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1、中考专题训练：二次函数与相似三角形 1如图，抛物线 y=ax2+b 与 x 轴交于点 A、B，且 A 点的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点 B 坐标；（2）过点 B 作 BDCA 交抛物线于点 D，连接 BC、CA、AD，求四边形 ABCD 的周长；（结果保留根号）（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 P，过点 P 作 PE 垂直于 x 轴，垂足为点 E，使以 B、P、E 为顶点的三角形与CBD 相似？若存在请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，已知抛物线 y=2x22 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
2、与 y 轴交于点 C （1）写出以 A，B，C 为顶点的三角形面积；（2）过点 E（0，6）且与 x 轴平行的直线 l1与抛物线相交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），以 MN 为一边，抛物线上的任一点 P 为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为 8 时，求出点 P 的坐标；（3）过点 D（m，0）（其中 m1）且与 x 轴垂直的直线 l2上有一点 Q（点 Q 在第一象限），使得以 Q，D，B 为顶点的三角形和以 B，C，O 为顶点的三角形相似，求线段 QD 的长（用含 m 的代数式表示）3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，过
3、 A、B 两点的抛物线为y=x2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx 轴于点 C，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式（2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积（3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若不存在，说明理由 4如图，抛物线2yax2axc（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点
4、E，交 CD 于点 F，交AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由 5如图，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y 轴的交点
5、记为 F，求当BEF 与BAO 相似时，E 点坐标；记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G，则 SEFG与 SACD是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出 F 点的坐标 6如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B把AOB沿 y轴翻折，点 A落到点 C，抛物线过点 B、C和 D（3，0）（1）求直线 BD和抛物线的解析式（2）若 BD与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 7如图，已
6、知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点 （1）求这条抛物线的解析式；（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点 E，使以 A、B、E 为顶点的三角形与COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D，连接 BD，试求出BDA 的度数 8如图，抛物线 y=ax2+4x+c 过点 A(6，0)、B(3，32)，与 y 轴交于点 C联结 AB 并延长，交 y 轴于点 D(1)求该抛物线的表达式；(2)求ADC 的面积；(3)点 P 在线段 AC 上，如果OAP 和DCA
7、 相似，求点 P 的坐标 9在平面直角坐标系中，抛物线 y14x2沿 x轴正方向平移后经过点 A（x1，y2），B（x2，y2），其中 x1，x2是方程 x22x0 的两根，且 x1x2，（1）如图求 A，B两点的坐标及平移后抛物线的解析式；（2）平移直线 AB 交抛物线于 M，交 x 轴于 N，且14ABMN，求MNO 的面积；（3）如图，点 C 为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点 C 作直线交抛物线于 E、F，交 x 轴于点 D，探究CDCDCECF的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由 10如图，已知二次函数 yx24 的图象与 x轴交于点 A、B（点 A位于点 B 的
8、左侧），C 为顶点一次函数 ymx+2 的图象经过点 A，与 y轴交于点 D （1）求直线 AD的函数表达式；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 C若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD，且当 1x3 时，新抛物线对应的函数值有最小值为1，求新抛物线对应的函数表达式；（3）如图，连接 AC、BC，在坐标平面内，直接写出使得ACD与EBC 相似（其中点 A 与点 E 是对应点）的点 E的坐标 11如图，抛物线 y234x+bx+c与 x 轴交于 A（4，0），B（1，0）两点，与 y轴交于点 C，点 D为直线AC 上方抛物线上的动点，DE线段 AC 于点
