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1、第二章 平面向量 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：_;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_记作：_（2）
2、零向量：_，记作：_（3）单位向量：_（4）平行向量：_（5）共线向量：_（6）相等向量与相反向量：_ 思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形_（2）平行向量与共线向量的关系：_（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：_【典型例题】例 1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量a和b是共线向量，/bc，则a和c是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量；例 2.已知O是正六边形ABCDEF的中心，在图中标出的向量中
3、：（1）试找出与EF共线的向量；（2）确定与EF相等的向量；（3）OA与BC相等吗 【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB和CD是共线向量，则ABCD、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABCD；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy中，已知|2OA，则A点构成的图形是_ 3.四边形ABCD中，则四边形ABCD的形状是_ 4.设0a，则与a方向相同的单位向量是_ 5.若EFMN、分别是四边形ABCD的边ABBCCDDA、的中点。求证：/EFNM 6.
4、已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 2km到达丁地，问：丁地在甲地的什么方向丁地距甲地多远 【课堂小结】ODCBAFE 向量的加法 【学习目标】1.掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；【自主学习】1.向量的和、向量的加法：已知向量a和b，_ 则向量OB叫做a与b的和，记
5、作：_ _叫做向量的加法 注意：两个向量的和向量还是一个向量；2.向量加法的几何作法：（1）三角形法则的步骤：OA就是所做的ab （2）平行四边形法则的步骤：OC就是所做的ab 注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角a b A B O b a 形法则对于任何两个向量都适用。3.向量加法的运算律：（1）向量加法的交换律：_（2）向量加法的结合律：_ 思考：如果平面内有n个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n条向量的和是什么_ 【例题讲解】例 1.如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）OAOC （2）BCEF （3）OAFE
6、例 2.化简下列各式（1）ABBCCDDAEA （2）ABMBBOOM （3）ABDFCDBCFA （4）()ABCDBCDBBC 例 3.在长江南岸某处，江水以12.5/km h的速度向东流，渡船的速度为25/km h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定 F E D C B A O【课堂练习】1.已知,a b，求作：ab（1）（2）2.已知O是平行四边形ABCD的交点，下列结论正确的有_（1）ABCBAC （2）ABADAC（3）ADCDBD （4）0AOCOOBOD 3.设点O是ABC内一点，若0OAOBOC，则点O为ABC的_心；4.对于任意的,a b，不等式|ababab成立吗请说
7、明理由。【课堂小结】bab a 向量的减法 【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算 4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则 难点：三角形法则，向量加、减混合运算【自主学习】1.向量的减法：a与b的差：若_，则向量x叫做a与b的差，记为_ 向量a与b的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。2.向量ab的减法的作图方法：作法：_ _ _ 则BAab 3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 ()abab 4.关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连
8、接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.以向量,ABa ADb为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为,ACabBDba，DBab这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解；对于任意一点O，ABOBOA，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.【例题讲解】例 1.已知向量,a b c d，求作向量：,ab cd；思考：如果/ab，怎么做出ab 例 2.已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若,ABa DAb OCc试证明：bcaOA 本题还可以考虑如下方法：1.（1）OAOCCAOCCBCD（2）caOCABOCDCODOAAD 2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和
