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1、中考专题训练：二次函数与特殊的三角形 1如图，已知与抛物线 C1 过 A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）.（1）求抛物线 C1 的解析式（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，D 为第四象限内的一点，若CPD 为等腰直角三角形，求出 D 点坐标 2在平面直角坐标系中，抛物线 y=-3x13（x-3）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴交于 C 点.（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 P 在抛物线上，且PBA=60，求点 P 的坐标.3已知一次函数 yx+1 与抛物线 yx2+bx+c交 A（m，9），B（
2、0，1）两点，点 C 在抛物线上且横坐标为6（1）写出抛物线的函数表达式；（2）判断ABC 的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点 Q在直线 AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的 Q 的坐标，如果不存在，说说你的理由 4 二次函数 y=2169mmmxx的图象与 x 轴交于点 A 和点 B，以 AB 为边在 x 轴下方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最
3、大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由 5定义：在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ya（xm）+k 称为抛物线 ya（xm）2+k 的关联直线（1）求抛物线 yx2+6x1 的关联直线；（2）已知抛物线 yax2+bx+c 与它的关联直线 y2x+3 都经过 y 轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线 ya（x1）2+4a 与它的关联直线交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 x 轴负半轴交于点 C，连结 AC、BC当ABC 为直角
4、三角形时，求 a 的值 6如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx3 交 x轴于点 A（3，0）、B（1，0），在 y 轴上有一点 E（0，1），连接 AE（1）求二次函数的表达式；（2）若点 D为抛物线在 x轴负半轴下方的一个动点，求ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P点的坐标；若不存在，请说明理由 7如图，已知直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的
5、面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M 的坐标 8如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点 O，矩形 ABCD 的顶点 A，D 在抛物线上，且 AD 平行 x 轴，交 y 轴于点 F，AB 的中点 E 在 x 轴上，B 点的坐标为（2，1），点 P（a，b）在抛物线上运动（点 P 异于点 O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点 P 作 CB 所在直线的垂线，垂足为点 R，求证：PF=PR；是否存在点 P，使得PFR 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；延长 PF 交抛物线于另一点 Q，过 Q 作
6、BC 所在直线的垂线，垂足为 S，试判断RSF 的形状 9如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点 B 的坐标为（1，0）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D，交线段 AB 于点 E，使 PE=12DE 求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 10如图，抛物线2144yxbx 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且2,0B.（1）求抛物线的解
7、析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点0,Mm是y轴上的一个动点，当AMDM的值最小时，求m的值.11如图，在平面直角坐标系中，抛物线216yxbxc经过原点 O，与 x 轴交于点 A(5，0)，第一象限的点 C(m，4)在抛物线上，y 轴上有一点 B(0，10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；()点0,nP在线段 OB 上，点 Q 在线段 BC 上，若2OPBQ，且PAQA,求 n 的值；()在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.12如图，已知直线1yx与抛物线2ya