9、 E（1）求抛物线解析式；（2）如图 1，求线段 DE的最大值；（3）如图 2，连接 CD、BC，当BOC 与以 C、D、E 为顶点的三角形相似时，求点 D 的横坐标 12如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在第一象限，点 B 在 x 轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tanAOB=2，点 C 是线段 OA 的中点（1）求点 C 的坐标；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，使得APO=CBO，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A、点 P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点 M 是抛物线图象上的一个动点，以 M 为圆心的圆与直线 OA 相切，切点为点 N，
10、点 A 关于直线 MN 的对称点为点 D请你探索：是否存在这样的点 M，使得MADAOB？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图 1，已知：抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过 B，C 两点的直线是 y=12x-2，连结 AC （1）求出抛物线的函数关系式；（2）若ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC（顶点 D、E、F、G 在ABC 各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由（3）点 P（t，0）是 x 轴上一动点，P、Q 两点关于直线 BC 成轴对称，PQ 交 BC 于点 M，作
11、QHx 轴于点 H连结 OQ，是否存在 t 的值，使OQH 与APM 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 14如图，已知二次函数1y(x2)(axb)48的图像过点 A(4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：（2）求证：ACB 是直角三角形；（3）若点 P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点 P 作 PH 垂直 x 轴于点 H，是否存在以 P、H、D、为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 15如图，二次函数 y12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(2，0)、与 y 轴交于点 C(0，4)，过点 A 的直线 y12x+1
12、 与抛物线的另一个交点为 B，D 是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式并直接写出顶点 D 的坐标；(2)如图 1，点 P 是线段 AB 上方抛物线上一动点，求点 P 运动到什么位置时，ABP 的面积最大，最大面积是多少？(3)如图 2，设直线 AB 与 y 轴交于点 E 点 M 是直线 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合)，当MEC 与AOE相似时，请直接写出点 M 的坐标 16如图，已知直线 y3x+c 与 x 轴相交于点 A（1，0），与 y 轴相交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E（1）直接写出抛物线的
13、解析式；（2）点 P 是第二象限抛物线上一点，且 SPAB2SAOB 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 AP 交 y 轴于点 D，若点 Q 是第二象限内抛物线上一动点，连接 QE交 CD于点 F，求以 C、E、F 为顶点的三角形与AOB 相似时点 Q 的坐标 17抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（5，0），与 y 轴交于点 C（0，3）该抛物线与直线 y=35xc相交于 C，D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M，N（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结 PC，P
14、D，如图 1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 18如图，已知抛物线 y=ax2-4x+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），B 两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线解析式；（2）若点 P 为抛物线上点，当 PB=PC 时，求点 P 坐标；（3）若点 M 为线段 BC 上点（不含端点），且MAB 与ABC 相似，求点 M 坐标 19如图，抛物线 C1：ymx