9、。例 3.化简下列各式（1）()ABBCBDAD（2）ABDABDBCCA（3）()()ABDCACBD 【课堂练习】1.在ABC中，90C，ACBC，下列等式成立的有_ cdbaa c b O B A C D（1）|CACBCACB（2）|ABACBABC（3）|CABACBAB（4）222|CACBABACBACA 2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交与O点，且,AOOC BOOD，求证：四边形ABCD是平行四边形。3.如图，ABCD是一个梯形，/,2ABCD ABCD，,M N分别是,DC AB的中点，已知,ABa ADb试用,a b表示BC和MN 【课堂小结】N M D C B
10、 A 向量的数乘（1）【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；【自主学习】1.向量的数乘的定义：一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作：_；它的长度和方向规定如下：（1）|aa（2）当0时，_；当0时，_；当0时，_；_叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义：_统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知,a作ba 当0时，把a按原来的方向变为原来的倍；当0时，把a按原来的相反方向变为原来的倍；4.向量的数乘满足的
11、运算律：设,为任意实数，,a b为任意向量，则（1）结合律 _（2）分配律 _ 注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。【典型例题】例 1.已知向量,a b，求作：（1）向量2.5a （2）23ab 例 2.计算（1）(5)4a（2）5()4()3ababa（3）2(263)3(342)abcabc 注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的
12、数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。例 3.已知,OA OB是不共线的向量，,()APtAB tR，试用,OA OB表示OP b a BPAO 例 4.已知：ABC中，D为BC的中点，,E F为,AC BA的中点，,AD BE CF相交于O点，求证：（1）1()2ADABAC（2）0ADBECF（3）0OAOBOC 【课堂练习】1.计算：（1）3(53)2(6)abab（2）4(35)2(368)abcabc 2.已知向量,a b且3()2(2)4()0,xaxaxab求x O F E D C B A 3.在
13、平行四边形ABCD中，,3,ABa ADb ANNC M为BC的中点，用,a b来表示MN 4.如图，在ABC中，,ABa BCb AD为边BC的中线，G为ABC的重心，求向量AG 【课堂小结】b a G D C B A 向量的数乘（2）【学习目标】1.理解并掌握向量的共线定理；2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；【自主学习】1.向量的线性表示：若果,(0)ba a，则称向量b可以用非零向量a线性表示；2.向量共线定理：思考：向量共线定理中有0a 这个限制条件，若无此条件，会有什么结果 【典型例题】例 1
14、.如图，,D E分别是ABC的边,AB AC的中点，（1）将DE用BC线性表示；（2）求证：BC与DE共线；例2.设12,e e是两个不共线的向量，已知1212122,3,2ABeke CBee CDee，若,A B D三点共线，求k的值。E D C B A 变式：设12,e e是两个不共线的向量,已知 12121228,3,2ABee CBee CDee,求证：,A B D三点共线。例 3.如图，OAB中，C为直线AB上一点，,(1),ACBC 求证：1OAOBOC 思考：（1）当1时，你能得到什么结论 （2）上面所证的结论：1OAOBOC表明：起点为O，终点为直线AB上一点C的向量OC可以
15、用,OA OB表示，那么两个不共线的向量,OA OB可以表示平面上任意一个向量吗 例 4.已知向量121223,23,aee bee其中12,e e不共线，向量1229cee，是否存在实数,，使得dab与c共线 例 5.平面直角坐标系中，已知(3,1),(1,3),AB 若点C满足,OCOAOB其中,R,A B C三点共线，求的值；【课堂练习】1.已知向量122122,3(),aee bee 求证：,a b为共线向量；2.设12,e e是两个不共线的向量，12122,aee bkee若,a b是共线向量，求k的值。3.求证：起点相同的三个非零向量,32a b ab的终点在同一直线上。【课堂小结
16、】231 平面向量基本原理 【学习目标】1 了解平面向量的基本定理及其意义；2 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：3 提高学生分析问题、解决问题的能力。【预习指导】1、平面向量的基本定理 如果1e，2e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e 2.、基底：平面向量的基本定理中的不共线的向量1e,2e，称为这一平面内所有向量的一组基底。思考：（1）向量作为基底必须具备什么条件（2）一个平面的基底唯一吗 答：（1）_ （2）_ 3、向量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底1e,2e 表示成a=11e+22e的形式，我们
