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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数综合压轴题培优提升专题训练（附答案）1如图 1，二次函数 yax2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（1，0），B（3，0），交 y 轴于点C（0，3），直线 l 经过点 B（1）求二次函数的表达式和顶点 D 的坐标；（2）如图 2，当直线 l 过点 D 时，求BCD 的面积；（3）如图 3，直线 l 与抛物线有另一个交点 E，且点 E 使得BACCBE45，求点 E 的横坐标 m 的取值范围；（4）如图 4，动点 F 在直线 l 上，作CFG45，FG 与线段 AB 交于点 G，连接 CG，当ABC 与CFG 相似，且 SCFG最小时，在直
2、线 l 上是否存在一点 H，使得FHG45存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 2已知在平面直角坐标系中，抛物线 ya（x+1）（x5）分别与 x 轴交于 A，B 两点，且A 点在 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点（1）AB ；（2）当 a0 时，设抛物线上一点 D（m，n）；已知2m3 时，18n14，求 C 的坐标；若ADB90，直接写出 a 的取值范围（3）作直线 yt（t 是常数，且1t2）交抛物线 ya（x+1）（x5）于 P、Q 两点，若线段 PQ 的长不小于 3，请求出 a 的取值范围 3如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线与 x 轴交于点 A（1，0）和
3、点 B（3，0）抛物线与 y 轴交于 C 点，P 为该抛物线上一动点（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿 y 轴向下平移 3 个单位，点 P 的对应点为 P，若 OPOP，求 P 的坐标；（3）yx3 与抛物线交点为 Q，连结 AC，AQ，PQ，当 P 在 x 轴下方，且CABAQP 时，求直线 PQ 解析式 4已知抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，且经过点 C（0，2），顶点坐标为（，）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记BDE 的面积为 S1，ABE 的面积为 S2，当最大时，求 D 点坐标；（
4、3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点试探究：在 y 轴右侧是否存在这样的点 P，Q，使以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5已知抛物线 ymx2（14m）x+c 过点（1，a），（1，a），（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于 A，B 两点（点 A 在点 B 右侧），该抛物线的顶点为 C，连接 AC，BC，点 D 在点 A，C 之间的抛物线上运动（不与点 A，C 重合）当点 A 的横坐标是 4 时，若ABC 的面积与A
5、BD 的面积相等，求点 D 的坐标；若直线 OD 与抛物线的另一交点为 E，点 F 在射线 ED 上，且点 F 的纵坐标为2，求证：6在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A，点 B，（点 A 在点 B 的左侧），点 D 是抛物线上一点（1）若 c，D（2，）时，用含 a 的式子表示 b；（2）若 a，c2，D（5，3），ABD 的外接圆为E，求点 E 的坐标和弧 AB 的长；（3）在（1）的条件下，若 AB2有最小值，求此时的抛物线解析式 7二次函数图象 ymx2+2mx+3 与 y 轴交于点 C，（1）如图，若二次函数图象与 x 轴交于点 A，B（1，0），求二次
