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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习三角形综合压轴题专题提升训练（附答案）1【观察发现】如图 1，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，连接 BD 和 AE，BD、AE 相交于点 P，猜想线段 BD 与 AE 的数量关系，以及 BD 与 AE 相交构成角的度数，请说明理由【深入探究】如图 2，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，且ACBDCE90，连接 AD、BE，Q 为 AD 中点，连接 QC试探究线段 CQ 与 BE 的关系，并加以证明 2在ABC 中，AB20cm，BC16cm，点 D 为线段 AB 的中点，动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发在射线 BC 上运动（1）
2、若B60，求出发几秒后，BDP 为等边三角形？（2）若B60，求出发几秒后，BDP 为直角三角形？（3）若 ABAC，点 Q 与点 P 同时出发，其中点 Q 以 acm/s（a0 且 a2）的速度从 C点出发在线段 CA 上运动，当 a 为何值时，BPD 和CQP 全等？3（1）在ABC 中，ABAC5，BC6，则 SABC ；（2）如图 1，在ABC 中 ABAC5，BC8点 D 在边 AB 上且 BD1，求点 D 到AC 边的距离（3）如图 2，在ABC 中 ABAC5，BC8点 P 是 BC 边上一动点，将ABC 沿着过点 P 的直线翻折，使点 C 恰好落在 AB 边上，求 CP 的最小
3、值 4【教材呈现】：华师版八年上册 69 页例 4 如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 C 画直线 CE，使 CEAB，交 AD 的延长线于点 E，求证：ADED请结合图写出完整的证明过程【应用】（1）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 CD 的中点，射线 AE 与BC 的延长线交于点 F，连结 BE，若 SABE3，则 S四边形ABCD （2）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，点 G 是 AD 的延长线上一点，BGAC，BAEFAC90，ABAE，AFAC，AD2，则 EF 5如图 1，在ABC 中，ABACBC20cm，动点 P 以每秒 1cm 的速度从
4、点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动设点 P 的运动时间为 t（t0）秒 （知识储备：一个角是 60的等腰三角形是等边三角形直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半）（1）当 t10 时，求证：PAC 是直角三角形（2）如图 2，若另一动点 Q 在线段 CA 上以每秒 2cm 的速度由点 C 向点 A 运动，且与点P 同时出发，点 Q 到达终点 A 时点 P 也随之停止运动当PAQ 是直角三角形时，直接写出 t 的值（3）如图 3，若另一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 1cm 的速度沿射线 BC 方向运动，且与点 P 同时出发当点 P 到达终点 B 时点 Q 也随之停止运动，连接 P
5、Q 交 AC 于点 D，过点 P 作 PEAC 于 E在运动过程中，线段 DE 的长度是否发生变化？为什么？6综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形（1）材料理解如图 1，在ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等腰ABD 和等腰ACEABAD，ACAE，BADCAE，连接 BE，CD，试猜想 BE 与 CD 的大小关系，并说明理由；（2）深入探究如图 2，在ABC 中，AB6，BC4，ABC45，分别以 AB，AC为边向外作等腰直角ABD
6、 和等腰直角ACE，BADCAE90，连接 BE，CD，求 BE 的长；（3）延伸应用如图 3，在ABC 中，AB10，点 D 为平面内一点，连接 AD，BD，满足 AD6，BDBC，DBC60，DAC30，求 AC 的长 7（1）尝试探究：如图 1，ABC 是等边三角形，DAB90，ADAB，连接 CD、BD，求CDB 的度数（2）类比延伸：如图 2，ABC 是等边三角形，ADAB，连接 CD、BD，AE 平分DAC，交 BD 于 E，交 CD 于 F，求CDB 的度数（3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想 AF，BE，DE 之间有怎样的数量关系？并给出证明 8已知：如图，ABC 为等边三
