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1、1 2021-2022 学年第一学期八校高三年级联合调研 数学试卷 2021 年 12 月 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若集合3Ax x且xN，2|4Bx x，则AB（）A|2x x B1 C0,1 D 1,1 2.已知,m nR，i是虚数单位，若()(1)miini，则|mni（）A.5 B.2 C.3 D.1 3.已知双曲线C：220 xy，则“1”是“直线yx是C的一条渐近线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数3sin()2cosxf xx的部分图象为（）A
2、 B.C D.5.已知非零向量a,b满足0a b，0abab，则向量b与向量a b的夹角为（）A4 B3 C2 D34 6有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁,2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（）A35 B310 C45 D25 7.已知数列 na的前n项和为nS，且112,nnaaS，若0,2020na，则称项na为“和谐项”，则数列 na的所有“和谐项”的平方和为（）A.1118433 B.1114433 C.1018433 D.1214433 2 8.设1()22ln11xxx
3、f xx，若()(1)2f afa，则a的范围（）A(1,0)B1(,1)2 C1(,0)2 D1(0,)2 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分 9.下列说法正确的有（）A.若0ba，则 baab1 B.若复数12,z z满足12zz，则2212zz C.若平面向量a、b满足ab，则22ab D.在ABC中，若tantan1AB，则ABC为锐角三角形 10“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿交
4、于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体已知2AB，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A该半正多面体的体积为163 B该半正多面体过,A B C三点的截面面积为3 3 C该半正多面体外接球的表面积为16 D该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式2VFE 11数列 na满足111,(1)1nnanana，nN，其前n项和为nS，下列选项中正确的是（）A数列 na是公差为2的等差数列 BnS除以4的余数只能为1或0 C满足100nS的n的最大值是9 D.2(1)nnSn a 12已知椭圆2222:1(0)x
5、yCabab的左，右两焦点分别是1F，2F，其中122FFc直线:Rl yk xck与椭圆交于,A B两点则下列说法中正确的有（）AABC的周长为8a B若AB的中点为M，则22 OMbkka3 C若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率12e D若2213AF AFc，则椭圆的离心率的取值范围是 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13圆柱上下底面的圆周都在一个体积为5003的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为_.14.已知32(1)()()xxaaZ的展开式中x的系数等于8，则a等于_ 15.已知函数2()1f xxax，当0,3x时，5f x 恒成立，则实数a的
6、取值范围为_ 16.在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C对应的边，记ABC的面积为S，且sin2 sin4 sinbBcCaA，则2Sa的最大值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）已知ABC中,D是AC边的中点3,7,7BABCBD.（1）求AC的长；（2）BAC的平分线交BC于点E，求AE的长.18（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，22ADDCCB，点E为AP的中点.（1）证明：BE平面PCD；（2）求二
7、面角PBDE的余弦值.52,524 19（本小题满分 12 分）已知等差数列 na中，公差0d，1177S，且2611,1,a aa成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）若nT为数列11nna a的前n项和，且存在nN，使得10nnTa成立，求实数的取值范围.20（本小题满分 12 分）如图，椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，直线l：240 xy与椭圆只有一个公共点M.（1）求椭圆的方程（2）不经过原点O的直线l与OM平行且与椭圆交于,A B两点，记直线,MA MB的斜率分别为12,k k，求证：12kk为定值 5 21.（本小题满分 12 分）数独是源自18世纪瑞士的
8、一种数学游戏，玩家需要根据9 9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行每一列每一个粗线宫（3 3）内的数字均含19，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如表的数据：x（天）1 2 3 4 5 6 7 y（秒）990 990 450 320 300 240 210 现用byax作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两
9、人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为34，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中1iitx）71iiit y t 72217iitt 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据11,u v，22,u v，,nnu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniiu vnu vunu，vu.6 22.（本小题满分 12 分）已知()ln(2),()1xf xxbxa g xe（1）讨论()f x的单调性；（2）当0b时，对任意(2,)x 都有