6、函数的表达式；点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接 BP、AC，交于点 Q，令 l，请判断：l 是否有最大值？如有，请求出有最大值时点 P 的坐标；如没有，请说明理由（2）若二次函数的顶点为 M，连接 MC，令 MC 与 y 轴的夹角为，当 3045时，直接写出 m 的取值范围为 8如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0），B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 与抛物线交于 A，D 两点，与 y 轴交于点 E，且点 D 为（4，3）（1）求抛物线及直线 l 的函数关系式；（2）点 F 为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使AFG 为等腰三角形，若
7、存在，求出点 G 的坐标；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且ADQ45，请直接写出点 Q 的坐标 9函数 y，其中 a 是常数且 a0，该函数的图象记为 G（1）图象 G 经过 3 个定点，分别为 ，；（2）图象 G 与直线 ya 有 2 个交点时，结合函数图象，求 a 的值；（3）图象 G 与直线 x2 和直线 x2 分别相交于点 P，Q，当POQ135时，直接写出 a 的值 10如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0），C（0，5）两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求抛物线解析式；（2）若点 M 为直线 BC 下方抛物线上一动点，MNx 轴交 BC
8、于点 N 当线段 MN 的长度最大时，求此时点 M 的坐标及线段 MN 的长度；如图 2，连接 BM，当BMN 是等腰三角形时，求此时点 M 的坐标 11如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0），C（2，3）两点，与 y轴交于点 N（1）求抛物线的函数关系式；（2）求直线 AC 的函数关系式；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点求APC 面积的最大值 12如图，已知二次函数 y1x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0），与 y 轴的交点为 B，过 A，B 的直线为 y2kx+b（1）求二次函数 y1的解析式及点 B 的坐标；（2）在两坐
9、标轴上是否存在点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，说明理由 13如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（0，3），与 x 轴的交点为B、C，直线 l：y2x+2 与抛物线相交于点 C，与 y 轴相交于点 D，P 是直线 l 下方抛物线上一动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点 P 作线段 PMx 轴，与直线 l 相交于点 M，当 PM 最大时，求点 P 的坐标及PM 的最大值；（3）把抛物线绕点 O 旋转 180，再向上平移使得新抛物线过（2）中的 P 点，E 是新抛物线与 y 轴的交点，F 为原抛物线对称轴上一点
10、，G 为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以 B、E、F、G 为顶点、BF 为边的四边形是菱形的点 G 的坐标，并把求其中一个点 G 的坐标的过程写出来 14如图 1，二次函数 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）、点 B（点 A 在点 B左侧），与 y 轴交于点 C（0，3），tanCBO（1）求二次函数解析式；（2）如图 2，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一点，PDy 轴交 BC 于 D，PEBC 交 x轴于点 E，求 PD+BE 的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当 PD+BE 取最大值时，连接 PC，将PCD 绕原点 O 顺时针旋转 90
11、至PCD；将原抛物线沿射线 CA 方向平移个单位长度得到新抛物线，点M 在新抛物线的对称轴上，点 N 为平面内任意一点，当以点 M，N，C，D为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 N 的坐标 15如图，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（1）求此抛物线的解析式（2）请在对称轴上找一点 M，使 AM+CM 最小，求出点 M 的坐标（3）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（不与点 B，C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m连接 PB，PC，求PBC 的面积最大时点P 的坐标