7、角形，AB6，点 D 是直线 BC 上一点，连接 AD，以 AD为边作等边ADE，连接 CE（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 的中点时，CE ；（2）如图 2，当点 D 在 BC 的延长线上时，求证：ABDACE（3）在（2）的条件下探索 AC，CD，CE 三条线段的长度有何关系？并说明理由 9阅读下面材料：某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在ABC 中，BAC90，ABAC，BBCA45，D 是 BC 的中点，（1）问题发现：如图 1，若点 E、F 分别在线段 AB、AC 上，且 AECF，连接 EF、DE、DF、AD，此时小明发现BAD ，AD DC（填“
8、、”）接下来小明和同学们继续探究，发现一个结论：线段EF与DE长的比值是一个固定值，即 EF DE（2）变式探究：如图 2，E、F 分别在线段 BA、AC 的延长线上，且 AECF，若 EF4，求 DE 的长并写出过程（3）拓展应用：如图 3，ABAC6，动点 M 在 AD 的延长线上，点 H 在直线 AC 上，且满足BMH90，CH2，请直接写出 DM 的长为 10如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，动点 P 从点 C 出发，按 CABC 的路经运动（回到 C 点停止）且速度为每秒 3 个单位，设出发时间为 t 秒（1）求 BC 边上的高线 AE 的长与 AC 边上的高线 BD 的长（2
9、）当 CPAB 时，求 t 的值；（3）若ACP 是等腰三角形，直接写出所有满足条件的 t 的值 11如图，在平面直角坐标系中，点 C（3，0），点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且满足（OB）2+0（1）求点 A、B 的坐标；（2）若点 P 在 y 轴上，从点 B 出发，沿射线 BO 运动，连接 CP（不包括 BC），是否存在点 P，使得以点 C、O、P 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 12对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q，给出如下定义：若点 Q 满足 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点”；当 QM
10、QNMN 时，称点Q 线段 MN 的“完美中垂点”（1）如图 1，A（4，0），下列各点中，线段 OA 的中垂点是 Q1（0，4），Q2（2，4），Q3（1，）（2）如图 2，点 A 为 x 轴上一点，若 Q（2，2）为线段 OA 的“完美中垂点”，写出线段 OQ 的两个“完美中垂点”是 和 （3）如图 3，若点 A 为 x 轴正半轴上一点，点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点”，点 P（0，m）在 y 轴正半轴上 请用尺规作图在线段 PA 上方做出线段 AP 的“完美中垂点”M；求 MQ（用含 m 的式子表示）及MQA 13阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况
11、，即三个等角角度为 90，于是有三组边相互垂直所以称为“一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形（1）问题解决：如图 1，在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 作直线 DE，ADDE 于 D，BEDE 于 E，求证：ADCCEB；（2）问题探究：如图 2，在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 作直线 CE，ADCE 于 D，BECE 于 E，AD2.5cm，DE1.7cm，求 BE 的长；（3）拓展延伸：如图 3，在平面直角坐标系中，A（1，0），C（1，3），ABC 为等腰直角三角形，ACB90，ACBC，求 B 点坐标.14如
12、果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线如图 1，当ABD 和ACD 为等腰三角形时，AD为ABC 的等腰分割线（1）如图 2，ABC 中，B2C，线段 AC 的垂直平分线 ED 交 AC 于点 D，交 BC于点 E求证：AE 是ABC 的一条等腰分割线（2）如图 3，在ABC 中，A120，B20，C40，请你用两种不同的方法完成ABC 的等腰分割，并在图中标注底角的度数（3）在ABC 中，AD 为ABC 的等腰分割线，且 ADBD，C30，请直接写出A 的度数 15小明在学习中遇到了如下的问题：如图 1，在ABC 中，AB6，
