《2022-2023学年九年级数学中考复习《三角形综合解答题》专题训练(附答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年九年级数学中考复习《三角形综合解答题》专题训练(附答案).pdf（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023 学年九年级数学中考复习三角形综合解答题专题训练（附答案）1如图，已知在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC15点 P 从 B 点出发沿射线BC 以每秒 1 个单位的速度向右运动，设点 P 的运动时间为 t，连接 AP（1）当 t9 秒时，求 AP 的长度；（2）当ABP 为等腰三角形时，求 t 的值；（3）请直接写出在点 P 的运动过程中，当 t 的值是多少时，PA 平分BAC？2如图，ABC 中，ACBC，ACBC，D 是 AC 边上一动点，作 BEBD，且 BEBD，连 AE 交 BC 于 F（1）求证：AFEF；（2）探究 AD 与 CF 的数量关系，并证明你的
2、结论：（3）若 AD2CD，直接写出的值为 3在ABC 中，BAC90，点 D 是 BC 上一点，将ABD 沿 AD 翻折后得到AED，AE 交 BC 于点 F（1）如图 1，当 AEBC 时，证明：DEAC；（2）已知B40，设BADx 如图 2，当 DEBC 时，求 x 的值；如图 3，当DEF 是等腰三角形时，求出 x 的值 4如图 1，在ABC 中，BOAC 于点 O，AOBO3，OC1，过点 A 作 AEBC 于点E，交 BO 于点 F（1）求线段 OF 的长度；（2）连接 OE，求证：OEF45；（3）如图 2，若点 P 为 AB 的中点，点 M 为线段 BO 延长线上一动点，连接
3、 PM，过点 P作 PNPM 交线段 OA 延长线于 N 点，则 SBPMSAPN的值是否发生改变，若改变，请求出 SBPMSAPN的变化范围；若不改变，请求出 SBPMSAPN的值 5如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，ACBC6，D 在线段 BC 上，E 是线段 AD 上的一点 现以 CE 为直角边，C 为直角顶点，在 CE 的下方作等腰直角ECF，连接 BF（1）如图 1，求证：AECBFC（2）当 A、E、F 三点共线时，如图 2，若 AF8，求 BF 的长（3）如图 3，若BAD15，连接 DF，当 E 运动到使得ACE30时，求CDF的面积 6如图，在等腰ABC 中，ABA
4、C，A90，CD 是ABC 的高，BE 是ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P当A 的大小变化时，EPC 的形状也随之改变（1）当A36时，求BPD 的度数；（2）设A，EPC，求变量 与 的关系式；（3）当EPC 是等腰三角形时，求ACB 的度数 7如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC，D，E 分别为 AB，BC 边上一点，连接 DE，且 BDDE，将ABC 绕点 B 在平面内旋转（1）观察猜想 若 60，将ABC 绕点 B 旋转到如图 2 所示的位置，则的值为 （2）类比探究 若 90，将ABC 绕点 B 旋转到如图 3 所示的位置，求的值（3）拓展应用 若 90，D 为 A
5、B 的中点，AB6，当 ADBE 中，请求出 CE 的值 8（1）如图 1，MNPQ 于 N，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，等腰直角ABC的顶点 C、B 分别在射线 NM，射线 NQ 上滑动（顶点 C，B 与点 N 不重合）在滑动过程中，点 A 到直线 MN 的距离 AH CN（填“”、“”或“”）（2）如图 2，在（1）的条件下，等腰直角ECF 中，ECF90，且ECF 的顶点 C、F 也分别在射线 NM、射线 NP 上滑动（顶点 C、F 与点 N 不重合），连接 AE 交 NM 于点O，试探究 AO 与 EO 的数量关系：，并证明你的结论（3）如图 2，若 BC2cm，CF3cm，