12、16如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B的左边），与 y 轴交于点 C点 P，Q 为抛物线上两动点（1）若点 P 坐标为（1，3），求抛物线的表达式；（2）如图，连结 BC，在（1）的条件下，是否存在点 Q，使得BCQABC若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 P 为抛物线顶点，连结 OP，当 a 的值从3 变化到1 的过程中，求线段 OP扫过的面积 17如图，点 A 在抛物线上，过 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B，点 C 为抛物线上的任一点（1）若点 A 的横坐标为4，且ABC 为直角三角形时，求 C 点的坐标；（2）当 A
13、 点变化时，是否总存在 C 点，使得ABC 是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点 A 纵坐标 m 的取值范围；（3）若ABC 为直角三角形，AB 边上的高为 h，h 的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；若将抛物线的关系式由换成 yax2（a0），其余条件不发生改变，试猜想 h与 a 的关系，并证明 18在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+（1m）xm（m0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C（1）求线段 AB 的长（用含 m 的代数式表示）；（2）当 2m4 时，抛物线过点（a，b）和（a
14、+5，b），求 a 的取值范围；（3）如图，在 y 轴上有一点 P（0，3），当APBABC 时，求 m 的值 19如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，点 D 为 OC 的中点（1）求二次函数的表达式；（2）若点 E 为直线 BC 上方抛物线上一点，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，EH 与 BC、BD 分别交于点 F、G 两点，设点 E 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 EF 的长度；若 EFFG，求此时点 E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使CPB90，若存在，请求出点 P 的坐标；
15、若不存在，请说明理由 20如图，在直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+8（a0）经过点 A（3，5），B（5，3），交 y 轴于点 C，以 AB 为直径的圆，经过点 O，C，交 x 轴于点 D，连结 AO，AC（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点 D 的坐标；（3）点 E 在 x 轴上，连结 BD，BE当BDE 与OAC 相似时，求满足条件的 OE 长 参考答案 1解：（1）二次函数 yax2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（1，0），B（3，0），设 ya（x+1）（x3），把 C（0，3）代入，得：3a（0+1）（03），解得：a1，y（x+1）（x3）x22x3（x1）24，二次
16、函数的表达式为 yx22x3，顶点 D 的坐标为（1，4）；（2）设直线 l 交 y 轴于点 M，如图 2，设直线 l 的解析式为 ykx+d，把 B（3，0），D（1，4）代入，得：，解得：，直线 l 的解析式为 y2x6，令 x0，得 y6，M（0，6），CM3，OM6，OC3，OB3，SBCDSABMSABCSCDM3633313；（3）B（3，0），C（0，3），BOC90，OBOC3，OBCBCO45，如图 3，连接 AC，在 y 轴上取点 N（0，9），连接 BN 交抛物线于点 E，过点 C 作CLx 轴交 BN 于点 L，在线段 OC 上截取 CKCL，连接 BK 交抛物线于点
