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1、湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学 2023 学年中考测试卷猜想数学试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）1实数6 的相反数是 （）A-6 B6 C16 D6 2如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点 E 恰好落在边 AC 上时，
2、连接 AD，若ACB=30，则DAC 的度数是()A60 B65 C70 D75 3下列运算正确的是（）Aa3a=2a B（ab2）0=ab2 C8=2 2 D327=9 4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（3，6）、B（9，一 3），以原点 O 为位似中心，相似比为，把 ABO缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是（）A（1，2）B（9，18）C（9，18）或（9，18）D（1，2）或（1，2）5制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360 元 B720 元 C10
3、80 元 D2160 元 6甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点 的人原地休息已知甲先出发 2s在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：a8；b92；c1其中正确的是（）A B仅有 C仅有 D仅有 7如图，矩形ABCD中，12AB，13BC，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A3 B4 C92 D5 8 已知二次函数2 45yxx 的图象如图所示，若1 3Ay-，2301ByCy，是这个函数图象上的三点，则123 yyy，的大小关系是
4、（）A123 yyy B213 yyy C312 yyy D132yyy 9已知二次函数2(0)yxxa a，当自变量x取m时，其相应的函数值小于 0，则下列结论正确的是（）Ax取1m时的函数值小于 0 Bx取1m时的函数值大于 0 Cx取1m时的函数值等于 0 Dx取1m时函数值与 0 的大小关系不确定 10矩形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点 D 的坐标为()A(5，5)B(5，4)C(6，4)D(6，5)二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分）11写出一个大于 3 且小于 4 的无理数：_ 12计算：.13用换元法解方程223
5、1512xxxx，设 y=21xx，那么原方程化为关于 y 的整式方程是_ 14如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 3 和 9，那么阴影部分的面积为_ 15一个圆锥的侧面展开图是半径为 6，圆心角为 120的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为_ 16如图，点 A、B、C 是O 上的点，且ACB40，阴影部分的面积为 2，则此扇形的半径为_ 17某物流仓储公司用如图 A，B 两种型号的机器人搬运物品，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 20kg，A型机器人搬运 1000kg 所用时间与 B 型机器人搬运 800kg 所用时间相等，设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品，
6、列出关于 x 的方程为_ 三、解答题（共 7 小题，满分 69 分）18（10 分）如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，以 AD 为斜边作 ADC，使C=90，CAD=DAB 求证：DC 是O 的切线；若 AB=9，AD=6，求 DC 的长 19（5 分）如图，在 ABC 中，C=90，BC4，AC1点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作 PMAB 交边 AC 或BC 于点 M又过点 P 作 AC 的平行线，与过点 M 的 PM 的垂线交于点 N设边 APx，PMN 与 ABC 重合部分图形的周长为 y（1）AB （2）当点 N 在边 BC 上时，x （1）求 y 与 x 之间的函
7、数关系式（4）在点 N 位于 BC 上方的条件下，直接写出过点 N 与 ABC 一个顶点的直线平分 ABC 面积时 x 的值 20（8 分）如图，在东西方向的海岸线 MN 上有 A，B 两港口，海上有一座小岛 P，渔民每天都乘轮船从 A，B 两港口沿 AP，BP 的路线去小岛捕鱼作业已知小岛 P 在 A 港的北偏东 60方向，在 B 港的北偏西 45方向，小岛 P 距海岸线 MN 的距离为 30 海里 求 AP，BP 的长（参考数据：21.4，31.7，52.2）；甲、乙两船分别从 A，B 两港口同时出发去小岛 P 捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛 24 分钟已知甲船速度是乙船速度的 1.2倍，利
8、用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？21（10 分）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个直角三角板测量学校旗杆 MN 的高度，如示意图，ABC 和 ABC是他们自制的直角三角板，且 ABCABC，小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖将 ABC 的直角边 AC 平行于地面，眼睛通过斜边 AB 观察，一边观察一边走动，使得 A、B、M 共线，此时，小华测量小颖距离旗杆的距离 DN=19 米，小明将 ABC的直角边 BC平行于地面，眼睛通过斜边 BA观察，一边观察一边走动，使得 B、A、M 共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离 EN=5 米，经测量，小颖和小明的眼睛