15、22mx3m(m0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D，顶点为 M，另一条抛物线 C2与 x 轴也交于 A、B 两点，且与 y 轴的交点是 C(0，32)，顶点是 N(1)求 A，B 两点的坐标(2)求抛物线 C2的函数表达式(3)是否存在 m，使得OBD 与OBC 相似？若存在，请求出 m 的值；若不存在请说明理由 20如图 1，抛物线1C：22(0)yaxaxc a与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C已知点 A 的坐标为（1，0），点 O为坐标原点，OC=3OA，抛物线1C的顶点为 G（1）求出抛物线1C的解析式，并写出点 G 的坐标；（2）如图 2，将抛物线1
16、C向下平移 k（k0）个单位，得到抛物线2C，设2C与 x 轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG 是等边三角形时，求 k 的值：（3）在（2）的条件下，如图 3，设点 M为 x 轴正半轴上一动点（介于 O 与 B 之间），过点 M作 x轴的垂线分别交抛物线1C、2C于 P、Q两点，是否存在 M 点，使得以 A、Q、M为顶点的三角形与以 P、M、B 为顶点的三角形相似，若存在，求出点 M的坐标：若不存在，请说明理由 参考答案 1解：（1）点 A（1，0）和点 C（0，1）在抛物线 y=ax2+b 上，ab0b1，解得：a1b1 抛物线的解析式为：y=x2+1 抛物线的对称轴为 y 轴 点 B 与
17、点 A（1，0）关于 y 轴对称，B（1，0）（2）设过点 A（1，0），C（0，1）的直线解析式为 y=kx+b，可得：kb0b1，解得：k1b1 过点 A，C 的直线解析式为 y=x+1 BDCA，可设直线 BD 的解析式为 y=x+n 点 B（1，0）在直线 BD 上，0=1+n，得 n=1 直线 BD 的解析式为：y=x1 将 y=x1 代入抛物线的解析式，得：x1=x2+1，解得：x1=2，x2=1 B 点横坐标为1，则 D 点横坐标为 2，D 点纵坐标为 y=21=3 D 点坐标为（2，3）如图所示，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3，AN=1，BN=3，在 RtBDN
18、 中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=10 在 RtADN 中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=3 2 又 OA=OB=OC=1，OCAB，由勾股定理得：AC=BC=2 四边形 ABCD 的周长为：AC+BC+BD+AD=2+2+10+=+3 2（3）存在 假设存在这样的点 P，则BPE 与CBD 相似有两种情形：（I）若BPEBDC，如图所示，则有，即，PE=3BE 设 OE=m（m0），则 E（m，0），BE=1m，PE=3BE=33m，点 P 的坐标为（m，33m）点 P 在抛物线 y=x2+1 上，33m=（m）2+1，解得 m=1 或 m=2 当 m=1 时，点 E 与点
19、 B 重合，故舍去；当 m=2 时，点 E 在 OB 左侧，点 P 在 x 轴下方，不符合题意，故舍去 因此，此种情况不存在（II）若EBPBDC，如图所示，则有，即，BE=3PE 设 OE=m（m0），则 E（m，0），BE=1+m，点 P 的坐标为（m，）点 P 在抛物线 y=x2+1 上，解得 m=1 或 m=59 m0，故 m=1 舍去，m=59 点 P 的纵坐标为：点 P 的坐标为（59，）综上所述，存在点 P，使以 B、P、E 为顶点的三角形与CBD 相似，点 P 的坐标为（59，）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点 B 坐标可由对称性质得到，或令 y=0
20、，由解析式得到（2）求出点 D 的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形 ABCD 四个边的长度（3）本问为存在型问题先假设存在，然后按照题意条件求点 P 的坐标，如果能求出则点 P 存在，否则不存在注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论 2解：（1）y=2x22，当 y=0 时，2x22=0，x=1 点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（1，0），AB=2 又当 x=0 时，y=2，点 C 的坐标为（0，2），OC=2 SABC=12ABOC=1222=2（2）将 y=6 代入 y=2x22，得 2x22=6，x=2，点 M 的坐标为（2，6），点 N 的坐标为（2，6），MN=4 平
21、行四边形的面积为 8，MN 边上的高为：84=2 P 点纵坐标为 62 当 P 点纵坐标为 6+2=8 时，2x22=8，x=5 点 P 的坐标为（5，8）或（5，8）当 P 点纵坐标为 62=4 时，2x22=4，x=3，点 P 的坐标为（3，4）或（-3，4）综上所述，当平行四边形的面积为 8 时，点 P 的坐标为（5，8）或（5，8）或（3，4）或（-3，4）（3）点 B 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（0，2），OB=1，OC=2 QDB=BOC=90，以 Q，D，B 为顶点的三角形和以 B，C，O 为顶点的三角形相似时，分两种情况：OB 与 BD 边是对应边时，OBCDBQ，则
22、OBOCDBDQ，即12m 1DQ，解得 DQ=2（m1）=2m2 OB 与 QD 边是对应边时，OBCDQB，则OBOCDQDB，即12DQm 1，解得m1DQ2 综上所述，线段 QD 的长为 2m2 或m12 【解析】（1）在二次函数的解析式 y=2x22 中，令 y=0，求出 x=1，得到 AB=2，令 x=0 时，求出 y=2，得到 OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出ABC 的面积（2）先将 y=6 代入 y=2x22，求出 x=2，得到点 M 与点 N 的坐标，则 MN=4，再由平行四边形的面积公式得到 MN 边上的高为 2，则 P 点纵坐标为 8 或 4分两种情况讨论：当