6、在ECF 和ABC 保持原来滑动状态的过程中，则ACE 的面积的最大值为 9如图，已知ABC 中，B90，AB8cm，BC6cm，P、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒（1）出发 2 秒后，求PCQ 的面积；（2）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ 成为直角三角形的运动时间（3）当 P、Q 两点其中有一点落在ABC 某内角的角平分线上时，请直接写出满足条件的 t 的值 10如图 1，已知ABC 和DCE 为等腰直角三角形
7、，按如图的位置摆放，直角顶点 C 重合（1）直接写出 AD 与 BE 的关系；（2）将DCE 按如图 2 的位置摆放，使点 A、D、E 在同一直线上，求证：AE2+AD22AC2；（3）将DCE 按如图 3 的位置摆放，使CBD45，AC6，BD3，求 BE 的长 11如图，在ABC 中，ACBC，ACB120，将一块足够大的直角三角尺 PEF（E90，EPF30）按如图放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动（不与点 A，B 重合），三角尺的直角边 PE 始终经过点 C，斜边 PF 交 AC 于点 D （1）当 PDBC 时，判断BCP 的形状，并说明理由；（2）当PCD 是等腰三角形时，求出所
8、有满足要求的 BP 的长；（3）记点 C 关于 PD 的对称点为 C，当 CDAC 时，AP 的长是 12【阅读理解】如图 1，在ABC 中，若 AB10，AC6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E，使 DEAD，再连接 BE（或将ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180得到EBD），把 AB，AC，2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系直接写出中线 AD 的取值范围是 ；【问题解决】如图 2，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF 于点 D，DE 交 AB于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，求证：BE+CFEF；【
9、问题拓展】如图 3，在ABC 中，BAC90，D 为 BC 边的中点，求证：AD 13已知：在 RtABC 中，B90，ACB30，点 D 为 BC 上一动点，以 AD 为边，在 AD 的右侧作等边ADE，过 E 作 EFAC 于 F（1）如图，求证：F 为 AC 的中点；（2）若 AB2，如图，当 D 为 BC 的中点时，过 E 作 EGBC 于 G，求 EG 的长；点 D 从 B 点运动到 C 点，则点 E 所经过路径长为 （直接写出结果）14如图，RtACB 中，ACB90，ACBC，E 点为射线 CB 上一动点，连接 AE，作AFAE 且 AFAE（1）如图 1，过 F 点作 FDAC
10、 交 AC 于 D 点，求证：ADFECA；如图 2，在的条件下，连接 BF 交 AC 于 G 点，若 E 点为 BC 中点，求证：3；（2）当直线 BF 与直线 AC 交于 G 点，若，请求出的值 15【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，ABC 中，若 AB6，AC4，求BC 边上的中线 AD 的取值范围小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 M，使 DMAD，连接 BM，可证ACDMBD，从而把 AB，AC，2AD 集中在ABC 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时
11、需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”【问题解决】（1）直接写出图 1 中 AD 的取值范围：（2）猜想图 2 中 AC 与 BM 的数量关系和位置关系，并加以证明（3）如图 3，AD 是ABC 的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，判断线段 EF 和 AD 的数量关系和位置关系，并加以证明 16在平面直角坐标系中，已知 A（0，a），B（b，0），且 a，b 满足 a2+b24a+4b+80 （1）求 A、B 两点的坐标；（2）如图，点 D 为 x 轴正半轴上一动点，点 F 为线段