17、E，AOCBON90，AOCBON，OACOBN，即BACOBN，BACCBNOBC45，设直线 BN 的解析式为 yex+f，把 B（3，0），N（0，9）代入，得：，解得：，直线 BN 的解析式为 y3x9，联立方程组，得：，解得：或，E（2，3）；CLx 轴，点 L 的纵坐标为3，3x93，解得：x2，L（2，3），CL2，CK2，K（0，1），设直线 BK 的解析式为 ymx+n，把 B（3，0），K（0，1）代入，得：，解得：，直线 BK 的解析式为 yx1，联立方程组，得：，解得：或，E（，）；CLx 轴，BCLOBC45BCK，在BCL 和BCK 中，BCLBCK（SAS），CB
18、KCBE，即CBKCBN，BACCBNOBC45，BACCBK45，BACCBE45，点 E 的横坐标 m 的取值范围为m2；（4）过 G 作 GR直线 l 于 R，过 H 作 HTx 轴于 T，过 F 作 FWx 轴于 W，如图 4，A（1，0），B（3，0），C（0，3），AC，AB4，BC3，ABC45，CFG45，ABC 与CFG 相似，ABCCFG，点 F 对应点 B，边 AC 对应边 CG，SCFG最小，且CFG 与ABC 相似，形状不变，边 CG 最小，即 CGx 轴，G 与 O 重合，CGCO3，分两种情况：当ABCGFC 时，FG，CF，设 F（m，n），而 G（0，0），C
19、（0，3），解得：，F（，），OW，FW，BWOWOB，RtBFW 中，tanFBW2，RtGRB 中，tanGBRtanFBW2，即 GR2BR，cosGBR，sinGBR，又 BG3，BR，GR，FHG45，GR直线 l 于 R，HRGR，BHHR+BR，RtBHT 中，tanGBR2，cosGBR，sinGBR，BTBH，HTBH，GTGBBT，H（，），当ABCCFG 时，CF，FG，设 F（s，r），方法同可得 F（，），BW，FW，tanFBW3，同方法可得 H（，），综上所述，点 H 的坐标为：（，）或（，）2解：（1）抛物线 ya（x+1）（x5）分别与 x 轴交于 A，B 两
20、点，A（1，0），B（5，0），AB6；故答案为：6（2）ya（x+1）（x5）ax24ax5aa（x2）29a，a0，抛物线的对称轴为直线 x2，当 x2 时，y 有最小值9a，当2m3 时，18n14，当 m2 时，n 有最小值18；当 m2 时，n 有最大值 14，即9a18，解得 a2，此时点（2，14）在抛物线 y2（x2）218 上，抛物线的解析式为 y2x28x10，C（0，10）设抛物线的顶点为 P，P（2，9a），以 AB 为直径作E，当ADB90，抛物线与E 相交于 D，此时 P 点在圆 E 上或圆E 外，9a3，解得 （3）PQ 的长不小于 3，点 P 和点 Q 到对称轴
21、 x2 的距离不小于，当 a0 时，解之得，当 a0 时，解之得，3解：（1）由题意，得 解得 则该抛物线解析式为：；（2）抛物线是向下平移了 3 个单位，PP3 OPOP，OAPP，如图，点 P 的纵坐标为，当 y时，x10，x22；P 的坐标为（0，）或（2，）；（3）令 x3，解得 x3 或 x3，Q（3，6）或（3，0）当 Q（3，0），CABAQP，即 ACPQ，如图，则 kACkPQtanCAB，PQ 直线解析式；当 Q（3，6），过 A 作 AMPQ 于 M，过 M 作 MNx 轴于 N，过 Q 作 QLMN于 L，MANQML，设 AN3m，ML2m，MN3n，QL2n，解得，
22、AN3m，MN3n，ONANOA，M（，），设 PQ 解析式 ykx+b，过 Q（3，6），M（，），解得，综上可得，PQ 的解析式为：或 4解：（1）设抛物线的解析式为 ya（x）2，将 C（0，2）代入得：4a2，解得 a，抛物线的解析式为 y（x）2，即 yx2x2；（2）过点 D 作 DGx 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AKx 轴交 BC 的延长线于点 K，AKDG，AKEDFE，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，直线 BC 的解析式为 yx2，A（1，0），y2，AK，设 D（m，m2m2），则 F（m，m2），DFm2（m2m2）m2+2m 当 m2 时
23、，有最大值，最大值是，此时 D（2，3）；（3）存在理由如下：lBC，直线 l 的解析式为 yx，设 P（n，n），P，Q 在 y 轴右侧，n0 当 AB 为边时，则 PQAB，PQAB5，若点 Q 在点 P 左侧时，点 Q（n5，n），n（n5）2（n5）2，n+7 或+7，点 P（+7，）或（+7，）若点 Q 在点 P 右侧时，点 Q（n+5，n），n（n+5）2（5+n）2，n3（舍去）或+3 点 P（+3，），当 AB 为对角线时，AB 与 PQ 互相平分，点 Q（3n，n）n（3n）2（3n）2，n+1 或+1（舍去），点 P（+1，），此时点 P 的坐标为（+1，）或（1，）综上所