8、x2xc相交于点1,0A 和点2,Bm两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当PAB的面积S最大时，求此时PAB的面积S及点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点Q，使QAB是等腰三角形？若存在，直接写出Q点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.13抛物线 yax2+bx3（a0）与直线 ykx+c（k0）相交于 A（1，0）、B（2，3）两点，且抛物线与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）求出 C、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点 P，若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求出点 P 的坐标 14如图，在平面直角坐标系中
9、，二次函数 y13x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（4，0），连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ（1）填空：b ，c ；（2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点 M 在抛物线上，且AOM 的面积与AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标 15如图 1，
10、抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A（5，0）B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点，若点 P 是抛物线上的动点，设点 P 的横坐标为 t（1t2），过点 P 作 PQx 轴于点 Q 作 PMx 轴交抛物线于另一点 M，以 PQ，PM 为邻边作矩形 PQNM，矩形 PQNM 的周长为 l （1）求抛物线的函数表达式；（2）求 1 与 t 的函数关系式，并求 l 的最大值；（3）当 l12 时连接对角线 PN，在线段 PN 上取一点 D（点 D 与点 P，N 不重合），连接 DM，过点 D 作DEDM 交 x 轴于点 E DEDM的值为 ；是否存在点 D使DEN 是等腰三角形若存在请
11、直接写出符合条件的点 D 的坐标；若不存在请说明理由 16如图，已知二次函数 yax2+32x+c（a0）的图象与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B、C，点 C坐标为（8，0），连接 AB、AC（1）求出二次函数表达式；（2）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合），过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点 N 的坐标 17如图 1,二次函数 y=ax2+bx-2(a0)的图象与 x 轴交于 A(-4,0)、B(1,0)两
12、点，与 y 轴交于点 C(1)求这个二次函数的表达式：(2)点 M 在该抛物线的对称轴上，当ACM 是直角三角形时，求点 M 的坐标；(3)如图 2,点 D 在 y 轴上，且 CD=OA,连接 AD,点 E、F 分别是线段 OA,AD 上的动点，求 EF+OF 的最小值 18如图，已知抛物线21yaxbx经过(1,0)A、(1,1)B两点，（1）求抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线111lk xb（1k、1b为常数，且10k），直线222lk xb（2k、2b为常数，且20k），若12ll，则121k k 解决问题：若直线31yx与直线2ymx互相垂直，求m的值；在抛
13、物线上是否存在点P，使得PAB 是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A、B重合），求点M到直线AB 距离的最大值 19如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y13x+2 的图象交 x 轴于点 P，二次函数 y12x2+32x+m的图象与 x 轴的交点为（x1，0）、（x2，0），且21x+22x17（1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标（2）若二次函数 y12x2+32x+m的图象与一次函数 y13x+2 的图象交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），在 x轴上是否存在点 M，使得MAB
14、 是以ABM 为直角的直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 20如图，直线 yx+3 与 x轴、y 轴分别交于 B、C两点，经过 B、C两点的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P（1）求该抛物线的解析式；（2）当 0 x3 时，在抛物线上求一点 E，使CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 1（1）y=x2-2x-3，（2）D1(4，-1)，D2(3，-4)，D3(2，-2)【分析】（1）设解析式为