17、称它为向量的分解，当1e,2e互相垂直时，就称为向量的正交分解。4、点共线的证明方法：_ 【典例选讲】例 1：如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M，AB=a,AD=b试用 a,b，表示MC,MA,MB 和MD。D C M b A B a 例 2：设1e，2e 是平面的一组基底，如果 AB=31e 22e，BC=41e+2e，CD=81e 92e，求证：A、B、D 三点共线。例 3：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM=21AB，点 N 在 BC 上，且 BN=31BC，用向量法证明：M、N、D 三点共线。D C N A B M
18、【课堂练习】1、若1e，2e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（）A、1e 22e 和1e+22e B、1e与 32e C、21e+32e和-41e62e D、1e+2e与1e 2、若1e，2e是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（）A、若实数1，2使11e+22e=0，则1=2=0 B、空间任意向量都可以表示为a=11e+22e，1，2R C、11e+22e，1，2R 不一定表示平面内一个向量 D、对于这一平面内的任一向量a，使a=11e+22e的实数对1，2有无数对 3、三角形 ABC 中，若 D，E，F 依次是 AB 四等分点，则以 CB=1e，
19、CA=2e 为基底时，用1e，2e表示CF B F E D A C 4、若a=-1e+3 2e,b=4 1e+2 2e,c=-31e+122e,写出用1b+2c 的形式表示a 【课堂小结】232 向量的坐标表示(1)【学习目标】1、能正确的用坐标来表示向量；2、能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、掌握平面向量的直角坐标运算；4、提高分析问题的能力。【预习指导】1、一般地，对于向量 a ，当它的起点移至_时，其终点的坐标),(yx称为向量a 的（直角）坐标，记作_。2、有 向线段 AB 的 端点 坐 标为),(,),(2211yxByxA，则 向 量 AB 的 坐 标为_。3、若a=),(11
20、yx，)22,(yxb a+b=_。ba_。【典型例题选讲】例 1：如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，060,34xOAOA，求向量OA 的坐标。例 2：已知 A（-1，3），B（1，-3），C(4,1),D(3,4),求向量 CDAOOBOA,的坐标。例 3：平面上三点 A（-2,1），B（-1,3），C（3，4）,求 D 点坐标，使 A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。例 4：已知 P1（11,yx ），P2（22,yx），P 是直线 P1P2上一点，且)1(21PPPP，求 P 的坐标。【课堂练习】1、与向量)5,12(a平行的单位向量为_ 2、若 O（0,0
21、）,B(-1,3)且/OB=3OB，则/B 坐标是：_ 3、已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限，OA=2,0150 xOA 求向量 OA 的坐标。4、已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求 BDBCACAB,的坐标。【课堂小结】232 向量的坐标表示（2）【学习目标】1、进一步掌握向量的坐标表示；2、理解向量平行坐标表示的推导过程；3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。【预习指导】1、向量平行的线性表示是_ 2、向量平行的坐标表示是：设),(11yxa ，)0)(,(22ayxb，如果ab，那么
22、_，反之也成立。3、已知 A，B，C，O 四点满足条件：OCOBOA，当1，则能得到 _【典型例题选讲】例 1：已知A（)0,1，)1,3(B,)2,1(C,并且BCBFACAE31,31,求证：EFAB。例 2：已知)1,2(,)0,1(ba，当实数k为何值时，向量bak与ba3平行并确定此时它们是同向还是反向。例 3：已知点 O,A,B,C,的坐标分别为（0，0），（3，4），（1，2），（1，1），是否存在常数t，OCOBtOA成立解释你所得结论的几何意义。【课堂练习】1.已知),6(),3,2(yba且ab，求实数y的值。2.已知，平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,
23、1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四个顶点的 D 坐标。3.已知 A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A，B，C 三点共线。4.已知向量)4,3(a，求与向量a同方向的单位向量。5.若两个向量)4,(,),1(xbxa方向相同，求ba2。【课堂小结】241 向量的数量积（1）【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义 2.掌握数量积的运算法则 3.了解平面向量数量积与投影的关系【预习指导】1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把数量_叫做向量a与b的数量积（或内积）。规定：零向量与任何一向量的数量积为_ 2.已知两个非零向量a与b，作aOA，bOB，则_叫做向量