23、P 点纵坐标为 8 时，将 y=8 代入y=2x22，求出 x 的值，得到点 P 的坐标；当 P 点纵坐标为 4 时，将 y=4 代入 y=2x22，求出 x 的值，得到点 P 的坐标（3）由于QDB=BOC=90，所以以 Q，D，B 为顶点的三角形和以 B，C，O 为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OB 与 BD 边是对应边，OB 与 QD 边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出 QD 的长度即可 考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用 3（1）y=x23x+4（2）12（3）存在点 D，
24、使得DBE 和DAC 相似，点 D 的坐标为（3，1）或（2，2）【分析】（1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式（2）设点 C 坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点 E 坐标为（m，8+m）；由于点 E 在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值在计算四边形 CAEB 面积时，利用 S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO，可以简化计算（3）由于ACD 为等腰直角三角形，而DBE 和DAC 相似，则DBE 必为等腰直角三角形 分BED=90和EBD=90两种情况讨论【解析】解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0
25、，得 x=4，A（4，0），B（0，4）点 A（4，0），B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上，164bc0c4，解得：b3c4 抛物线的解析式为：y=x23x+4（2）设点 C 坐标为（m，0）（m0），则 OC=m，AC=4+m OA=OB=4，BAC=45ACD 为等腰直角三角形CD=AC=4+m CE=CD+DE=4+m+4=8+m点 E 坐标为（m，8+m）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，8+m=m23m+4，解得 m=2 C（2，0），AC=OC=2，CE=6 S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO=1226+12（6+4）21224=12（3）设点 C
26、 坐标为（m，0）（m0），则 OC=m，CD=AC=4+m，BD=2OC=2m，则 D（m，4+m）ACD 为等腰直角三角形，若DBE 和DAC 相似，则DBE 必为等腰直角三角形 i）若BED=90，则 BE=DE，BE=OC=m，DE=BE=mCE=4+mm=4E（m，4）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，4=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=3D（3，1）ii）若EBD=90，则 BE=BD=2m，在等腰直角三角形 EBD 中，DE=2BD=2m，CE=4+m2m=4mE（m，4m）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，4m=m23m+4，解得 m=0（不合题
27、意，舍去）或 m=2 D（2，2）综上所述，存在点 D，使得DBE 和DAC 相似，点 D 的坐标为（3，1）或（2，2）4（1）抛物线的解析式为248yxx433；（2）PM=24m4m3（0m3）；（3）存在这样的点 P 使PFC与AEM 相似此时 m 的值为2316或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形【分析】（1）将 A（3，0），C（0，4）代入2yax2axc，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，从而根据抛物线和直线 AC 的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长（3）由于PFC 和AEM
28、都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含 m 的代数式表示出 AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状【解析】解：（1）抛物线2yax2axc（a0）经过点 A（3，0），点 C（0，4），解得4a3c4 抛物线的解析式为248yxx433 （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A（3，0），点 C（0，4），3kb0b4，解得4k3b4 直线 AC 的解析式为4yx43 点
29、 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上，M 点的坐标为（m，4m43）点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线248yxx433 上，点 P 的坐标为（m，248mm433）PM=PEME=（248mm433）（4m43）=24m4m3 PM=24m4m3（0m3）（3）在（2）的条件下，连接 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，可得 AE=3m，EM=4m43，CF=m，PF=248mm4433=248mm33，若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况：若PFCAEM，则 PF：AE=FC：