15、 y=a(x-3)(x+1),把点 C（0，-3）代入即可求出解析式;（2）根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标.【解析】（1）设解析式为 y=a(x-3)(x+1),把点 C（0，-3）代入得-3=a（-3）1 解得 a=1，解析式为 y=x2-2x-3，（2）如图所示，对称轴为 x=1，过 D1作 D1Hx 轴，CPD 为等腰直角三角形，OPCHD1P，PH=OC=3，HD1=OP=1，D1（4，-1）过点 D2Fy 轴，同理OPCFCD2,FD2=3，CF=1，故 D2（3，-4）由图可知 CD1与 PD2交于 D3,此时 PD3CD3，且 PD3=CD3，PC=221
16、3=10，PD3=CD3=5 故 D3(2，-2)D1(4，-1)，D2(3，-4)，D3(2，-2)使CPD 为等腰直角三角形.【点评】此题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.2（1）A（-1,0），B（3,0），C（0，3）;(2)见解析;(3)（2，3）或 C（-4，-73）.【分析】（1）抛物线与 x 轴相交，则 y=0；与 y 轴相交，则 x=0，计算结果即可（2）根据三个点的坐标画图即可观察得到（3）点 P 在抛物线上，且PBA=60，画图求解即可.【解析】抛物线与 x 轴相交，则 y=0；与 y 轴相交，则 x=0
17、，A（-1,0），B（3,0），C（0，3）.（2）根据三点坐标，画图可知，ABC 是直角三角形（3）设 P（m，=-33 m 1（m-3），过点 P 作 PHx 轴于点 H，PBA=60，PH=3BH,-33 m 1（m-3）=3(3-m)或33 m 1（m-3）=3(3-m)，解之，得 m=2，或-4，点 P 的坐标为（2，3）或（-4，-73）【点评】此题重点考察学生对二次函数的理解，掌握二次函数的性质和解法是解题的关键.3（1）yx27x+1；（2）ABC 为直角三角形理由见解析；（3）符合条件的 Q 的坐标为（4，1），（24，1），（0，7），（0，13）【分析】（1）先利用一次函
18、数解析式得到 A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定 C（6，5），作 AMy 轴于 M，CNy 轴于 N，如图，证明ABM 和BNC都是等腰直角三角形得到MBA45，NBC45，AB82，BN62，从而得到ABC90，所以ABC 为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出 AC102，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到 RtABC 的内切圆的半径22，设ABC 的内心为 I，过 A 作 AI 的垂线交直线 BI 于 P，交 y 轴于 Q，AI 交 y 轴于 G，如图，则 AI、BI 为角平分线，BIy 轴，PQ 为ABC 的外角平分线，易得 y 轴为AB
19、C 的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点 P、I、Q、G 到直线 AB、BC、AC 距离相等，由于 BI2224，则 I（4，1），接着利用待定系数法求出直线 AI 的解析式为 y2x7，直线 AP 的解析式为 y12x+13，然后分别求出P、Q、G 的坐标即可【解析】解：（1）把 A（m，9）代入 yx+1 得 m+19，解得 m8，则 A（8，9），把 A（8，9），B（0，1）代入 yx2+bx+c 得64+8+91b cc，解得-71bc，抛物线解析式为 yx27x+1；故答案为 yx27x+1；（2）ABC 为直角三角形理由如下：当 x6 时，yx27x+13642+15，则 C
20、（6，5），作 AMy 轴于 M，CNy 轴于 N，如图，B（0，1），A（8，9），C（6，5），BMAM8，BNCN6，ABM 和BNC 都是等腰直角三角形，MBA45，NBC45，AB82，BN62，ABC90，ABC 为直角三角形；（3）AB82，BN62，AC102，RtABC 的内切圆的半径6 2+8 2-10 2=2 22，设ABC 的内心为 I，过 A 作 AI 的垂线交直线 BI 于 P，交 y 轴于 Q，AI 交 y 轴于 G，如图，I 为ABC 的内心，AI、BI 为角平分线，BIy 轴，而 AIPQ，PQ 为ABC 的外角平分线，易得 y 轴为ABC 的外角平分线，点
21、I、P、Q、G 为ABC 的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线 AB、BC、AC 距离相等，BI2224，而 BIy 轴，I（4，1），设直线 AI 的解析式为 ykx+n，则4189knkn，解得27kn，直线 AI 的解析式为 y2x7，当 x0 时，y2x77，则 G（0，7）；设直线 AP 的解析式为 y12x+p，把 A（8，9）代入得4+n9，解得 n13，直线 AP 的解析式为 y12x+13，当 y1 时，12x+131，则 P（24，1）当 x0 时，y12x+1313，则 Q（0，13），综上所述，符合条件的 Q 的坐标为（4，1），（24，1），（0，7），（0，1
22、3）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键 4（1）m=2，A（3，0），B（1，0）；（2）P 为 AO 中点时，OE 的最大值为916；（3）存在，见解析.【分析】（1）利用二次函数的定义求出 m 的知，再令 y=0 即可得出点 A，B 坐标；（2）设 PA=t（-3t0），则 OP=3-t，如图 1，证明DAPPOE，利用相似比得到 OE=-21344tt，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）讨论：当点 P 在 y 轴左侧时，如图 2，DE 交 AB 于 G