10、()()2f xg xx成立，求实数a的最大值 7 2021-2022 学年第一学期八校高三年级联合调研 数学答案 2021.12 1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C 9.ACD 10.BD 11.ABD 12.BC 13.80 14.2 15.1,4 16.106 17.解：(1)设ADCDx 在ABC中，coscosADBCDB 即22222222ADBDABCDBDBCAD BDCD BD 即22222273772 72 7xxxx，得1x 所以2AC （2）ABC中，2222223271cos22 2 32ABACBCBACAB AC 0,60BACBAC
11、BACBAECAESSS 111sinsinsin222AB ACBACAB AEBAEAE ACEAC 即1113 2 sin60=3sin302sin30222AEAE 635AE 18.解：（1）如图，取 PD 中点 F，连接 EF，FC E 是 AP 中点，EF/AD 且 EF=12AD 8 由题知 BC/AD 且 BC=12AD，BC/EF，且 BC=EF BCFE 是平行四边形，BECF 又 CF平面 PCD，BE平面 PCD，BE 平面 PCD （2）取 AD 中点为 O，连接 OP，OB，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，OP AD，又平面PAD 平面ABCD，平面 PAD
12、平面ABCDAD，OP平面 PAD OP平面 ABCD，OB平面 ABCD，OP OB，由 BC AD，CD AD，AD2BC 知 OB OD，OP、OB、OD 两两垂直 故以 O 为原点，OB、OD、OP 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，设|BC|1，则 B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1 12 2，)，P(0，0，1)，则1 13 1101010112 22 2BEDEBPDP，设平面 BED 的法向量为111mxyz，则1110130m BExyzm DE，取113m，平面PBD 的法向量为222nxyz，22200n BPxyzn DP，取111n，设
13、二面角PBDE的大小为，则 cos1 1 35 3333113m nm n 19.解：（1）由题意可得1211111 10117725110adadadad，即 157,747536addd 又因为0d，所以 所以1nan （2）9 111111212nna annnn，111111112334122222nnTnnnn，存在*nN，使得10nnTa成立.存在*nN，使得2022nnn成立.即存在*nN，使得22(2)nn成立 211142(2)164242 24nnnnnn（当且仅当2n 时取等号）.116，即实数的取值范围是1,16 20.解：（1）由 eca32，得 c32a，由 a2b
14、2c2，得 b12a，所以椭圆的方程为x2a24y2a21，即 x24y2a2，与 l：x2y40 联立得 8y216y16a20，令 16232(16a2)0，得 a28 所以椭圆的方程为x28y221.(2)由(1)得 8y216y80，所以 M(2,1)故可设 l：y12xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y12xm，x28y221，整理得 x22mx2m240，4m24(2m24)0，得2m2，则 x1x22m，x1x22m24，所以 k1k2y11x12y21x22 12x1m1x1212x2m1x22 10 12mx1212mx22 1mx1x24x12x22 1mx1
15、x24x1x22x1x24 1m2m42m244m40，所以 k1k2为定值 0 21.解:（1）由题意，1(990990450320300240210)5007y，令1tx，设y关于t的线性回归方程为ybta，则 71722118457 0.37 50010000.5577iiiiit yt ybtt 则500 10000.37130a 1000130yt，又1tx，y关于x的回归方程为1000130yx 故100 x 时，140y.经过 100 天训练后，每天解题的平均速度y约为 140 秒（2）设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行 4 局就
16、有胜负.当2X 时，小明4:1胜，339(2)4416P X 当3X 时，小明4:2胜，123339(3)144432P XC 当4X 时，小明4:3胜，21333327(4)1444256P XC 小明最终赢得比赛的概率为99272431632256256 22.解：（1）()f x的定义域为(2,)，且1()2fxbx 当0b 时，显然()0fx，()f x在定义域上单调递增 当0b 时，令()0fx，得122xb，则有：11 x 12,2b 12b 12,b()fx+0-()f x 极大值 即 f x在12,2b上单调递增，在12,b上单调递减 综上所述，当0b 时，()f x在定义域上
17、单调递增；当0b 时，()f x在12,2b上单调递增，在12,b上单调递减（2）当0b时，()ln(2)f xxa，又()1xg xe，对(2,)x 有()()2f xg xx成立，(2)1ln(2)xaxex在(2,)上恒成立，令()(2)1ln(2)(2)xF xxexx，只需min()aF x 11()1(2)(3)22xxxF xexexexx，2x，30 x，令1()2xh xex，则21()0(2)xh xex，()h x在2,上单调递增，又11(1)10,(0)102hhe ，存在唯一的0(1,0)x ，使得 000102xh xex 即0021xxe，两边取自然对数得00ln20 xx，x 02,x 0 x 0,x ()F x-0+()F x 极小值 则 0 000()21ln2xF xF xxexmin 000022ln21xxexx，1a ，即 a 的最大值为1