24、a与b的夹角。当00时，a与b_，当0180时，a与b_；当090时，则称a与b_。3.对于cosbaba，其中_叫做b在a方向上的投影。4.平面向量数量积的性质 若a与b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则：cosaaeea；baba0；baba；若a与b同向，则baba；若a与b反向，则baba；2aaa或aaa 设是a与b的夹角，则babacos。5.数量积的运算律 交换律：_ 数乘结合律：_ 分配律：_ 注：、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。即cba)(不一定
25、等于)(cba，也不适合消去律。【典型例题选讲】例 1：已知向量a 与向量b 的夹角为，a=2，b=3，分别在下列条件下求ab：（1）=1350；（2）a b；（3）ba 例 2：已知a=4，b=8，且a与b的夹角为 1200。计算：（1）)2()2(baba；（2）ba2。例 3：已知a=4，b=6，a与b的夹角为 600，求：（1）、a b （2）、a )(ba （3）、)3()2(baba 例 4：已知向量a e，e=1，对任意 t R,恒有e ta ea ，则（）A、a e B、a（a)e C、e （a)e D、（)()eaea 【课堂练习】1、已知a=10，b=12，且36)51()
26、3(ba，则a与b的夹角为_ 2、已知a、b、c 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：（1）、若baba，则a b （）（2）、若cbca，则ba （）（3）、若baba，则ba （）3、已知0)()23(,3,2,0babababa，则_ 4、四边形 ABCD 满足 AB=DC,则四边形 ABCD 是（）A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 5、正ABC 边长为 a ，则ABCACABCACAB_ 【课堂小结】241 向量的数量积（2）【学习目标】1、能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；2、理解并掌握两个向量垂直的条件。【预习指导】1、若),(),(2211yx
27、byxa 则ba_ 2、向量的模长公式：设),(yxa 则2a=a acos=22yxaa a_ 3、两点间距离公式 设 A（),11yx B),(22yx 则BAyyxxBA,),(1212_ 4、向量的夹角公式：设a=（),11yx，),(22yxb ，a 与b的夹角为，则有babacos_ 5、两个向量垂直：设a=（),11yx，),(22yxb，0,0ba ba _ 注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。【典例选讲】例 1：已知a=（2，)1，)2,3(b，求)2()3(baba。例 2：在ABC中，设),1(),3,2(kCABA 且ABC为直角三角形，求k的值。例 3：设向量2
28、12134,eebeea，其中1e=（1，0），2e=（0，1）（1）、试计算ba及ba 的值。（2）、求向量a与b的夹角大小。【课堂练习】1、已知)2,1(),2,2(ba，求：).23()(baba 2、已知向量)3,2(),1,1(ba，若bak2与a垂直，则实数k=_ 3、已知)1,(),2,1(xba若ba2与ba 2平行，则x_ 4、已知 A、B、C 是平面上的三个点，其坐标分别为)1,0(),1,4(),2,1(CBA.那么ACAB=_，ACB _ ，ABC的形状为_ 5、已知)2,12(),3,2(mmbmma，且a 与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围。【课堂小结】第一章 三
29、角恒等变换 两角和与差的余弦公式【学习目标】1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题；2、应用公C)(式，求三角函数值.3、培养探索和创新的能力和意见.【学习重点难点】向量法推导两角和与差的余弦公式【学习过程】（一）预习指导 探究 cos(+)cos+cos 反例：cos =cos(+)cos +cos 问题：cos(+),cos,cos的关系 23636（二）基本概念 1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线 2.探究：在坐标系中、角构造+角 3.探究：作单位圆，构造全等三角形 探究：写出 4 个点的坐标 P1(1,0)
30、,P(cos,sin)P3(cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-),5.计算31pP，42pp 31pP=42pp=6.探究：由31pP=42pp导出公式 cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2展开并整理 得 所以 可记为C)(7.探究：特征 熟悉公式的结构和特点；此公式对任意、都适用 公式记号C)(8.探究：cos(+)的公式 以-代得：公式记号C)(（三）典型例题选讲：例 1 不查表，求下列各式的值.(1)cos105 （2）cos15 (3)cos (4)cos80cos20+sin80sin20 (5)cos215-si
31、n215 (6)cos80cos35+cos10cos55 例 2 已知 sin=，cos=-,是第三象限角，求 cos（-）的值.103sin5sin103cos554,2135例 3：已知 cos(2-)=-,sin(-2)=,且 ，求 cos(+)的值.例 4：cos(-)=-,sin(-)=,且 ，0 ，求 cos 的值.【课堂练习】1.求 cos75的值 2.计算：cos65cos115-cos25sin115 141173440,242912322223.计算：-cos70cos20+sin110sin20 -sin=-,cos-cos=,(0,),(0,),求 cos(-)的值.