23、点，证明DAPPOE 得到 PO=AD=4，则 PA=1，OE=1，再利用平行线分线段成比例定理计算出 AG=125，则计算 SDAG即可得到此时PED 与正方形 ABCD重叠部分的面积；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得DAPPOE，则 PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行线分线段成比例定理计算出 OG 和 BQ，然后计算 S四边形DGBQ得到此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积当点 P 和点 A 重合时，点 E 和和点 O 重合，此时，PED 不是等腰三角形【解析】（1）二次函数 y=（m1）2mmx6x+9，m2+m=2 且 m
24、10，m=2，二次函数解析式为 y=3x26x+9，令 y=0，0=3x26x+9，x=1 或 x=3，A（3，0），B（1，0）；（2）设 PA=t（3t0），则 OP=3t，DPPE，DPA=PEO，DAPPOE，APADOEPO，即43tOEt，OE=14t2+34t=14（t32）2+916，当 t=32时，OE 有最大值，即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为916；（3）存在 当点 P 在 y 轴左侧时，如图 1，DE 交 AB 于 G 点，PD=PE，DPE=90，DAPPOE，PO=AD=4，PA=1，OE=1，ADOE，AGADOGOE=4，AG=125，SDAG=121
25、254=245，P 点坐标为（4，0），此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为；245当 P 点在 y 轴右侧时，如图 2，DE 交 AB 于 G 点，DP 与 BC 相交于 Q，同理可得DAPPOE，PO=AD=4，PA=7，OE=7，ADOE，47AGADOGOE，OG=2111，同理可得 BQ=127，S四边形DGBQ=12（2111+1）4+124127=71277 当点 P 的坐标为（4，0）时，此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为71277 当点 P 和点 A 重合，此时，点 E 和点 O 重合，DPOP，此时，PDE 不是等腰三角形 【点评】本题考查了二次函
26、数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会利用全等和相似的知识解决线段之间的关系和进行几何计算；理解坐标与图形性质；会运用分类的思想解决数学问题 5（1）yx+310 x7；（2）y2x2+3 或 y2（x+1）2+1；（3）a=1 或 a=22.【分析】（1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；（2）由题意可得 a=2，c=3，设抛物线的顶点式为 y=2（x-m）2+k，可得22323mkmk，可求 m 和 k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得 A（1，4a），B（2，3a），C
27、（-1，0），可求 AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分 BC，AC 为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求 a 的值【解析】解：（1）yx2+6x1（x+3）210，关联直线为 yx+310 x7；（2）抛物线 yax2+bx+c 与它的关联直线 y2x+3 都经过 y轴上同一点，a2，c3，可设抛物线的顶点式为 y2（xm）2+k，则其关联直线为 y2（xm）+k2x2m+k，22323mkmk，解得03mk或11mk，抛物线解析式为 y2x2+3 或 y2（x+1）2+1；（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（1，0），AB21+a2，BC29+9a2，A
28、C24+16a2，显然 AB2BC2 且 AB2AC2，故 AB不能成为ABC的斜边，当 AB2+BC2AC2 时：1+a2+9+9a24+16a2解得 a1，当 AB2+AC2BC2时：1+a2+4+16a29+9a2解得 a=22，抛物线的顶点在第一象限，a0，即 a=1 或 a=22.【点评】本题是二次函数综合题，考查了直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用 6(1)二次函数解析式为 yx2+2x3；(2)ADE 的面积取得最大值为16924；（3）点 P 的坐标为（1，6）或（1，6）或（
29、1，1）或（1，2）或（1，4）【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求出直线AE的解析式为113yx，作OGx轴，延长DG交AE于点F，设2,23D m mm，则1,13F mm，2543DFmm，根据ADEADFDEFSSS可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线=1x，据此设1,Pn，由30A ,，0,1E知224APn，210AE，2211PEn，再分APAE，APPE及AEPE三种情况分别求解可得.【解析】解：（1）二次函数 yax2+bx3 经过点 A（3，0）、B（1，0），933030abab，解得：12ab，二次函数解析式