12、 OD 上一动点，AFH45，ADO2OFH，判断 AH、FD、AD 三者的数量关系，并予以证明；（3）以 AO 为腰，A 为顶角顶点作等腰ADO，若DBA30，求 OD 的长 17已知：在等边ABC 中，点 E 是 AB 边所在直线上的一个动点（E 与 A、B 两点均不重合），点 D 在 CB 的延长线上，且 EDEC （1）如图，当 E 是 AB 边的中点时，则线段 AE 与 BD 的大小关系是：AE BD（填“”“”或“”）；（2）如图，当 E 是 AB 边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；（3）若点 E 是线段 AB 的延长线上任一点，EDEC，AE2，AC1，求
13、CD 的长（直接写出结果）18已知，点 A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点 B，C 分别是 y 轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接 AB，AC，BC（1）如图 1，若 OB1，OC，且 A，B，C 在同一条直线上，求 t 的值；（2）如图 2，当 t1，ACO+ACB180时，求 BC+OCOB 的值；（3）如图 3，点 H（m，n）是 AB 上一点，AOHA90，若 OBOC，求 m+n的值 19在 RtABC 中，ACBC，ACB90，点 O 为 AB 的中点（1）若EOF90，两边分别交 AC，BC 于 E，F 两点 如图 1，当点 E，F 分别在边 AC 和 BC 上时，求
14、证：OEOF；如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE6，则SEOF （2）如图 3，若EOF45，两边分别交边 AC 于 E，交 BC 的延长线于 F，连接 EF，若 CF3，EF5，试求 AE 的长 20综合与实践 问题情境：在 RtABC 中，BAC90，AB6，AC8直角三角板 EDF 中EDF90，将三角板的直角顶点 D 放在 RtABC 斜边 BC 的中点处，并将三角板绕点 D 旋转，三角板的两边 DE，DF 分别与边 AB，AC 交于点 M，N 猜想证明：（1）如图，在三角板旋转过程中，当点 M 为边 AB 的中点时，试判断四边形 AMDN的形状，并说明理
15、由；问题解决：（2）如图，在三角板旋转过程中，当BMDB 时，求线段 CN 的长；（3）如图，在三角板旋转过程中，当 AMAN 时，直接写出线段 AN 的长 参考答案 1解：（1）当 t9 时，BP9，BC15，CP6，在 RtAPC 中，AP10；（2）由题意可知 BPt，当 0t15 时，P 点在 BC 上时，CP15t，AP，当 BPAP 时，t，解得 t；当 t15 时，P 点在 BC 的延长线上，CPt15，AP，当 APAB 时，17，解得 t0（舍）或 t30；当 ABBP 时，t17；综上所述：t 是的值为或 30 或 17；（3）过点 P 作 PEAB 交于点 E，AP 平分
16、CAB，EAPCAP，PCAC，PEAB，PEPC，APCAPE（AAS），AEAC8，AB17，BE9，在 RtBPE 中，BP2BE2+PE2，t281+（15t）2，解得 t 2（1）证明ACBC，BEBD，CDBE90，CBD+BDCCBD+EBC90，BDCEBC，过点 E 作 EGBC 于点 G，如图：则BGEFGE90C，在BGE 与DCB 中，BGEDCB（AAS），EGBC，ACBC，ACEG，在ACF 与EGF 中，ACFEGF（AAS），AFEF；（2）解：AD2CF，证明如下：BGEDCB，ACFEGF，CDGB，CFGF，ACBC，ACCDBCGB，即 ADCG，CG