30、EM，即（248mm33）：（3m）=m：（4m43），m0 且 m3，m=2316 PFCAEM，PCF=AME AME=CMF，PCF=CMF 在直角CMF 中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90 PCM 为直角三角形 若CFPAEM，则 CF：AE=PF：EM，即 m：（3m）=（248mm33）：（4m43），m0 且 m3，m=1 CFPAEM，CPF=AME AME=CMF，CPF=CMFCP=CM PCM 为等腰三角形 综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与AEM 相似此时 m 的值为2316或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形 5（1）y=（x+2
31、）2；（2）（12，3）；SEFG与 SACD存在 8 倍的关系，点 F 坐标为（0，60）、（0，3）、（0，5）【解析】试题分析：（1）求出点 A 的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）首先确定点 E 为 RtBEF 的直角顶点，相似关系为：BAOBFE；如答图 2-1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点 E 的坐标；首先求出ACD 的面积：SACD=8；若 SEFG与 SACD存在 8 倍的关系，则 SEFG=64 或 SEFG=1；如答图2-2 所示，求出 SEFG的表达式，进而求出点 F 的坐标 试题解析：（1）直线 AB 的解析式为 y=2x+
32、4，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=-2 A（-2，0）、B（0，4）抛物线的顶点为点 A（-2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点 C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：-4=4a，解得 a=-1，抛物线的解析式为 y=-（x+2）2（2）平移过程中，设点 E 的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2m+4，F（0，-m2+2m+4）点 E 为顶点，BEF90，若BEF 与BAO 相似，只能是点 E 作为直角顶点，BAOBFE，OAOBEFBE，即24EFBE，可得：BE=2EF 如答图 2-1，过点 E 作 EHy 轴于点 H，则
33、点 H 坐标为：H（0，2m+4）B（0，4），H（0，2m+4），F（0，-m2+2m+4），BH=|2m|，FH=|-m2|在 RtBEF 中，由射影定理得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，又BE=2EF，BH=4FH，即：4|-m2|=|2m|若-4m2=2m，解得 m=-12或 m=0（与点 B 重合，舍去）；若-4m2=-2m，解得 m=12或 m=0（与点 B 重合，舍去），此时点 E 位于第一象限，BEF 为锐角，故此情形不成立 m=-12，E（-12，3）假设存在 联立抛物线：y=-（x+2）2与直线 AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），SACD=1244=8 S
34、EFG与 SACD存在 8 倍的关系，SEFG=64 或 SEFG=1 联立平移抛物线：y=-（x-m）2+2m+4 与直线 AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）点 E 与点 G 横坐标相差 2，即：|xG|-|xE|=2 当顶点 E 在 y 轴左侧时，如答图 2-2，SEFG=SBFG-SBEF=12BF|xG|-12BF|xE|=12BF（|xG|-|xE|）=BF B（0，4），F（0，-m2+2m+4），BF=|-m2+2m|-m2+2m|=64 或|-m2+2m|=1，-m2+2m 可取值为：64、-64、1、-1 当取值为 64 时，一元二次方程-m2+2m=64 无解，
35、故-m2+2m64-m2+2m 可取值为：-64、1、-1 F（0，-m2+2m+4），F 坐标为：（0，-60）、（0，3）、（0，5）同理，当顶点 E 在 y 轴右侧时，点 F 为（0，5）；综上所述，SEFG与 SACD存在 8 倍的关系，点 F 坐标为（0，-60）、（0，3）、（0，5）考点：二次函数综合题 6（1）直线 BD的解析式为：y=x+3 抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）满足条件的点 N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求出直线 BD和抛物线的解析式（2）首先确定MCD 为等腰直角三角形，因为