24、述，点 P 的坐标为（+1，）或（+3，）或（+7，）或（+7，）5解：（1）抛物线 ymx2（14m）x+c 过点（1，a），（1，a），抛物线的对称轴为直线 x0，14m0，m，yx2+c，将点（0，1）代入 yx2+c，c1，yx21；（2）点 A 的横坐标是 4，A（4，3），设直线 AB 的解析式为 ykx，34k，k，yx，联立方程组，解得 x4 或 x1，B（1，），如图 1，过点 D 作 DMx 轴交直线 AB 于点 M，设 D（t，t21），则 M（t，t），DMtt2+1，SABCCO515，SABDMD5MD，ABC 的面积与ABD 的面积相等，MD，MD1，tt2+11
25、，t0 或 t3，点 D 在点 A，C 之间的抛物线上运动（不与点 A，C 重合），t3，D（3，）；设直线 ED 的解析式为 ykx，设 E（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组，x2kx10，x1+x24k，x1x24，y1+y24k2，y1y24k2，如图 2，过点 E 作 EGx 轴交于 G，过点 D 作 DHx 轴交于 H，过点 F 作 FPy 轴，交 EG 于点 P，交 DH 于点 Q，EGDH，点 F 的纵坐标为2，GPQH2，OEDFy1（2+y2）2y1+y1y22y14k2，ODEFy2（2+y1）2y2y1y22（4k2y1）+4k22y14k2，OEDFODEF，
26、6解：（1）c，yax2+bx+，D（2，）在抛物线上，4a+2b+，b2a1；（2）a，c2，yx2+bx2，D（5，3）在抛物线上，325+5b2，b，yx2x2，令 y0，则x2x20，x4 或 x1，A（1，0），B（4，0），ABD 的外接圆为E，E 点在 AB 的垂直平分线上，E 点横坐标为，设 E（，t），EDEA，（5）2+（3t）2（+1）2+t2，t，E（，），AEED，AB5，AE2+ED2AB2，AEB90，（2）；（3）b2a1，c，yax2+（2a1）x+，令 y0，则 ax2+（2a1）x+0，x1+x22+，x1x2，AB2（x1+x2）24x1x24+4（1）
27、2+3，当1 时，AB2有最小值 3，a1，yx23x+7解：（1）当 x1 时，y0，m+2m+30，m1，yx22x+3；l 有最大值，理由如下：当 x0 时，y3，当 y0 时，由x22x+30，x3 或 x1，A（3.0）、C（0.3），ACO 是等腰直角三角形，如图，PNAB，BMAB，设 P（n，n22n+3），PNn22n+3，HNAN3+n，PHn23n，BMAB4，PNBM，ln2n（n+）2+，0，当 n时，l 有最大值，此时 P（，）；（2）ymx2+2mx+3m（x+1）2+3m，M（1，3m），令 x0，则 y3，C（0，3），如图 2，当 M 点在 C 点下方时，过
28、点 M 过 MGy 轴交于 G，设CMG，MG1，CG3（3m）m，当 30时，m；当 45时，m1；此时 1m时，3045；如图 3，当 M 点在 C 点上方时，设MCG，CG3m3m，当 30时，m；当 45时，m1；此时m1 时，3045；综上所述：m1 或 1m时，3045，故答案为：m1 或 1m 8解：（1）设抛物线函数关系式为 ya（x+2）（x6），将点 D（4，3）代入得，a，yx2+x+3；设直线 l 的函数关系式为 ykx+b，解得，yx+1；（2）存在点 G，使AFG 为等腰三角形，理由如下：由题知，点 F（2，4），设 G（2，y），AG，当点 A 为顶点，AF 为腰
29、时，AFAG，4，y4，此时 G（2，4），当点 F 为顶点，AF 为腰时，FAFG，4|4y|，y44或 y4+4，此时，当点 G 为顶点，AF 为底时，GAGF，解得 y0，G（2，0），综上所述：；（3）如图 1，当 Q 点在 y 轴正半轴上时，过点 D 作 DFy 轴交于 F 点，取点 M（0，2），连接 AM，过点 E 作 EKAM 交于点 K，DFAO，FDAEAO，OMOA，MAO45，ADQ45，QDFMAE，ME1，KMKE，OMOA2，AM2，AK，tanKAE，tanQDF，QF，OQ+3，Q（0，）；如图 2，当 Q 点在 y 轴负半轴上时，过点 D 作 DHx 轴交于