17、CF+GF2CF，AD2CF 故答案为：AD2CF；（3）解：由（1）（2）知：AD2CF，CDGB，CFGF，AD2CD，CDCFGFGB，故答案为：3（1）证明：BAC90，AEBC，CAF+BAF90，B+BAF90，CAFB，由翻折可知，BE，CAFE，ACDE；（2）解：将ABD 沿 AD 翻折后得到AED，BE40，BADEADx，DEBC，EFD50，EFDB+BAF，BAF504010，2x10，x5；若 DEEF，则DFE70，B+BAFBFE70，2x30，x15，若 DFDE，则DFE40，B+BAFBFE40，2x0，x0，不合题意舍去，若 DFEF，则DFE100，B
18、+BAFBFE100，2x60，x30，综上所述：x 的值为 15 或 30 4（1）解：BOAC，AEBC，AOFBOCAEC90，OAF+COBC+C90，OAFOBC，在OAF 和OBC 中，OAFOBC（ASA），OFOC，OC1，OF1；（2）证明：过 O 分别作 OMCB 于 M 点，作 ONAE 于 N 点，如图所示：在四边形 OMEN 中，MON36039090，COMFON90MOF，在COM 与FON 中，COMFON（AAS），OMON，OMCB，ONAE，EO 平分CEA，OEFAEC45；（3）解：SBPMSAPN的值不发生改变，等于，理由如下：连接 OP，如图所示：
19、AOB90，OAOB，P 为 AB 的中点，OPAB，BOPAOP45，OPPABP，OAP45，MOP90+45135，PAN135MOP，MPNP，即MPN90，MPONPA90MPA，在OPM 和APN 中，OPMAPN（ASA），SOPMSAPN，SBPMSAPNSBPMSOPMSBOPSAOBAOBO33 5（1）证明：如图 1，ACB，ECF 都是等腰直角三角形，CACB，CECF，ACBECF90，ACEBCF，在AEC 和BFC 中，AECBFC（SAS）；（2）解：如图 2，CACB6，ACB90，AB6，ACEBCF，CADDBF，ADCBDF，ACDDFB90，BF2（3
20、）如图 3，作 FHBC 于 H ACECAE30，AEEC，ACEBCF，BFAE，CFCE，CFBF，FCBCBF30，FCFB，FHBC，CHBH3，FH，CFBF2，CEDCAE+ACE60，ECD903060，ECD 是等边三角形，ECCFCD2，SCDFCDFH23 6解：（1）ABAC，A36，ABCACB（18036）272，CDAB，BDC90，BE 平分ABC，ABECBEABC36，BPD903654；（2）A，EPC，ABC（180）290，由（1）可得：ABPABC45，BDC90，EPCBPD90（45）45+，即 与 的关系式为 45+；（3）设A，EPC，若 E
21、PEC，则ECPEPC，而ABCACB90，ABC+BCD90，则有：90+（90）90，由（2）知 45+，90+90（45+）90，解得：36，ACB9072；若 PCPE，则PCEPEC（180）290，由得：ABC+BCD90，90+90（90）90，45+，90+90（90）90，解得：，ACB90；若 CPCE，则EPCPEC，PCE1802，由得：ABC+BCD90，90+90（1802）90，45+，90+901802（45+）90，解得：x0，不符合题意，综上：当EPC 是等腰三角形时，ACB 的度数为 72或 7解：（1）如图 2，ABBC，DBDE，BDEBAC60，AB
22、C，BDE 都是等边三角形，BDBE，BABC，ABCDBE60，ABDCBE，在ABD 与CBF 中，ABDCBD（SAS），ADCF，1，故答案为：1；（2）90，ABAC，DEAC，ABC 和BDE 均为等腰直角三角形，BDBE，ABBC，DBEABC45，DBAEBC，DBAEBC，；（3）D 是 AB 的中点，BDAB3，分两种情况：如图 4，当ABC 旋转到直线 BE 的下方时，ADBE，ODOBBD，在 RtAOB 中，OA，ADOA+OD+，由（2）知，CE3+3；图 5，当ABC 旋转到直线 BE 的上方时，ADOAOD，由（2）知，CE33；综上所述，CE 的值为 3+3
23、或 33 8解：（1）如图 1 中，MNPQ，AHMN，AHCCNBACB90，ACH+BCN90，BCN+CBN90，ACHCBN，在AHC 和CNB 中，AHCCNB（AAS），AHCN，故答案为：；（2）结论：OAOE 理由：如图 2 中，过点 E 作 EJMN 于点 J，过点 A 作 AKMN 于点 K 由（1）可知，AKCCNB，EJCCNF，AKCN，EJCN，EJAK，在EJO 和AKO 中，EJOAKO（AAS），OEOA；（3）如图 2 中，AKCCNB，EJCCNF，EJOAKO（AAS），SAKCSCNB，SEJCSCNF，SEJOSAKO，SACESACK+SEJCSB