13、AC10，D 为 BC 边上的中点，求 AD 的取值范围【感知方法】：他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图 2，方法一：延长AD 至点 E，使得 DEAD，连接 CE；方法二：过点 C 作 CEAB，交 AD 的延长线于点E；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得ABDECD，再利用三角形的三边关系可以解决问题（1）在老师的提示下，小明求得 AD 长度的范围是大于 且小于 ；【知识迁移】：（2）如图 3，已知ABC 和ADE 为两个等腰直角三角形，其中 ACAB，ADAE，CABDAE90，F 为 CD 中点请根据上述条件，回答以下问题 CAD+BAE 的度数为 试探究线段
14、AF 与 BE 的数量关系，并写出解答过程【结论应用】：（3）在（2）的条件下，若 AB17，AD10，BE21，四边形 BCDE 的面积为则点 D 到线段 AF 的距离为 （直接写出答案，不需要解答过程）（4）在（2）的条件下，若 AC4，AD3，CD2，求 BE 的长为 （直接写出答案，不需要解答过程）16【问题初探】如图（1），ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，以 AD为一边作ADE，使DAE90，ADAE，连接 BE，BE 与 CD 的数量关系 ，位置关系 【类比再探】如图（2），ABC 中，BAC90，ABAC，点 M 是 AB 上一点，点 D
15、是 BC 上一点，连接 MD，以 MD 为一边作MDE，使DME90，MDME，连接 BE，求EBD的度数【方法迁移】如图（3），RtABC 中，BAC90，ACB30，BC6，点 M 是 AB 中点点 D是BC上一点且BD1，连接MD，以MD为一边作MDE，使DME90，MD，连接 BE，求 BE 的长 17在 RtABC 中，ACBC，ACB90，P 为线段 AB 上一动点（1）如图 1，点 D、E 分别在 AC、BC 上（点 D 不与点 A 重合），若 P 运动到 AB 的中点，且 PDPE 求证：ADCE；若 AD7，BE1，求 PD 的长；（2）如图 2，点 F 在 BC 上，且 P
16、CPF，过点 F 作 FHAB，垂足为 H，若 AB10，在点 P 运动的过程中，线段 PH 的长度是否发生变化？若不变，请求出 PH 的长度；若变化，请说明理由 18在ABC 中，ABAC，BAC90（1）如图 1，点 E 为ABC 外一点，AECE，过 B 作 BFAE，垂足分别为 E、F 求证：EFBFCE（2）如图 2，点 D 是 BC 上一点，BABD，CEAD 于 E，求证：AD2CE（3）如图 3，点 D 为 BC 上一点，AECE，过点 A 作 AMAE，且 AMAE，连接 BM 若CE2，求 AG 的长度 19【问题】：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，BAC
17、90，AD 是ABC的角平分线，点 E 为 AD 上一点，EFCE 交 BA 延长线于点 F，连接 CF，探究 AE，AC，AF 之间的数量关系【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出 CEEF，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点 E 作 AD 的垂线与 AC 相交于点 G（如图 2），通过证明EAFEGC，最终探究出 AE、AC、AF 之间的数量关系（1）请根据小明的思路，补全EAFEGC 的证明过程；（2）请直接写出 AE，AC，AF 之间的数量关系；【应用】（3）当 AF2 时，请直接写出 AE 的长为 ；【拓展】（4）若CF的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请
18、直接写出AE的长为 20已知：在 RtABC 中，ACB90，BCAC，点 D 在直线 AB 上，连接 CD，在 CD的右侧作 CECD，CDCE（1）如图 1，点 D 在 AB 边上，线段 BE 和线段 AD 数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，点 D 在 B 右侧，AD，BD，DE 之间的数量关系是 ，若 ACBC2，BD1求 DE 的长；（3）拓展延伸 如图 3，DCEDBE90，CDCE，BC，BE1，请求出线段 EC 的长 参考答案 1解：【观察发现】结论：AEBD，AEBD 理由：如图 1 中，设 AE 交 BD 于点 J CACB，CDCE，ACBDCE90，ACEBCD