30、点 H，ADQ45，FDA+QDH45，FDEEAO，MAEQDH，tanQDH，PH1，OP3，PDH+DPH90，OPQ+OQP90，OPQDPH，OQPPDH，tanOQP，OQ9，Q（0，9）；综上所述：Q 点坐标为（0，9）或（0，）9解：（1）当 x0 时，抛物线 yax24ax5 的对称轴为直线 x2，把 x0 代入 yax24ax5 得 y5，抛物线经过定点（0，5），由抛物线对称性可得抛物线经过定点（4，5），当 x0 时，同理可得抛物线经过定点（4，5），故答案为：（0，5），（4，5），（4，5）（2）函数 yax24ax5a（x2）24a5（x0）顶点坐标为（2，4a5
31、），函数 yax24ax5a（x+2）2+4a5（x0）顶点坐标为（2，4a5），a0 时，如图，顶点（2，4a5）在直线 ya 上满足题意，令 4a5a，解得 a 当 a0 时，如图，顶点（2，4a5）落在直线 ya 满足题意，令4a5a，解答 a1 综上所述，a或 a1 时，图象 G 与直线 ya 有 2 个交点（3）由（2）得点 P 坐标为（2，4a5），点 Q 坐标为（2，4a5），a0 时，如图，过点 Q 作 QFPO 延长线于点 F，作 FMx 轴交 x 轴于点 M，QNFM于点 N，POQ135，FOB45，OFQ 为等腰直角三角形，从而可得OFMFQN，设 NQMFm，则 FN
32、OMm+2，MNMF+FN2m+254a，解得 m2a，点 F 坐标为（2a，2a），设 OP 所在直线为 ykx，将（2，4a5）代入解析式得4a52k，解得 k2a，y（2a）x，把（2a，2a）代入 y（2a）x 得 2a（2a）（2a），解得 a1（舍），a2 当 a0 时，如图，同理可得 a 综上所述，a 10解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0），C（0，5）两点，c5，1+b+50，解得 b6，抛物线解析式为 yx26x+5；（2）令 y0，即 x26x+50，解得：x11，x25，B（5，0），直线 BC 的解析式为：yx+5，设 M（m，m26m+5），则 N
33、（m，m+5），MN（m+5）（m26m+5），当时，MN 的最大值为，线段 MN 的长度最大时，当 M 的坐标为，线段 MN 的长度最大为；点 M 在抛物线 yx26x+5 上，点 N 在直线 yx+5 上，设 M（m，m26m+5），则 N（m，m+5），MNm2+5m，BN，OBOC，MNBOCB45，i当 MNBN 时，m2+5m，解得：m，m5（舍去），M（，），ii当 BMMN 时，则NBMMNB45，NMB90，则 m26m+50，解得 m1 或 m5（舍去），M（1，0），iii当 BMBN 时，BMNBNM45，NBM90，（m26m+5）m+5，解得 m2 或 m5（舍），
34、M（2，3），当BMN 是等腰三角形时，点 M 的坐标为（，）或（1，0）或（2，3）11解：（1）由抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0），C（2，3），得，解得，故抛物线为 yx22x+3；（2）设直线为 ykx+n 过点 A（1，0），C（2，3），则，解得，故直线 AC 为 yx+1；（2）如图，过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H，过点 C 作 CGx 轴于点G，设 Q（x，x+1），则 P（x，x22x+3），PQ（x22x+3）（x+1）x2x+2，又SAPCSAPQ+SCPQPQAG（x2x+2）3（x+）2+，APC 面积的最大值为 12解：（
35、1）将 A（4，0）代入 y1x2+x+c，得16+13+c0 解得 c3，二次函数 y1的解析式为 yx2+x+3，B 点坐标为（0，3）；（2）存在，满足题意的点 P 坐标为：P1（0，），P2（，0），使得ABP 是以 AB为底边的等腰三角形 理由：当使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形时，点 P 在 AB 的垂直平分线上，当点 P 在 y 轴上时，PAPB，设 P（0，m）A（4，0），B 点坐标为（0，3），解得 m 此时 P1（0，）；当点 P 在 x 轴上时，PAPB，设 P（n，0）A（4，0），B 点坐标为（0，3），解得 m 此时 P2（，0），综上所述：P1（0，）