24、CF，如图 3 中，过点 B 作 BHCF 于点 H BC2，CF3，SACESBCFCFBH，BHBC，SACE326，ACE 的面积的最大值为 6 故答案为：6 9解：（1）当 t2 时，AP2cm，BQ4cm，BP6cm，CQ2cm，SPCQ6（cm2），（2）当BQC90时，ABC90，由勾股定理得，AC10cm，BQ（cm），在 RtBCQ 中，由勾股定理得，CQ（cm），t（BC+AQ）24.8，当CBQ90时，点 Q 与 A 重合，t（BC+AC）28，综上所述：t4.8 或 8；（3）当点 P 落在ACB 平分线上时，作 PHAC 于 H，则 BPPH（8t）cm，解得 t5，
25、当点 Q 落在CAB 的平分线上时，作 QEAC 于 E，则 QBQE2tcm，解得 t，当点 Q 落在ABC 的平分线上时，作 QFBC 于 F，QGAB 于 G，则 QFQG，四边形 BFQG 是正方形，QF，CF6，CQ，t（6+）2，综上：t5，时，P、Q 两点其中有一点落在ABC 某内角的角平分线上 10（1）解：结论：ADBE 理由：如图 1 中，ACB 和DCE 为等腰直角三角形，ACBC，DCCE，ACBDCE，ACDECB，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS），ADBE（2）证明：如图 2 中，设 AE 交 BC 于 O 由（1）可知ACDBCE，CAOEBO，AD
26、BE，AOCBOE，BEOACO90，AE2+BE2AB2，CACB，ACB90，ABAC，2AC2AE2+AD2；（3）解：如图中，连接 AD，CACB6，ACB90，ABC45，AB6，CBD45，ABD90，BD3，AB6，AD9，ACBDCE90，ACDBCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE，ADBE BE9 11解：（1）结论：ACP 是直角三角形，理由：当 PDBC 时，BCPEPF30，又ACB120，ACP1203090，ACP 是直角三角形；（2）如图，过点 C 作 CHAB 于点 H CACB，CHAB，AHHB，A30，CHAC，AH，AB2AH3，设PCB则PCD
27、120，当 PCPD 时，PCD 是等腰三角形，PCDPDC75 1207545，此时 APAC，PB3 当 PDCD 时，PCD 是等腰三角形，PCDCPD30，即 12030，90，此时 BP2CP2PA，PBAB2；当 PCCD 时，PCD 是等腰三角形，CDPCPD30，PCD180230120，即 120120，0，此时点 P 与点 B 重合（不符合题意）综合所述，PB 的值为或 2；1（3）如图，过点 C 作 CHAB 于点 H DCAC，CDFFDC45，CDFCPD+PCD，CPD30，PCD15，CPHA+ACP45，CHP90，PCHCPH45，CHPH，BAH，AP 故答
28、案为：12【阅读理解】解：如图 1 所示：延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，AD 是 BC 边上的中线，BDCD，在BDE 和CDA 中，BDECDA（SAS），BEAC6，在ABE 中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE，106AE10+6，即 4AE16，2AD8；故答案为：2AD8；【问题解决】证明：如图 2 所示：延长 FD 至点 M，使 DMDF，连接 BM、EM，同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF，DMDF，EMEF，在BME 中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF【问题拓展】证明：如图 3 中，延长 AD 到 E，使得