9、与地面的距离 AD=1 米，BE=1.5 米，（他们的眼睛与直角三角板顶点 A，B的距离均忽略不计），且 AD、MN、BE 均与地面垂直，请你根据测量的数据，计算旗杆 MN 的高度.22（10 分）如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且ADCDCDBD 求证：ACDCBD；求ACB 的大小 23（12 分）如图，AEFD，AE=FD，B、C 在直线 EF 上，且 BE=CF，（1）求证：ABEDCF；（2）试证明：以 A、B、D、C 为顶点的四边形是平行四边形 24（14 分）如图，已知二次函数24yx49的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，C的半径为5，P 为C
10、上一动点 1点 B，C 的坐标分别为B(_)，C(_)；2是否存在点 P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；3连接 PB，若 E 为 PB 的中点，连接 OE，则 OE 的最大值_ 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）1、A【答案解析】根据相反数的定义即可判断.【题目详解】实数6 的相反数是-6 故选 A.【答案点睛】此题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟知相反数的定义即可求解.2、D【答案解析】由题意知：ABCDEC，ACB=DCE=30，AC=DC，DAC=（180DCA
11、）2=（18030）2=75 故选 D【答案点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等 3、D【答案解析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案【题目详解】解：A、a3a=2a，故此选项错误；B、（ab2）0=1，故此选项错误；C、82 2,故此选项错误；D、327=9，正确 故选 D【答案点睛】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键 4、D【答案解析】测试卷分析：方法一：ABO和
12、ABO关于原点位似，ABOABO且OAOA13.AEAD0E0D13.AE13AD2，OE13OD1.A（1,2）.同理可得 A（1,2）.方法二：点 A（3，6）且相似比为13，点 A 的对应点 A的坐标是（313，613），A（1,2）.点 A和点 A（1,2）关于原点 O 对称，A（1,2）.故答案选 D.考点：位似变换.5、C【答案解析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【题目详解】3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是 1206=20 元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，则面积扩大为原来的 9 倍，扩大后长
13、方形广告牌的面积=96=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是 5420=1080 元，故选 C【答案点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 6、A【答案解析】解：乙出发时甲行了 2 秒，相距 8m，甲的速度为 8/24m/s 100 秒时乙开始休息乙的速度是 500/1005m/s a 秒后甲乙相遇，a8/(54)8 秒因此正确 100 秒时乙到达终点，甲走了 4(1002)408 m，b50040892 m 因此正确 甲走到终点一共需耗时 500/4125 s，c12521 s 因此正确 终上所述，结论皆正确故选 A 7、B【答案解析】连接 D
14、F，在RtDCF中，利用勾股定理求出 CF 的长度，则 EF 的长度可求【题目详解】连接 DF，四边形 ABCD 是矩形 12,13ABCDBEADBCDF 在RtDCF中，90C 222213125CFDFCD 13 121ECBCBE 5 14EFCFEC 故选：B【答案点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键 8、A【答案解析】先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的增减性即可判断【题目详解】解：二次函数2 45yxx 的对称轴为直线422(1)x ，抛物线开口向下，当2x 时，y 随 x 增大而增大，301，123 yyy 故答案为：A【答案点睛】本题考查了根据自变量的
15、大小，比较函数值的大小，解题的关键是熟悉二次函数的增减性 9、B【答案解析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【题目详解】由题意，函数的图象为：抛物线的对称轴 x=12，设抛物线与 x 轴交于点 A、B，AB1，x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，观察图象可知，x=m-1 在点 A 的左侧，x=m-1 时，y0，故选 B【答案点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想 10、B【答案解析】由矩形的性质可得 ABCD，AB=CD，AD=BC，ADBC，即可求点 D 坐标【题目详解】解：四边形 ABCD 是矩形 ABCD，AB=C