36、BND与MCD相似，所以BND 也是等腰直角三角形如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个（3）如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据 SPBD=6 的已知条件，列出一元二次方程求解【解析】解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（1，0），B（0，3）把AOB沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，C（1，0）设直线 BD的解析式为：y=kx+b，点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上，330bkb，解得13kb 直线 BD 的解析式为：y=x+3 设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点 B（0，3）在
37、抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1 抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，1）直线 BD：y=x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1，M（2，1）设对称轴与 x轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1，MCD 为等腰直角三角形 以点 N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，BND为等腰直角三角形 如答图 1 所示：（I）若 BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O，N1（0，0）（II）若 BD为直角边，B为直角顶点，则点 N在 x轴负半轴上，OB=OD
38、=ON2=3，N2（3，0）（III）若 BD 为直角边，D为直角顶点，则点 N在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点 N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，假设存在点 P，使 SPBD=6，设点 P坐标为（m，n），（I）当点 P 位于直线 BD上方时，如答图 2 所示，过点 P作 PEx轴于点 E，则 PE=n，DE=m3，SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=12（3+n）m123312（m3）n=6，化简得：7mn P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1 n1=3，n2=8
39、P1（4，3），P2（1，8）（II）当点 P 位于直线 BD下方时，如答图 3 所示，过点 P作 PEy轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3n，SPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=12（3+m）（n）+123312（3n）m=6，化简得：1mn P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3 代入式整理得：m23m+4=0，70 ，此方程无解 此时点 P 不存在 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 SPBD=6，点 P 的坐标为（4，3）或（1，8）【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，三角形面积的求解，解题的关键是掌握二次函数性质
40、、相似三角形的判定与性质，学会利用分类讨论的思想求解问题 7（1）抛物线的解析式为：y=-12x2+32x+2（2）存在E 点坐标为（0，2），（3，2）（3）ADB=45【分析】（1）本题需先根据已知条件，过 C 点，设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2，再根据过 A，B 两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以 A、B 为直角顶点的ABE 不存在，所以ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 由相似关系求出点 E 的坐标；（3）如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，由 BCAD 设 BC 的解析式为 y=kx+b，设AD 的解析式为 y=kx+n
41、，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点 D 坐标，由勾股定理就可以求出 BD 的值，由勾股定理的逆定理就可以得出ACB=90，由平行线的性质就可以得出CAD=90，就可以得出四边形 ACBF 是矩形，就可以得出 BF 的值，由勾股定理求出 DF 的值，而得出 DF=BF 而得出结论【解析】（1）该抛物线过点 C（0，2），可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2 将 A（-1，0），B（4，0）代入，得2016420abab 解得1232ab，抛物线的解析式为：y=-12x2+32x+2（2）存在 由图象可知，以 A、B 为直角顶点的ABE 不存在，所以ABE 只可能是以点 E
42、为直角顶点的三角形 在 RtBOC 中，OC=2，OB=4，BC=22242 5 在 RtBOC 中，设 BC 边上的高为 h，则112 54 222h h=455 BEACOB，设 E 点坐标为（x，y），455yABBC，y=2 将 y=2 代入抛物线 y=-12x2+32x+2 得 x1=0，x2=3 当 y=-2 时，不合题意舍去 E 点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，BED=BFD=AFB=90 设 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得 204bkb 122kb yBC=-12x+2 由 BCAD，设 AD