30、为 yx2+2x3；（2）设直线 AE的解析式为 ykx+b，过点 A（3，0），E（0，1），301kbb，解得：131kb，直线 AE 解析式为113yx，如图，过点 D 作 DGx 轴于点 G，延长 DG交 AE 于点 F，设 D（m，m2+2m3），则 F（1,13mm），DFm22m+3+13m+1m253m+4，SADESADF+SDEF 12DFAG+12DFOG 12DF（AG+OG）123DF 32（m253m+4）32m252m+6 32（m+56）2+16924，当 m56时，ADE的面积取得最大值为16924（3）yx2+2x3（x+1）24，抛物线对称轴为直线 x1，
31、设 P（1，n），A（3，0），E（0，1），AP2（1+3）2+（n0）24+n2，AE2（0+3）2+（10）210，PE2（0+1）2+（1n）2（n1）2+1，若 APAE，则 AP2AE2，即 4+n210，解得 n6，点 P（1，6）或（1，6）；若 APPE，则 AP2PE2，即 4+n2（n1）2+1，解得 n1，P（1，1）；若 AEPE，则 AE2PE2，即 10（n1）2+1，解得 n2 或 n4，P（1，2）或（1，4）；综上，点 P的坐标为（1，6）或（1，6）或（1，1）或（1，2）或（1，4）【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解
32、析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点.7（1）抛物线解析式为：y=x2+2x3；（2）6；（3）存在M1（1，6），M2（1，6），M3（1，0），M4（1，1）【分析】（1）根据直线解析式求出点 A 及点 B 的坐标，然后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出 b、c 的值，求出抛物线解析式（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点 C 的坐标，继而求出 AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算（3）根据点 M 在抛物线对称轴上，可设点 M 的坐标为（1，m），分三种情况讨论，AM=AB，BM=AB，AM=BM，求出 m 的值
33、后即可得出答案【解析】解：（1）直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，可得 A（1，0），B（0，3），把 A、B 两点的坐标分别代入 y=x2+bx+c 得：1bc0c3，解得：b2c3 抛物线解析式为：y=x2+2x3（2）令 y=0 得：0=x2+2x3，解得：x1=1，x2=3 C 点坐标为：（3，0），AC=4，SABC=12ACOB=1243=6（3）存在 易得抛物线的对称轴为：x=1，假设存在 M（1，m）满足题意，根据勾股定理，得222222AB1310AM2mBM1m3，分三种情况讨论：当 AM=AB 时，222m10，解得：m6 M1（1，6），M2（1
34、，6）当 BM=AB 时，221m310，解得：M3=0，M4=6 M3（1，0），M4（1，6）（不合题意舍去）当 AM=BM 时，22222m1m3，解得：m=1 M5（1，1）综上所述，共存在四个点使ABM 为等腰三角形，坐标为 M1（1，6），M2（1，6），M3（1，0），M4（1，1）8（1）y=14x2（2）证明见解析（23，3）、（23，3）直角三角形【解析】解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D 关于抛物线的对称轴对称 E 是 AB 的中点，O 是矩形 ABCD 对角线的交点 又B（2，1），A（2，1）、D（2，1）抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则
35、有：4a=1，a=14 抛物线的解析式为：y=14x2（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，14a2），而 R（a，1）、F（0，1），则：PF=2222422211111a0+a+1=a+a+1=a+1=a+1416244 PR=222211aa+a1=a+144，PF=PR RF=2a+4，若PFR 为等边三角形，则由得 RF=PF=PR，得：2a+4=21a+14，即：a48a248=0，得：a2=4（舍去），a2=12 a=23，14a2=3 存在符合条件的 P 点，坐标为（23，3）、（23，3）同可证得：QF=QS 在等腰SQF 中，1=12（180SQF）同理，在等腰 RPF
36、中，2=12（180RPF）QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=180 1+2=12（360SQFRPF）=90 SFR=18012=90，即SFR 是直角三角形（1）根据题意能判断出点 O 是矩形 ABCD 的对角线交点，因此 D、B 关于原点对称，A、B 关于 x 轴对称，得到 A、D 的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点 P 的坐标，然后表示出 PF、RF 的长，两者进行比较即可得证 首先表示 RF 的长，若PFR 为等边三角形，则满足 PF=PR=FR，列式求解即可 根据的思路，不难看出 QF=QS，若连接 SF、RF