16、D，AD=BC，ADBC，A（1，4）、B（1，1）、C（5，1），ABCDy 轴，ADBCx 轴 点 D 坐标为（5，4）故选 B【答案点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，关键是熟练掌握这些性质.二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分）11、如10，等，答案不唯一【答案解析】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416，故而9 和 16 都是完全平方数，10,11,12,15都是无理数.12、3+【答案解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计
17、算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【题目详解】原式=2+2+1，=2+2+1，=3+【答案点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算 13、6y2-5y+2=0【答案解析】根据 y21xx，将方程变形即可【题目详解】根据题意得：3y152y，得到 6y25y20 故答案为 6y25y20【答案点睛】此题考查了换元法解分式方程，利用了整体的思想，将方程进行适当的变形是解本题的关键 14、13-1【答案解析】设两个正方形的边长是 x、y（xy），得出方程 x21，y29，求出 x3
18、，y1，代入阴影部分的面积是（yx）x求出即可【题目详解】设两个正方形的边长是 x、y（xy），则 x21，y29，x3，y1，则阴影部分的面积是（yx）x（1333 3）1 故答案为 13 1【答案点睛】本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力 15、2【答案解析】测试卷分析：设此圆锥的底面半径为 r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2r=0208161，解得 r=2cm 考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系 16、3【答案解析】根据圆周角定理可求出AOB 的度数，设扇形半径为 x，从而列出关于 x 的方程，求出答案.【题目详解】由题意可知：AOB2ACB24
19、080，设扇形半径为 x，故阴影部分的面积为 x28036029x22，故解得：x13，x23（不合题意，舍去），故答案为 3.【答案点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于 x 的方程，从而得到答案.17、100080020 xx 【答案解析】设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品，则 A 型机器人每小时搬运（x+20）kg 物品，根据“A 型机器人搬运 1000kg 所用时间与 B 型机器人搬运 800kg 所用时间相等”可列方程【题目详解】设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品，则 A 型机器人每小时搬运（x+20）kg 物品，根据题意可
20、得100080020 xx，故答案为100080020 xx【答案点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于 x 的分式方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键 三、解答题（共 7 小题，满分 69 分）18、（1）见解析；（2）2 5【答案解析】分析：（1）如下图，连接 OD，由 OA=OD 可得DAO=ADO，结合CAD=DAB，可得CAD=ADO，从而可得ODAC，由此可得C+CDO=180，结合C=90可得CDO=90即可证得 CD 是O 的切线；（2）如下图，连接 BD，由 AB 是O 的直径可得ADB=90=C，结合
21、CAD=DAB 可得 ACDADB，由此可得ADABCDBD，在 Rt ABD 中由 AD=6，AB=9 易得 BD=3 5，由此即可解得 CD 的长了.详解：（1）如下图，连接 OD OA=OD，DAB=ODA，CAD=DAB，ODA=CAD ACOD C+ODC=180 C=90 ODC=90 ODCD，CD 是O 的切线（2）如下图，连接 BD，AB 是O 的直径，ADB=90，AB=9，AD=6，BD=2296=45=35，CAD=BAD，C=ADB=90，ACDADB，ADABCDBD，693 5CD，CD=18 5=2 59 点睛：这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定
22、和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.19、（1）2；（2）4534；（1）详见解析；（4）满足条件的 x 的值为45455943或【答案解析】（1）根据勾股定理可以直接求出（2）先证明四边形 PAMN 是平行四边形，再根据三角函数值求解（1）分情况根据 t的大小求出不同的函数关系式（4）不同条件下：当点 G 是 AC 中点时和当点 D 是 AB 中点时，根据相似三角形的性质求解.【题目详解】解：（1）在Rt ABC中，2222ABACBC345,故答案为 2（2）如图 1 中，PAMNPNAM，四边形 PAMN
23、 是平行四边形，5,cos3PAMNPAx AMPNxA 当点N在BC上时，PN3sinPB5A，53355xx 4534x（1）当45034t时，如图 1，45|PMx,AMx33 45|433yPNMNPMxxxx 当459345t 时，如图 2，45444xENENEN4xEN,3335334x(5x)x3351544yx445yxENNFEFENPNPE y 当955t时，如图 1，3412PMPMPMPM,5553PM(5x)49yx95yPMPEEM（4）如图4 中，当点G是AC中点时，满足条件 /5533524559PNAGPNBPAGBAxxx.如图 2 中，当点D是AB中点时