19、，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），BDCE，AECBDC，DPJEPJ，DJPPCE90，AEBD；【深入探究】结论：CQBE，CQBE 理由：如图 2 中，延长 CQ 到 R，使得 CQQR，连接 AR、DR，延长 QC 交 BE 于点 K ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CECD，BCE+ACD180，AQDQ，CQQR，四边形 ACDR 是平行四边形，ARCDCE，ARCD，CAR+ACD180，BCECAR，CACB，ARCE，ACRBCE（SAS），CRBE，ACRCBE，CQBE，ACR+BCK90，CBE+BCK90，CKB90，
20、即 QKBE 2解：（1）B60，当 BDBP 时，BDP 为等边三角形，AB20cm，点 D 为线段 AB 的中点，BD10cm，BP10cm，动点 P 的运动时间为：5（秒），即出发 5 秒后，BDP 为等边三角形；（2）设运动时间为 x 秒，当BPD90时，B60，BDP30，2BPBD10cm，BP5cm，即 2x5，x2.5；当BDP90时，B60，BPD30，BP2BD20cm，即 2x20cm，x10；当 P 出发 2.5 秒或 10 秒后，BPD 为直角三角形；（3）设运动时间为 t 秒，ABAC，BC，AB20cm，D 是 AB 的中点，BD10cm，当 BDQC，BPCP
21、时，BDPCQP，BC16cm，BPCP8cm，BP2t，t4，CQat4a10，a，当 BDPC，BPCQ 时，BDPCPQ，CP162t10，t3，BP6，CQat3a6，a2，综上所述，当 a或 2 时，BPD 和CQP 全等 3解：（1）如图，过点 A 作 ADBC 于点 D，ABAC5，BC6，ADBC，BDCDBC3，AD4，SABCBCAD6412，故答案为：12；（2）如图 1，过点 A 作 AEBC 垂足为 E，连接 CD，过点 D 作 DFAC 交 CA 的延长线于点 F，ABAC5，AEBC，BC8，BEBC4，在 RtABE 中 AE3，SABCBCAE8312，BD1
22、，ADABBD4，SADC12，ACDF5DF，DF，即点 D 到 AC 边的距离为；（3）如图 2，设点 C 落在 AB 上的 D 点，过点 A 作 AEBC 于点 E，连接 AP，由翻折得 PCPD，所以当 PDAB 时 PD 最小，设 PCx，则 PDx，BP8x，SABPABPDBPAE，5x（8x）3，x3，PC 的最小值为 3 4【教材呈现】证明：CEAB，ABDECD，BADCED 在ABD 与ECD 中，ABDECD（AAS），ADED；【应用】解：（1）ADBC，DAEF，DFCE 点 E 为 DC 边的中点，DECE 在ADE 和FCE 中，ADEFCE（AAS），AEEF
23、，SADESFCE，S四边形ABCE+SADES四边形ABCE+SFCE，即 S四边形ABCDSABF，SABE3，AEEF，SBEF3，S四边形ABCDSABF2SABE6，故答案为：6；（2）D 为 BC 的中点，BDCD，又BGAC，CGBD，ADCBDG，ADCGDB（SAS），ACBG，又AFAC，BGAF，BGAC，BGA+BAC180，BAEFAC90，BAC+EAF180，BGAEAF，又AEAB，ABGEAF（SAS），AGEF4，故答案为：4 5（1）证明：ABC 是等边三角形，ABBCAC20cm，当 t10 时，PA11010cm，PBABPA10cm，PAPB，CPA
24、B，ACP 是直角三角形；（2）解：分两种情况：当APQ90时，如图所示：ABC 是等边三角形，A60，AQP906030，AQ2AP，由题意可得：APt，CQ2t，则 AQ202t，202t2t，解得：t5；当AQP90时，如图所示：则APQ906030，AP2AQ，t2（202t），解得：t8；综上，当 t 为 5 或 8 时，PAQ 是直角三角形；（3）解：线段 DE 的长度不变化，理由如下：过点 Q 作 QFAC，交 AC 的延长线于 F，如图 3 所示：PEAC，QFAC，AEPDEPCFQ90，QCFACB60，AQCF，又APCQ，APECQF（AAS），AECF，PEQF，又P
25、DEQDF，PDEQDF（AAS），DEDFEF，EFCE+CF，ACCE+AE，EFAC20cm，DEEF10cm，即线段 DE 的长度不变，为定值 10cm 6解：（1）CDBE，理由如下：BADCAE，BAD+BACCAE+BAC，CADEAB，在DAC 和BAE 中，ADAB，DACBAE，ACAE，DACBAE（SAS），CDBE；（2）ABD 和ACE 是等腰直角三角形，BADCAE90，ABDADBACEAEC45，ADAB，ACAE，BAD+BACCAE+BAC，即DACBAE，ADAB，DACBAE，ACAE，DACBAE（SAS），BECD，ABAD6，BD6，DBCABD