43、 的解析式为 y=-12x+n，由图象，得 0=-12（-1）+n n=-12，yAD=-12x-12-12x2+32x+2=-12x-12，解得：x1=-1，x2=5 D（-1，0）与 A 重合，舍去；D（5，-3）DEx 轴，DE=3，OE=5 由勾股定理，得 BD=10 A（-1，0），B（4，0），C（0，2），OA=1，OB=4，OC=2 AB=5 在 RtAOC 中，RtBOC 中，由勾股定理，得 AC=5，BC=25，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2 ACB 是直角三角形，ACB=90 BCAD，CAF+ACB=180，CAF=90 CAF=ACB=
44、AFB=90，四边形 ACBF 是矩形，AC=BF=5，在 RtBFD 中，由勾股定理，得 DF=5，DF=BF，ADB=45 考点：二次函数综合题 8(1)y=-12x2+4x-6；(2)SADC=27；(3)点 P 的坐标为(2，-4)或(32，-92)【分析】(1)将 A(6，0)，B(3，32)代入 y=ax2+4x+c，即可求出 a，c 值，进一步写出抛物线解析式；(2)分别求抛物线，直线与坐标轴交点 D，C 的坐标，可直接求出ADC 的面积；(3)先求出OAC=OCA=45，再分类讨论OAP 和DCA 相似的两种情况，求出 AP 长度，可利用特殊角进一步求出相关线段的长度，即可写出
45、点 P 的坐标【解析】解：(1)将 A(6，0)，B(3，32)代入 y=ax2+4x+c，得，3624039122acac，解得，a=-12，c=-6，该抛物线解析式为：y=-12x2+4x-6；(2)将 A(6，0)，B(3，32)代入 y=kx+b，得，60332kbkb，解得，k=-12，b=3，yAB=-12x+3，当 x=0 时，y=3，D(0，3)，OD=3，在抛物线 y=-12x2+4x-6 中，当 x=0 时，y=-6，C(0，-6)，OC=6，DC=OC+OD=9，A(6，0)，OA=6，SADC=12DCOA=27；(3)由(2)知，OC=OA=6，AOC 为等腰直角三角
46、形，OAC=OCA=45，AC=2OA=62，如图所示，连接 OP，过点 P 作 PHOA 于 H，则PHA 为等腰直角三角形，当DCAOAP 时，DCOA=CAAP，即96=6 2AP，AP=42，HP=HA=22AP=4，OH=OA-HA=2，P(2，-4)；当DCAPAO 时，DCPA=CAAO，即9PA=6 26，PA=9 22，HP=HA=92，OH=OA-AH=32，P(32，-92)，综上所述，点 P 的坐标为(2，-4)或(32，-92)【点评】本题考查了待定系数法求解析式，在二次函数图象中求三角形的面积，三角形相似的判定等，解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨
47、论相似情况 9（1）点 A 坐标为（2，0），点 B 坐标为（0，1），21(2)4yx;（2）12 或 28；（3）CDCDCECF为定值，定值为 1【分析】（1）解方程 x22x0 得 x12，x20 即可求得点 A 坐标为（2，0），抛物线解析式为2124yx，把 x0 代入抛物线解析式得 y1，即可得点 B坐标为（0，1）；（2）如图，过 M 作 MHx 轴，垂足为 H，由 ABMN，即可得ABOMHN，根据相似三角形的性质可得14BOHNABMHAOMN，由此求得 MH4，HN8，将 y4 代入抛物线2124yx求得 x12，x26，所以 M1（2，4），N1（6，0），M2（6，4
48、），N2（14，0）,由此求得MNO 的面积即可；（3）设 C（2，m），求得 CD 解析式为 ykx+m2k，令 y0得 kx+m2k0，由此求得点 D为（2kmk，0）；把 CD 的解析式与抛物线的解析式联立221(2)4ykxmkyx，消去 y 得，kx+m2k14（x2）2 化简得 x24（k+1）x+44m+8k0，由根与系数关系得，x1+x24k+4，x1x244m+8k过 E、F 分别作 EPCA于 P，FQCA于 Q，由 ADEP，ADFQ，可得CDCDCECFADADEPFQADEPFQEP FQ（2kmk2）121212424xxxxxx4444482 444kmkmkk1
49、，由此可得CDCDCECF为定值，定值为 1【解析】（1）解方程 x22x0 得 x12，x20 点 A 坐标为（2，0），抛物线解析式为2124yx 把 x0 代入抛物线解析式得 y1 点 B 坐标为（0，1）（2）如图，过 M 作 MHx 轴，垂足为 H ABMN ABOMHN 14BOHNABMHAOMN MH4，HN8 将 y4 代入抛物线2124yx 可得 x12，x26 M1（2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,1116 4122M N OS 221144282M N OS （3）设 C（2，m），设直线 CD 为 ykx+b 将 C（2，m）代入上式，m2
50、k+b，即 bm2k CD 解析式为 ykx+m2k，令 y0 得 kx+m2k0，点 D 为（2kmk，0）联立221(2)4ykxmkyx，消去 y 得，kx+m2k14（x2）2 化简得，x24（k+1）x+44m+8k0 由根与系数关系得，x1+x24k+4，x1x244m+8k 过 E、F 分别作 EPCA 于 P，FQCA于 Q，ADEP，ADFQ，CDCDCECFADADEPFQADEPFQEP FQ （2kmk2）121212424xxxxxx 4444482 444kmkmkk 1 CDCDCECF为定值，定值为 1【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的