24、，满足条件 /5333454352MNADMNCMADCAxxx.综上所述，满足条件的 x 的值为4559或4543【答案点睛】此题重点考查学生对一次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定，相似三角形的性质和三角函数值的综合应用能力，熟练掌握勾股定理和三角函数值的解法是解题的关键.20、（1）AP60 海里，BP42(海里)；（2）甲船的速度是 24 海里/时，乙船的速度是 20 海里/时【答案解析】（1）过点 P 作 PEAB 于点 E，则有 PE=30 海里，由题意，可知PAB=30，PBA=45，从而可得 AP60 海里，在 Rt PEB 中，利用勾股定理即可求得 BP 的长；(2)设乙
25、船的速度是 x 海里/时，则甲船的速度是 1.2x 海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛 24 分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.【题目详解】(1)如图，过点 P 作 PEMN，垂足为 E，由题意，得PAB906030，PBA904545，PE30 海里，AP60 海里，PEMN，PBA45，PBEBPE 45，PEEB30 海里，在 Rt PEB 中，BP22PEEB30242 海里，故 AP60 海里，BP42(海里)；(2)设乙船的速度是 x 海里/时，则甲船的速度是 1.2x 海里/时，根据题意，得6042241.260 xx，解得 x20，经检验，x20 是原方程的解，甲船的速度为
26、 1.2x1.22024(海里/时).，答：甲船的速度是 24 海里/时，乙船的速度是 20 海里/时.【答案点睛】本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.21、11 米【答案解析】过点 C 作 CEMN 于 E，过点 C作 CFMN 于 F，则 EFBEAD1.510.5（m），AEDN19，BFEN5，根据相似三角形的性质即可得到结论【题目详解】解：过点 C 作 CEMN 于 E，过点 C作 CFMN 于 F，则 EFBEAD1.510.5（m），AEDN19，BFEN5，ABCABC，MAEB
27、MF，AEMBFM90，AMFMBF，MF ，答：旗杆 MN 的高度约为 11 米【答案点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的作出辅助线是解题的关键 22、（1）证明见测试卷解析；（2）90【答案解析】测试卷分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明 ACDCBD；（2）由（1）知 ACDCBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A=BCD，然后由A+ACD=90，可得：BCD+ACD=90，即ACB=90 测试卷解析：（1）CD 是边 AB 上的高，ADC=CDB=90，ADCDCDBD ACDCBD；（2）ACDCBD，A=BCD，在 ACD 中，ADC=90，A
28、+ACD=90，BCD+ACD=90，即ACB=90 考点：相似三角形的判定与性质 23、（1）证明见解析；（2）证明见解析【答案解析】（1）根据平行线性质求出B=C，等量相减求出 BE=CF，根据 SAS 推出两三角形全等即可；（2）借助（1）中结论 ABEDCF，可证出 AE 平行且等于 DF，即可证出结论.证明：（1）如图，ABCD，B=C BF=CE BE=CF 在 ABE 与 DCF 中，ABEDCF（SAS）；（2）如图，连接 AF、DE 由（1）知，ABEDCF，AE=DF，AEB=DFC，AEF=DFE，AEDF，以 A、F、D、E 为顶点的四边形是平行四边形 24、（1）B（
29、1，0），C（0，4）；（2）点 P 的坐标为：（1，2）或（115，225）或（4 55，3 554）或（4 55，3 554）；（1）552【答案解析】测试卷分析：（1）在抛物线解析式中令 y=0 可求得 B 点坐标，令 x=0 可求得 C 点坐标；（2）当 PB 与相切时，PBC 为直角三角形，如图 1，连接 BC，根据勾股定理得到 BC=5，BP2的值，过 P2作P2Ex 轴于 E，P2Fy 轴于 F，根据相似三角形的性质得到2222P FCPP EBP=2，设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到 BE=1x，CF=2x4，于是得到 FP2，EP2的值，求得 P2的坐标，过 P
30、1作 P1Gx 轴于 G，P1Hy 轴于 H，同理求得 P1（1，2），当 BCPC 时，PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（1）如图 1 中，连接 AP，由 OB=OA，BE=EP，推出 OE=12AP，可知当 AP 最大时，OE 的值最大 测试卷解析：（1）在2449yx中，令 y=0，则 x=1，令 x=0，则 y=4，B（1，0），C（0，4）；故答案为 1，0；0，4；（2）存在点 P，使得 PBC 为直角三角形，分两种情况：当 PB 与相切时，PBC 为直角三角形，如图（2）a，连接 BC，OB=1 OC=4，BC=5，CP2BP2，CP2=5，BP2=
31、2 5，过 P2作 P2Ex 轴于 E，P2Fy 轴于 F，则 CP2FBP2E，四边形 OCP2B 是矩形，2222P FCPP EBP=2，设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x，BE=1x，CF=2x4，324BExCFx=2，x=115，2x=225，FP2=115，EP2=225，P2（115，225），过 P1作 P1Gx 轴于 G，P1Hy 轴于 H，同理求得 P1（1，2）；当 BCPC 时，PBC 为直角三角形，过 P4作 P4Hy 轴于 H，则 BOCCHP4，44P HPCCHOBOCBC=55，CH=3 55，P4H=4 55，P4（4 55，3 554）；同理 P1（4 55，3 554）；综上所述：点 P 的坐标为：（1，2）或（115，225）或（4 55，3 554）或（4 55，3 554）；（1）如图（1），连接 AP，OB=OA，BE=EP，OE=12AP，当 AP 最大时，OE 的值最大，当 P 在 AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值=55，OE 的最大值为552故答案为552