26、+ABC，ABC45，DBC90，BC4，CD2，BE2；（3）如图，以 AC 为边在 AC 右侧作等边ACE，连接 DE，BDBC，DBC60，BCD 是等边三角形，BCCD，BCD60，ACE 是等边三角形，CAEACE60，ACCE，BCD+ACDACE+ACD，即ACBECD，CDBC，ECDACB，CEAC，DCEBCA（SAS），DEAB10，DAC30，DAEDAC+CAE30+6090，AD6，AE8，ACAE8 7解：（1）DAB90，ADAB，ADBABD45，ABC 是等边三角形，BAC60，ABAC，DACDAB+BAC90+60150，ADAC，ADC（180DAC）
27、15，CDBADBADC451530；CDB 的度数是 30；实践探究：（2）设BADx，ABACAD，ADCACD（180 x60）60 x，ADBABD（180 x）90 x，CDBADBADC90 x（60 x）30；（3）AF+BEDE，理由如下：连接 CE，在 CE 上取一点 R，使得 ARAE，如图：ADAC，AE 平分DAC，AE 是 DC 的中垂线，DAECAE，DECE，CDAE，AED60，在AED 和AEC 中，AEDAEC（SAS），AEDAEC60，AEAR，AER 时等边三角形，AEER，EAR60，EARBAC60，EABRAC，AEAR，ABAC，AEBARC（
28、SAS），BECR，DFE90，EDF30，DE2EF，AEER，AF+DEDEBE，AF+BEDE 8（1）解：ABC 和ADE 都是等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60 BAC+CADDAE+CAD，BADCAE 在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），BDCE，在等边三角形中，D 是 BC 的中点，则 CEBDBCAB3，故答案为：3；（2）证明：ABC 和ADE 都是等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60 BAC+CADDAE+CAD，BADCAE 在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）；（3）解：AC、CD、CE 之间存在的数量关系是：A
29、CCECD 由（2）知ABDACE，BDCE，CECDBDCDBCAC，ACCECD 9解：（1）BAC90，ABAC，BBCA45 点 D 是斜边 BC 的中点，AD 是 BC 边上的中线 ADBC，BADCADBAC9045，ADC90，BADCADBCA，DADC，在ADE 和CDF 中，ADECDF（SAS），DEDF，ADECDF，EDFADE+ADFCDF+ADFADC90，DEF 为等腰直角三角形，EFDE，故答案为：45，；（2）BAC90，ABAC，BBCA45 点 D 是斜边 BC 的中点，AD 是 BC 边上的中线 ADBC，BADCADBAC9045，ADB90，BAD
30、CADBCA，DADC，DAEDCF135，在ADE 和CDF 中，ADECDF（SAS），DEDF，ADECDF，EDFEDC+CDFEDC+ADEADC90，DEF 为等腰直角三角形 EFDE，EF4，DE2；（3）当 H 在线段 AC 上时，如图，连接 MC，过点 M 作 MFAC 于 F，ADCB，BDCD，AM 为线段 BC 的中垂线，MBMC，MBCMCB，ABAC，ABCACB，ABMACM，又BACBMH90，BAH+ABM+BMH+AHM360，ABM+AHM180，AHM+MHC180，ABMMHC，MHCMCH，MHMC，HC2，HFCFCH1，AC6，AFACCF615
31、，DAC45，AFMF5，AMAF5，D 为 BC 的中点，ABAC6，ADBC3，DMAMAD532；当 H 在线段 AC 的延长线上时，如图，连接 MC，过点 M 作 MFAC 于 F，同理可得 CFHF1，AFAC+CF6+17，AM，DMAMAD74，综上所述，DM 的长为 2或 4 故答案为：2或 4 10解：（1）ABAC，BECEBC3，AE4，BC 边上的高线 AE 的长为 4 SABCBCAEACBD，BD AC 边上的高线 BD 的长为；（2）当 CPAB 时，如图，CPAB，BDAC，APCADB90，AA，ABAC，ACPABD（AAS），APAD，AD，t；（3）解：
32、分三种情况：如图，当 CACP 时，点 P 在 AB 上，过点 C 作 CHAP 于点 H，ACCP，AHPH，由（2）可知，ADAH，AP+AC5+，t3 如图，当 CACP5 时，点 P 在 BC 上，AC+AB+BP5+5+6511，t；如图，当 PAAC 时，点 P 与点 B 重合，PAAC5，t；如图，当 APPC 时，点 P 在 BC 上，ABAC，AEBC，BECE3，由（1）可知：AE4，点 P 在 BC 上，PC5+5+63t163t，PE163t3133t，（133t）2+42（163t）2，t 综上所述，满足条件的 t 的值为或或或 11解：（1）（OB）2+0，OB0，
