判定推出即可【解答】解：（1）结论：旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形 理由：AOF=90，BAO=90，BAO=AOF，ABEF，又四边形 ABCD 是平行四边形，AFEB，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）当旋转角AOF=45时，四边形 BEDF 是菱形理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BO=DO，FDO=EBO，DFO=BEO，在DFO 和BEO 中，DFOBEO（AAS），OF=OE，四边形 BEDF 是平行四边形，AB
36、=1，BC=，在 RtBAC 中，由勾股定理得：AC=2，AO=1=AB，BAO=90，AOB=45，又AOF=45，BOF=90，BDEF，四边形 BEDF 是菱形，即在旋转过程中，四边形 BEDF 能是菱形，此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数是 45【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，此题综合性比较强，但是一道比较好的题目 25（14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y=x22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）请直接
37、写出点 A，C，D 的坐标；（2）如图（1），在 x 轴上找一点 E，使得CDE 的周长最小，求点 E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】（1）令抛物线解析式中 y=0，解关于 x 的一元二次方程即可得出点 A、B 的坐标，再令抛物线解析式中 x=0 求出 y 值即可得出点 C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点 D 的坐标；（2）作点 C 关于 x 轴对称的点 C，连接 CD 交 x 轴于点 E，此时CDE 的周长最小，由点 C 的坐标可找出点 C
38、 的坐标，根据点 C、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线 CD的解析式，令其 y=0 求出 x 值，即可得出点 E 的坐标；（3）根据点 A、C 的坐标利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，假设存在，设点 F（m，m+3），分PAF=90、AFP=90和APF=90三种情况考虑根据等腰直角三角形的性质结合点 A、F 点的坐标找出点 P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出 m 值，再代入点 P 坐标中即可得出结论【解答】解：（1）当 y=x22x+3 中 y=0 时，有x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，A 在 B 的左侧，A（3，0），B（1，
39、0）当 y=x22x+3 中 x=0 时，则 y=3，C（0，3）y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点 D（1，4）（2）作点 C 关于 x 轴对称的点 C，连接 CD 交 x 轴于点 E，此时CDE 的周长最小，如图 1 所示 C（0，3），C（0，3）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则有，解得：，直线 CD 的解析式为 y=7x3，当 y=7x3 中 y=0 时，x=，当CDE 的周长最小，点 E 的坐标为（，0）（3）设直线 AC 的解析式为 y=ax+c，则有，解得：，直线 AC 的解析式为 y=x+3 假设存在，设点 F（m，m+3），AFP 为等腰直角三角形分三种情况（
40、如图 2 所示）：当PAF=90时，P（m，m3），点 P 在抛物线 y=x22x+3 上，m3=m22m+3，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点 P 的坐标为（2，5）；当AFP=90时，P（2m+3，0）点 P 在抛物线 y=x22x+3 上，0=（2m+3）22（2m+3）+3，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点 P 的坐标为（1，0）；当APF=90时，P（m，0），点 P 在抛物线 y=x22x+3 上，0=m22m+3，解得：m5=3（舍去），m6=1，此时点 P 的坐标为（1，0）综上可知：在抛物线上存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形，点 P 的坐标为（2，5）或（1，0）【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B、C 的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点 E 的位置；（3）分PAF=90、AFP=90和APF=90三种情况考虑本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点 F 的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点 P 的坐标是关键