36、，P2（，0），使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形 13解：（1）直线 1：y2x+2 与抛物线相交于点 C，C 点坐标为（1，0），把 4（0，3），C（1，0）代入函数解析式 yx2+bx+c 得：，解得，抛物线的函数表达式 yx22x3（2）设 P（a，a22a3），PMx 轴，M 纵坐标为 a22a3，点 M 在直线 l：y2x+2 上，M（a2a，a22a3），PMa（a2a）a2+2a+（x2）2+，当 a2 时 PM 最大，最大值 PM，此时 P 点坐标（2，3）（3）抛物线的函数表达式 yx22x3，顶点坐标（1，4），与 x 轴的交点 B（3，0），C（1，0），把抛
37、物线绕点 O 旋转 180，旋转前后对应点关于原点对称，新抛物线的项点为（1，4），与 x 轴的交点为（3，0），（1，0），设新抛物线解析式为 y（x+1）2+4，向上平移使得新抛物线过（2）中的 P（2，3）点，设平移后解析式为 y（x+1）2+4+k，3（2+1）2+4+k，解得 k2，平移后解析式为 y（x+1）2+4+2x22x+5，E 是平移后抛物线与 y 轴的交点，E（0，5），F 为原抛物线对称轴上一点，G 为平面直角坐标系中一点，设 F（1，t），G（m，n），以 B、E、F、G 为顶点，BF 为边的四边形是菱形，线段 BE 可能是对角线也可能是边，当 BE 是对角线时，菱形
38、 BFEG 对角线 BE，FG 互相垂直平分，E（0，5），B（3，0），BE 的中点坐标为（，），BE 的中点坐标也是 FG 的中点，G（2，5t），GEGB，（20）2+（5t5）2（23）2+（5t0）2，解得：t，即 G 点坐标（2，）；当 BE 为边长时，BEBF，由距离公式得，（30）2+（05）2（31）2+（0t）2，解得：t，菱形 BFGE 对角线互相垂直平分，由中点坐标公式可得，G（2，+5）或（2，+5）；综上，满足题意的点 G 的坐标为：（2，+5）或（2，+5）或（2，）14解：（1）点 C 的坐标为（0，3），OC3，tanCBO，OB6，点 B 的坐标为（6，0）
39、，由抛物线经过点 A（2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为 ya（x+2）（x6），将点 C（0，3）代入解析式为 a（0+2）（06）3，a，抛物线的解析式为 y（x+2）（x6）x2+x+3（2）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，PEBC，四边形 PEBF 为平行四边形，PFBE，PD+BEPD+PF，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，则，解得：，直线 BC 的解析式为 yx+3，设点 P 的坐标为（m，m2+m+3），则点 D 的坐标为（m，m+3），PDm2+m+3（m+3）m2+m，PFx 轴，点 F 和点 P 的纵坐标相等，即x+3m2+m+3，xm22m，点 F
40、 的坐标为（m22m，m2+m+3），PFm（m22m）m2+3m，PD+BEm2+m+（m2+3m）m2+m（m3）2+，当 m3 时，PD+BE 的最大值为，此时，点 P 的坐标为（3，）；（3）由（2）中得，点 P 的坐标为（3，），点 D 的坐标为（3，），PCD 绕着点 O 顺时针旋转 90得到PCD，C（0，3），点 C的坐标为（3，0），点 D的坐标为（，3），A（2，0），C（0，3），AC，抛物线沿射线 CA 方向平移，抛物线向左平移了 1 个单位长度，向下平移了个单位长度，平移后抛物线的对称轴为直线 x1，设点 M（1，y），N（a，b），C（3，0），D（，3），以 MN
41、 为对角线时，如图，有 xM+xNxC+xD，yM+yNyC+yD，CM2+CN2MN2，解 得：或，点 N 的坐标为（，+）或（，）；以 MC为对角线时，如图，有 xM+xCxN+xD，yM+yCyN+yD，CM2CN2+MN2，解得：，点 N 的坐标为（，）；以 MD为对角线时，如图，有 xM+xDxN+xC，yM+yDyN+yC，CM2+MN2CN2，解得：，点 N 的坐标为（，2）；综上所述，当以点 M，N，C，D为顶点的四边形是矩形时，点 N 的坐标为（，+）或（，）或（，）或（，2）15解：（1）抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交
42、于点 C，ya（x1）（x3）ax24ax+3a，3a3，即 a1，抛物线解析式为 yx24x+3；（2）由 yx24x+3 可知，对称轴为直线 x2，C（0，3），由抛物线的对称性可知，点 A 和点 B 关于对称轴对称，连接 BC 与对称轴交点即为 M，将点 B（3，0）、C（0，3）代入直线 BC 解析式 ykx+b，则，解得 k1，b3，直线 BC 解析式为 yBCx+3 M（2，1）（3）如图：设 P（m，m24m+3），过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D，D（m，m+3），PD（m+3）（m24m+3）m2+3m SPBCSCPD+SBPD OBPD m2+m（m）2