33、OA10 OB，OA1，点 A，点 B 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，A（1，0），B（0，）；（2）存在，当AOBCOP 时，如图：AOBCOP，OP3，点 P 的坐标为（0，3）；当AOBPOC 时，如图：AOBPOC，OP，点 P 的坐标为（0，）；综上所述，存在，点 P 的坐标为（0，3）或（0，）12解：（1）若点 Q 满足 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点”；Q 在 MN 的垂直平分线上，线段 OA 的对称点在 OA 的垂直平分线上，且 A（4，0），O（0，0），线段 OA 的中垂点横坐标为 2，Q2（2，4）符合题意，故答案为：Q2（2）如图 2，当AOQ、O
34、QQ是等边三角形时，点 A 和点 Q 是线段 OQ 的“完美中垂点”，过 Q 作 QBOA 于点 B，Q（2，2），OBAB2，QB2，A（4，0），Q（2，2），故答案为：A（4，0），Q（2，2）；（3）如图 3，以 PA 为边，向上作等边三角形 PAM 则 M 为线段 AP 的“完美中垂点”；点 P（0，m）在 y 轴正半轴上，OPm，点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点”，AOQ 是等边三角形，OAQPAM60，OAPQAM，在OAP 和QAM 中，OAPQAM（SAS），OPMQm，AOPMQA90 13（1）证明：ADDE，BEDE，ADCCEB90，ACB90，ACD+ECB90
35、，DAC+ACD90，DACECB，在ADC 和CEB 中，ADCCEB（AAS）；（2）解：BECE，ADCE，ADCCEB90，CBE+ECB90，ACB90，ECB+ACD90，ACDCBE，在ADC 和CEB 中，ADCCEB（AAS），ADCE2.5cm，CDBE，BECDCEDE2.51.70.8（cm），即 BE 的长为 0.8cm；（3）解：如图 3，过点 C 作直线 lx 轴，交 y 轴于点 G，过 A 作 AEl 于点 E，过 B 作BFl 于点 F，交 x 轴于点 H，则AECCFBACB90，A（1，0），C（1，3），EGOA1，CG1，FHAEOG3，CEEG+CG
36、2，ACE+EAC90，ACE+FCB90，EACFCB，在AEC 和CFB 中，AECCFB（AAS），AECF3，BFCE2，FGCG+CF1+34，BHFHBF321，B 点坐标为（4，1）14（1）证明：DE 是 AC 的垂直平分线，AECE，CCAE，ACE 是等腰三角形，AEBC+CAE2C，B2C，BAEB，ABAE，ABE 是等腰三角形，AE 是ABC 的一条等腰分割线；（2）解：如图 1，（3）解：如图 2，当 ADCD，ABAD 时，BAC90，如图 3，当 ADAC，ADBD 时，BAC135，如图 4，当 ACCD，ADBD 时，BAC112.5，综上所述：BAC90或
37、 135或 112.5 15解：（1）延长 AD 至点 E，使得 DEAD，连接 CE；如图 2 所示：D 为 BC 边上的中点，BDCD，在ABD 和ECD 中，ABDECD（SAS），ABEC6，在ACE 中，由三角形的三边关系得：ACECAEAC+EC，即 106AE10+6，42AD16，2AD8；故答案为：2，8；（2）CABDAE90，CAD+BAE3609090180；故答案为：180；BE2AF，理由如下：延长 AF 至 G，使 GFAF，连接 DG，如图 3 所示：F 为 CD 的中点，DFCF，在GDF 和ACF 中，GDFACF（SAS），DGFCAF，GDAC，DGAC
38、，CAD+GDA180，由得：CAD+BAE180，GDABAE，ACAB，GDAB，在ADG 和EAB 中，ADGEAB（SAS），AGBE，AG2AF，BE2AF；（3 如图 4，延长 AF 至 G，使 GFAF，连接 DG，过点 D 作 DHAF 于 H，由（2）得：ADGEAB，AGBE21，ADG 的面积EAB 的面积，DFCF，GFAFAG，ACF 的面积ADF 的面积GDF 的面积，ACD 的面积2ADF 的面积ADG 的面积EAB 的面积，ABC 和ADE 为两个等腰直角三角形，ACAB17，ADAE10，ABC 的面积1717，ADE 的面积101050，四边形 BCDE 的