29、DEAD，连接 CE，BE ADDE，DCDB，四边形 ABEC 是矩形，BAC90，四边形 ABEC 是矩形，AEBC，ADBC 13（1）证明：ADE 是等边三角形，AEAD，DAE60，B90，C30，BACDAE60，BADFAE，在BAD 和FAE 中，BADFAE（AAS）ABAF，在 RtABC 中，B90，ACB30，AC2AB，AC2AF，F 为 AC 的中点；（3）解：如图 3，作 EFAC 于 F，连接 EC，在 RtABC 中，B90，ACB30，AC2AB4，BC2，D 为 BC 的中点，BDBC，AD，AFFC，EFAC，ECAEAD，ECEAED，EGDC，CGC
30、D，EG；如图 4，当点 D 与点 B 重合时，点 E 在 E处，点 E是 AC 中点；当点 D 与点 C 重合时，点 E 在 E处，其中ACE是等边三角形，由（1）得：AECE，点 E 始终落在线段 AC 的垂直平分线上，EE垂直平分 AC，点 E 的运动路径是从 AC 的中点 E，沿着 AC 垂直平分线运动到 E处，在EAE和BAC 中，EAEBAC（AAS），EEBC2，故答案为：2 14（1）证明：如图 1，FAD+CAE90，FAD+F90，CAEAFD，在ADF 和ECA 中，ADFECA（AAS）；证明：如图 2，ADFECA，FDACBC，ADEC，ACBC，ECEB，ADDC
31、，在FDG 和BCG 中，FDGBCG（AAS），GDCG，3（2）解：过 F 作 FDAG 的延长线交于点 D，如图 3，BCAC，CECB+BE，由（1）（2）知：ADFECA，GDFGCB，CGGD，ADCE，同理，当点 E 在线段 BC 上时，综上所述，或 15解：（1）如图 2，延长 AD 到 M，使得 DMAD，连接 BM，AD 是ABC 的中线，BDCD，在MDB 和ADC 中，MDBADC（SAS），BMAC4，在ABM 中，ABBMAMAB+BM，64AM4+6，2AM10，1AD5，故答案为：1AD5；（2）ACBM，ACBM，理由如下：由（1）知，MDBADC，MCAD，
32、ACBM，ACBM；（3）EF2AD，理由：如图 3，延长 AD 到 M，使得 DMAD，连接 BM，由（1）知，BDMCDA（SAS），BMAC，ACAF，BMAF，由（2）知：ACBM，BAC+ABM180，BAEFAC90，BAC+EAF180，ABMEAF，在ABM 和EAF 中，ABMEAF（SAS），AMEF，ADDM，AM2AD，AMEF，EF2AD，即：EF2AD 16解：（1）a2+b24a+4b+80，（a2）2+（b+2）20，（a2）20，（b+2）20，a20，b+20，a2，b2，A（0，2），B（2，0）；（2）结论：AH+FDAD，理由如下：如图，过点 D 作
33、DC 平分ADO 交 AO 于 C，在 AD 上取 K 使 AHAK，连接 FK 设HFO，则ADO2OFH2，OAF180AODAFH45，CD 平分ADO，CDOADC，FAD45OAF，又AHAK，AFAF，AHFAKF（SAS），AFK45，KFD90，FKD90，FDDK，AH+FDAD；（3）如图 2 中：当 D1在ABO 内部，且 BD1OD1，ABD130时，过点 D1作 D1MOA 于 M，D1NOB 于 N则四边形 D1MON 是矩形，设 OMD1Nm在 BN 上取一点 J，连接 JD1使得 D1JBJ ABO45，ABD30，JBD1JD1B15，D1JNJBD1+JD1
34、B30，BJJD12m，JNm，D1BD1O，D1NOB，BNON2m+m1，m2，AM2（2），AD12，AD12MD1，D1AM30，AD1AO2，此时 OD1，当 D3在 BD1的延长线上时，连接 OD3，可得OAD360，AOAD3，AOD3都是等边三角形，OD3OA2 当 D2在 AB 上方时，同法可得 OD22，OD4+，综上所述，OD 的值为或 2 或+17解：（1）AEBD，理由如下：ABC 为等边三角形，点 E 为 AB 的中点，ABCACB60，CE 平分ACB，AEBE，ECBACB30，DECE，DECB30，ABCD+DEB，DEBABCD30，DDEB，BDBE，A