43、+，当 m时，S 有最大值 当 m时，m24m+3 P（，）PBC 的面积最大时点 P 的坐标为（，）16解：（1）把坐标 P（1，3）代入，得，解得，y；（2）当 Q 点在 BC 右侧，如图所示，BCQABC，QCAB，令 x0，可得 y3，C（0，3），令3，解得 x1 或 x0（舍去），Q（1，3）；当 Q 在 BC 左侧时，取 BC 的中点 D，过点 D 作 BC 的垂线交 x 轴于点 M，如图所示，令 y0，则0，解得 x1 或 x2，A（1，0），B（2，0），OB2，OC3，BC，点 D 是 BC 的中点，D（1，），BDCD，DMBC，MDBBOC90，BB，BDMBOC，BD
44、：BMBO：BC，即：BM2：，解得 BM，OM，M（，0）；直线 QC 即直线 MC 为 y，解 令，解得 x，Q（）；（3）点 P 是二次函数的顶点，点 P，点 P 在直线上运动，当 a3 时，点 P1的横坐标为；当 a1 时，点 P2的横坐标为，3（）17解：（1）点 A 的横坐标为4，A（4，8），ABx 轴，B（4，8），设 C（t，t2），ABC 为直角三角形，AB2AC2+BC2，即（t+4）2+（t28）2+（4t）2+（t28）264，t216（舍）或 t212，C（2，6）或 C（2，6）；（2）不是总存在，理由如下：设 A（，m），C（t，t2），则 B（，m），AB2A
45、C2+BC2，即（t+）2+（t2m）2+（t）2+（t2m）28m，t22m（舍）或 t22m4，当 2m40 时，m2，此时ABC 是直角三角形；（3）h 的大小不改变，理由如下：由（2）可知，C（，m2）或 C（，m2），C 点的纵坐标为 m2，AB 边上的高为 h，hm（m2）2；设 A（m，am2），C（t，at2），则 B（m，am2），AB2AC2+BC2，即（t+m）2+（at2am2）2+（mt）2+（at2am2）24m2，t2m2（舍）或 t2，A（m，am2），C（t，），ham2 18解：（1）解方程 x2+（1m）xm0，得 x1 或 xm，A（1，0），B（m，0
46、），ABm（1）m+1；（2）抛物线 yx2+（1m）xm 的对称轴为直线 x，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），点（a，b）和（a+5，b）关于直线 x对称，a3，2m4，2a1；（3）作ABP 的外接M，连接 MP，MA，MB，过点 M 作 MCOP，垂足为 C，MAMBMP，点 M 在抛物线的对称轴直线 x上，由 yx2+（1m）xm 与 y 轴的交点 C（0，m），OCm，B（m，0），OBm，ABC45，APBABC APB45，AMB90，点 M 到 x 轴的距离AB（m+1），M 的坐标为（，），P（0，3），PM23（m+1）2+（）2，AM2（m+1）2，PMAM，3（m
47、+1）2+（）2（m+1）2，解得 m 19解：（1）yx2+bx+c 与 x 轴交于点（1，0），（3，0）两点，抛物线的表达式为：y（x+1）（x3），即 yx2+2x+3（2）由题意知：C（0，3），B（3，0），直线 BC 的表达式为：yx+3，E（m，m2+2m+3），F（m，m+3），EFm2+3m D 为 OC 的中点，C（0，3），D（0，又B（3，0），设 BD 的表达式为：ykx+b，G（m，FG，EFFG，m13（舍去），E（，）（3）A（1，0），B（3，0），对称轴为：直线 x1，设 P（1，a），CPB90，B（3，0），C（0，3），BC 的中点 M（，），则 M
48、BMP，a23a20，20解：（1）将点 A（3，5），B（5，3）代入 yax2+bx+8，yx2+x+8；（2）过点 B 作 BMx 轴交于 M 点，过点 A 作 ANx 轴交于点 N，连接 AD，以 AB 为直径的圆，经过点 O，C，ADB90，ADN+BDM90，ADN+NAD90，BDMNAD，ANDDMB，设 D（x，0），A（3，5），B（5，3），AN5，BM3，ND3+x，DM5x，x0（舍）或 x2，D（2，0）；（3）过点 A 作 AGy 轴交于点 G，连结 OB，OAOB，AOB90，AOB 是等腰直角三角形，ABOACO45，D（2，0），B（5，3），DMBM3，BD3，DMB90，BDE45，当时，BDEOCA，即，DE，OE 当时，EDBOCA，DE8，OE2+810，综上所述，OE 的长为或 10