39、面积为 ACD 的面积（50）84，ADF 的面积84AFDH，即84DH，解得：DH8，即点 D 到线段 AF 的距离为 8；故答案为：8；（4）如图 4，过点 D 作 DHAC 于 H，延长 AF 至 G，使 FGAF，连接 DG，过点 G作 GMAC 于 M，由（2）知：GDFACF，DGAC4，设 CHx，则 AH4x，CD2，AD3，22x232（4x）2，x，AH4，MG2DH2CD2CH24（）2，AMAH+HMAH+DG+4，在 RtAGM 中，由勾股定理得：AG2AM2+MG2，AG，BEAG 故答案为：16解：【问题初探】BACDAE90，EABCAD，AEAD，ABAC，
40、EABDAC（SAS），BECE，ABEC，C+ABC90，EBA+ABC90，BECD，故答案为：BECD，BECD；【类比再探】过点 A 作 AGMD 交 BC 于点 G，过点 A 作 AFEM 交 BE 的延长线于点F，MDAG，AFEM，DMMD，AFAG，EMD90，FAG90，由【问题初探】可得FABGAC（SAS），FBCG，EBD90；【方法迁移】过 A 点作 AMMD 交 BC 于 M 点，过 A 点作 ANEM 交 BE 的延长线于点 N，AMMD，ANEM，MD，BAC90，ACB30，BC6，BMDBAM，BMEBAN，NAMEMD90，NABMAC，由【问题初探】可得
41、NABMAC，BD1，M 是 AB 的中点，BM2，BC6，CM4，BN，BE 17（1）证明：如图 1 中，连接 CP，CACB，ACB90，CPAB，APPB，PCEOCAA45，CPPAPB，APCDPE90，APDCPE，在APD 和CPE 中，APDCPE（ASA），ADCE；解：如图 1 中，连接 DE，APDCPE，PDPE，ACCB8，CEAD7，DE2CD2+CE212+7250，PE2+PD250，PD5；（2）解：PH 的值不变，PH5 理由：如图 2 中，作 CQAB，垂足为 Q，PCPF，PCFPFC，PCQ+QCBFPH+B，QCBB45，PCQFPH，在CPQ 和
42、PFH 中，CPQPFH（AAS），PHCQ，CACB，ACB90，CQAB，AQBQ，CQAB5，PH5 是定值 18（1）证明：CEAE，BFAE，EAFBCAB90，CAE+EAB90，EAB+ABF90，CAEABF，在AEC 和BFA 中，AECBFA（AAS），ECAF，AEBF，EFAEAFBFCE；（2）证明：如图 2 中，过点 B 作 BTAE 于点 T BABD，BTAD，ATDT，同法可证AECBTA，ECAT，AD2EC；（3）解：如图 3 中，过点 B 作 BKAE 于点 K 同法可证AECBKA，AEBK，ECAK，AMAE，AMBK，BKGMAG90，AGMBGK
43、，AGMBGK（AAS），AGGK，AGEC1 故答案为：1 19（1）证明：如图，过点 E 作 EGAD 交 AC 于 G，则AEG90，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，AD 是ABC 的角平分线，DACBAC45，AGE45，AEEG，EF 与 AC 的交点记作点 H，BAC90，CAF90，AFE+AHF90，AHFCHE，AFE+CHE90，EFCE，CEF90，ECG+CHE90，AFEECG，EGC180AGE135，EAFCAD+CAF135，EAFEGC，EAFEGC（AAS）；（2）解：ACAE+AF；理由：由（1）知，AEG90，AEEG，根据勾股定理得，AGAE
44、，由（1）知，EAFEGC，AFGC，ACAG+CGAE+AF；（3）解：由（2）知，ACAE+AF AC4，AF2，4AE+2，AE，故答案为：；（4）解：如图，在 RtABC 中，ABAC4，BC4，由（1）知，CEF90，EFCE，M 是 CF 的中点，EMCF，FMCM，即 EM 是 CF 的垂直平分线，点 B，E，M 三点共线，BM 是 CF 的垂直平分线，BFBC4，AFBFAC44，由（2）知，ACAE+AF，4AE+44，AE44，故答案为：44 20解：（1）ACB90，BCAC，AABC45，CECD，DCE90ACB，ACBBCDDCEBCD，即ACDBCE，ACBC，C
45、DCE，ACDBCE（SAS），ADBE，ACBE45，ABEABC+CBE90，BEAD，故答案为：BEAD，BEAD；（2）如图 2，连接 BE，ACBDCE90，ACB+BCDDCE+BCD，即ACDBCE，ACBC，CDCE，ACDBCE（SAS），ADBE，ACBE45，A+ABC90，ABEABC+CBE90，DBE90，在 RtBDE 中，由勾股定理得：BE2+BD2DE2，AD2+BD2DE2，ACB90，ACBC2，ABAC4，ADAB+BD4+15，DE，故答案为：AD2+BD2DE2；（3）过点 C 作 CACB 交 DB 于 A，设 BD 与 CE 相交于点 O，如图 3 所示：则ACB90DCE，DCEACEACBACE，即ACDBCE，DCOEBO90，DOCEOB，CDACEB，又CDCE，ACDBCE（ASA），ADBE1，ACBC，ABC 是等腰直角三角形，ABBC2，BDAB+AD3，DBE90，DE，ECDE