37、，那么QSF、PRF 都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP 的和，用 180减去这个和值即可判断出RSF 的形状 9（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+11）或（1，311）或（1，1）或（1，132）【分析】（1）先根据已知求点 A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得 AB 的解析式为：y=-2x+2，根据 PDx 轴，设 P（x，-x2-3x+4），则 E（x，-2x+2），根据 PE=12DE，列方程可得 P 的坐标；先设点 M 的坐标，根据两点距离公式可得 AB，AM，BM 的长，分三种情况：ABM 为直角三角形时，分别以
38、A、B、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点 M 的坐标【解析】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC 中，tanABC=2，AC2BC，AC23，AC=6，A（2，6），把 A（2，6）和 B（1，0）代入 y=x2+bx+c 得：42610bcbc ，解得：34bc，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB 的解析式为：y=2x+2，设 P（x，x23x+4），则 E（x，2x+2），PE=12DE，x23x+4（2x+2）=12（2x+2），x=-1 或 1（舍），P（1，6）；M 在直线 PD 上，且 P（1
39、，6），设 M（1，y），B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有 AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45，解得：y=311，M（1，3+11）或（1，311）；ii）当ABM=90时，有 AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2，y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有 AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2，y=132，M（1，132）；综上所述，点 M 的坐标为：M（1，3+11）或（1，3
40、11）或（1，1）或（1，132）【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用 10（1）2125344yx，顶点D的坐标为253,4；（2）ABC为直角三角形，理由见解析；（3）5011m 【分析】（1）把点2,0B代入解析式，求出 b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2）当0 x 时，4y，0,4C，即4OC.0y 令，求出8,0A，根据勾股定理求出 AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）作出点A关于y轴的对称点A，则8,0A，连接AD交y轴于点M，
41、根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MAMD的值最小，求出直线A D的解析式即可求解.【解析】解：（1）点2,0B在抛物线2144yxbx 上，2122404b，解得32b 抛物线的解析式为213442yxx，又2211256163444yxxx 顶点D的坐标为253,4.（2）ABC为RT，理由如下：当0 x 时，4y，0,4C，4OC.当0y 时，2134042xx，18x ，22x ，8,0A 8OA，2OB，10AB.2100AB，22280ACOAOC，22220BCOBOC 222ACBCAB.ABC是直角三角形.（3）作出点A关于y轴的对称点A，则8,0A，连接AD交y轴于点M，
42、根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MAMD的值最小，设直线A D的解析式为ykxn，则802534knkn，解得2544k，5011n 25504411yx.当0 x 时，5011y，5011m 【点评】属于二次函数综合题，考查抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，轴对称-最短路线问题，综合性比较强.11()21566yxx；对称轴为直线52x；()203n；()点M的坐标为5 5 19(,)22，55 19(,)22，5 205 19(,)22，5 205 19(,)22【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据 x=-2ba得出对称轴即可；（）把
43、C（m，4）代入解析式求出 m 的值，可得 C 点坐标，过 C 作CEx轴，垂足为 E，连接 AB根据勾股定理求出 AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理可得BCA=90，利用 HL 可证明Rt AOPRt ACQ，即可得出 OP=CQ，根据 OP=2BQ 列方程求出 n 的值即可；（）分别讨论 AB=AM、BM=BA、MA=MB 三种情况，设点 M 的坐标为52t，利用勾股定理列方程求出 t 的值即可.【解析】（）抛物线经过原点 O，抛物线解析式为216yxbx 抛物线与 x 轴交于点(5，0)，25056b，解得56b 抛物线解析式为21566yxx 55612226bxa，抛物线的对