35、EBD，故答案为：；（2）当点 E 为 AB 上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：如图，过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，ABC 是等边三角形，ABCACBA60，ABACBC，AEFABC60，AFEACB60，即AEFAFEA60，AEF 是等边三角形，AEEFAF，ABCACBAFE60，DBEEFC120，D+BEDFCE+ECD60，DEEC，DECD，BEDECF，在DEB 和ECF 中，DEBECF（AAS），BDEF，AEBD；（3）如图，过 E 作 EFBC 交 CA 的延长线于 F，则AEF 为等边三角形，ECDCEF，AFAEEF2，F60，ECED，DEC
36、D，CEFD，ABC 是等边三角形，BCAC1，ABC60，DBEABC60，FDBE，在CEF 和EDB 中，CEFEDB（AAS），BDEF2，CDBD+AC2+13 18解：（1）过点 A 作 ADx 轴于 D，如图 1 所示：点 A（t，1），AD1，ODt，OB1，ADOB，A，B，C 在同一条直线上，OCBDCA，又ADCBOC90，ADCBOC（AAS），DCOC，tODOC+CD+3；（2）作 ADy 轴于 D，AMx 轴于 M，ANBC 于 N，如图 2 所示：则ADBANB90，t1，点 A（1，1），ADAMOM1，ACO+ACB180，ACN+ACB180，ACOACN
37、，AMx 轴于 M，ANBC 于 N，ANAMAD1，在 RtABD 和 RtABN 中，RtABDRtABN（HL），BNBDOB+1，同理：RtACMRtACN（HL），CMCN，BCBNCN，OCOM+CM1+CM，BC+OCOBBNCN+1+CMOBOB+1CN+1+CMOB2；（3）作 OQCA 交 CA 的延长线于 Q，作 EHy 轴于 E，AFx 轴交 EH 的延长线于 F，如图 3 所示：则四边形 AQOH 是矩形，QOH90BOC，COQBOH，又BHOCQO90，OBOC，OHBOQC（AAS），OHOQ，四边形 AQOH 是正方形，OHAH，EOH+EHOFHA+EHO9
38、0，EOHFHA，又OEHHFA90，OEHHFA（AAS），EHFA，m1n，m+n1 19（1）证明：如图 1，连接 OC，ACBC，ACB90，点 O 为 AB 的中点，AOCOBO，AOCEOF90，ABCO45，AOECOF，AOECOF（ASA），OEOF；解：如图 2，连接 OC，ACBC，ACB90，点 O 为 AB 的中点，AOCOBO，BOCEOF90，ABCACO45，COEBOF，OCEOBF135，COEBOF（ASA），OEOF6，SEOFOEOF18，故答案为：18；（2）解：如图 3，连接 CO，过点 O 作 HOFO，交 CA 的延长线于点 H，ACBC，AC
39、B90，点 O 为 AB 的中点，AOCOBO，AOCFOH90，BACBCO45，COFAOH，OCFOAH135，COFAOH（ASA），CFAH3，OFOH，EOF45，FOH90，EOFEOH45，又OFOH，EOEO，EOFEOH（SAS），EFEH5，AEEHAH2 20解：（1）四边形 AMDN 是矩形，理由如下：点 D 是 BC 的中点，点 M 是 AB 的中点，MDAC，A+AMD180，BAC90，AMD90，AAMDMDN90，四边形 AMDN 是矩形；（2）如图 2，过点 N 作 NGCD 于 G，AB6，AC8，BAC90，BC10，点 D 是 BC 的中点，BDCD
40、5，MDN90A，B+C90，BDM+190，1C，DNCN，又NGCD，DGCG，cosC，CN；（3）如图，连接 MN，AD，过点 N 作 HNAD 于 H，AMAN，MAN90，AMNANM45，BACEDF90，点 A，点 M，点 D，点 N 四点共圆，ADNAMN45，NHAD，ADNDNH45，DHHN，BDCD5，BAC90，ADCD5，CDAC，tanCtanDAC，AHHN，AH+HDAD5，DHHN，AH，AN 解法二：如图，延长 MD 到 T，使得 MDDT，连接 NT，CT 设 AMANa证明 CTBM6a，NMNTa，NCT90，由 NT2CN2+CT2，可得（a）2（8a）2+（6a）2，解得 a 解法三：也可以通过 D 向 AC 和 AB 分别作垂线 DQ 和 DP，通过DPMDQN 相似来算