44、称轴为直线52x （）点 C 在抛物线21566yxx上，215466mm，解得13m (舍)，28m 点 C 坐标为(8，4)过 C 作CEx轴，垂足为 E，连接 AB 在Rt AEC中，222223425ACCEAE 同理，可求得2100BC，2125AB 222ACBCAB 90BCA 在Rt AOP和Rt ACQ中，OAAC，PAQA，Rt AOPRt ACQ OPCQ 2OPBQ，12BQn，1102CQn 1102nn，解得203n （）抛物线的对称轴为52x，设点 M 的坐标为52t，当AB=AM，BAM为顶角时，2222551052t，解得5 192t 当BMBA，MBA为顶角
45、时，22225510102t，解得205 192t 当MAMB，BMA为顶角时，22225551022tt，解得5t 此时点552，为 AB 的中点，与点 A，B 不构成三角形 综上可得，点 M 的坐标为5 5 19,22，55 19,22，5 205 19,22，5 205 19,22【点评】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式、二次函数的几何应用，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.12（1）所求抛物线的函数表达式为223yxx；（2）PAB的面积S有最大值是278，此时点P坐标为1 15(,)24；（3）存在点Q坐标为(3 21,0)或(3 21,0)或(5,0)或(2,0)
46、.【分析】（1）先根据点 B 在直线 y=x+1 求出其坐标，再将 A，B 坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）作 PMx 轴于点 M，交 AB 于点 N，设点 P 的坐标为（m，-m2+2m+3），点 N 的坐标为（m，m+1），依据 SPAB=SPAN+SPBN列出函数解析式，利用二次函数的性质求解可得；（3）设点 Q 坐标为（n，0），结合各点坐标得出 QA2=（-1-n）2，QB2=（2-n）2+9，AB2=18，再根据等腰三角形的定义分三种情况分别求解可得【解析】解（1）点2,Bm在直线1yx上，2 13m，点B坐标为2,3，点1,0A 和点2,3B在抛物线22yaxxc上，2044
47、3acac，解得13ac，所求抛物线的函数表达式为223yxx；（2）过点P作PMx轴于点M，交AB于点N，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为2,23mmm，点N的坐标为(,1m m），点P是位于直线AB上方，PNPMMN 223(1mmm）2=2mm.PAB的面积PANPBNSSS 21212mmm 222113222122222mmmmmmmmm 23127228m,302 抛物线开口向下，又12m，当12m 时，PAB的面积S有最大值，最大值是278.此时点P坐标为1 15,24；（3）存在点Q坐标为3 21,0或3 21,0或5,0或2,0.【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键
48、是掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的定义等知识点 13（1）yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+2，2）.【分析】（1）把 A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入 yax2+bx3 可得抛物线解析式（2）当 x0 时可求 C点坐标，求出直线 AB解析式，当 x0 可求 D点坐标（3）由题意可知 P 点纵坐标为2，代入抛物线解析式可求 P 点横坐标【解析】解：（1）把 A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入 yax2+bx3 可得 304233abab 解得12ab yx22x3（2）把 x0 代入 yx22x3 中可得 y3
49、C（0，3）设 ykx+b，把 A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入 023kbkb 解得11kb yx1 D（0，1）（3）由 C（0，3），D（0，1）可知 CD 的垂直平分线经过（0，2）P 点纵坐标为2，x22x32 解得：x12，x0 x1+2 P（1+2，2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把 x0 代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与 y轴交点坐标，知道点 P 纵坐标带入抛物线解析式可求点 P的横坐标 14（1）13，4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或 M(1972,-4）或 M(1972,-4）【分析】(1)设抛物
50、线的解析式为 y=a（x+3）（x-4）将 a=-13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b、c 的值；（2）先求得点 C 的坐标，依据勾股定理可求得 AC=5，则 PC=5-t，AQ=3+t,再判断当APQ 是直角三角形时，则APQ90，从而得出AOC APQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根据点 M 在抛物线上，设出点 M 的坐标为（m，13m2+13m+4），再根据AOM 的面积与AOC 的面积相等，从而得出13m2+13m+4=4，解方程即可【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ya（x+3）（x4）将 a13代入得：y13x2+13x+4，b13，c4（2）在点 P、Q 运动过