32、5.已知锐角，满足 cos=,cos(-)=-,求 cos.6.已知 cos(-)=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.【课堂小结】2121225313531 两角和与差的正弦公式【学习目标】1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。3、掌握诱导公式 sin =cos，sin =cos,sin =-cos,sin =-cos,【学习重点难点】（一）预习指导：两角和与差的余弦公式：（二）基本概念：基本概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(+)=sin(-)=sincos
33、-sincos （二）、典型例题选讲：例求值 sin(+60)+2sin(-60)-3cos(120-)222323例：已知 sin(2+)=3sin,tan=1,求 tan(-)的值.例：已知 sin(+)=,sin(-)=求 的值.例：（）已知 sin(-)=,sin(+)=,求 tan:tan)的值.【课堂练习】.在ABC 中，已知 cosA=,cosB=,则 cosC 的值为 2.已知 ，0，cos(+)=-,sin(+)=,求 sin(+)的值.3.已知 sin+sin=,求 cos+cos的范围.3252tantan3121315444345343135224.已知 sin(+)=
34、,sin(-)=,求 的值.5.已知 sin+sin=cos+cos=求 cos(-)6.化简2cos-6sin 解：我们得到一组有用的公式：（1）sinsin=2sin =2cos .（3）sin3cos=2sin =2cos （4）sin+bcos=22ba sin（+）=22ba cos(-)7.化解3cossin 8.求证：cos+sin=2cos（-）21101tantan5354443349.求证：cos+3sin=2sin（）.10.已知 ，求函数=cos（）-cos 的值域.11.求 的值.【课堂小结】62,01212520cos20sin10cos2 两角和与差的正切公式【学
35、习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。【学习重点难点】能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习过程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式 cos(+)=cos(-)=sin(+)=sin(-)=2.新知 tan(+)的公式的推导(+)0 tan(+)注意：1必须在定义域范围内使用上述公式 tan，tan,tan(+)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。2注意公式的结构，
36、尤其是符号。（二）典型例题选讲：例 1：已知 tan=,tan=-2 求 tan(+),tan(-),+的值，其中 090，90180 31例 2：求下列各式的值：（1）（2）tan17+tan28+tan17tan28（3）tan20tan30+tan30tan40+tan40tan20 例 3：已知 sin(2+)+2sin=0 求证 tan=3tan(+)例 4：已知 tan和 tan(-)是方程2+p+q=0 的两个根，证明：p-q+1=0.例 5：已知 tan=3(1+m),tan(-)3(tantan+m),又，都是钝角，求+的值.75tan175tan14【课堂练习】1.若 ta
37、ntan=tan+tab+1，则 cos(+)的值为 .2.在ABC 中，若 0tanAtabB1 则ABC 一定是 .3.在ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan2B=tanAtanC,则B 等于 .4.=.5.已知 sin(+)=,sin(-)=,求 的值.【课堂小结】40tan20tan120tan40tan20tan2131)tan(tantantan)tan(2 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。难点：理解倍角公式
38、，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(+)=(S)cos(+)=(C)tan(+)=(T)(,+,)(二)基本概念 2.二倍角公式的推导 在公式（S），（C），（T）中，当=时，得到相应的一组公式：sin2=(S2)cos2=(C2)tan2=(T2)注意：1在（T2）中 2 +,+()2在因为 sin2+cos2=1，所以公式（C2）可以变形为 cos2=或 cos2=(C2)公式（S2），（C2），（C2），（T2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用 222例
39、 1 不查表，求下列各式的值(1)()(2)(3)(4)1+22coscos2 例 2 求 tan=3，求 sin2-cos2的值 例 3 已知 sin (0 ),求 cos2,cos(+)的值。二、sin,cos,sincos,sincos之间的关系 例 4 已知 sin+cos=,求 cos,coscos,sin2,cos2,sin,cos的值。125cos125sin)125cos125(sin2sin2cos44tan11tan11135)4(445143,2三、倍角公式的进一步运用 例 5 求证：例 6 求 的值。【课堂练习】1.若 270360，则 等于 2.求值：（1）sin22
40、30cos2230=（2）2 =（3）=（4）=3.求值（1）cos20cos40cos60cos80 （2）sin10sin30sin50sin70 4.已知 sin ,，求 sin2,cos2,tan2的值。5.已知 cos ,sin ,且 ,0 ，求 cos（+）的值。2sin2112cossincos28894cos92cos9cos2cos2121212118cos28cos8sin2212cos24cos48cos48sin8135,291232222 6.已知 sin2=,求 sin4,cos4,tan4的值。7.已知 tan2=,求 tan的值。【课堂小结】4,135231 二
41、倍角的三角函数（2）【学习目标】1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：，这两个形式今后常用 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力【学习重点难点】重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数 难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【学习过程】（一）预习指导 1.有关公式：（1）=；（2）=；（3）=；（二）典型例题选讲：例 1 化简：8cos228sin12 例2求证：sin(1+sin)+cos(1+cos)sin(1-sin)+cos(1-cos)=
42、sin2 22cos1cos222cos1sin22sin22cos22tan2例 3 求函数sincoscos2的值域。例 4 求证：cossin2 的值是与无关的定值。例 5 化简：例 6 求证：)6(sin)3cos(2sincos1sincos1sincos1sincos1ii2tan14cos4sin1tan24cos4sin1例 7 利用三角公式化简：sin50(1+10tan3)【课堂练习】1.若 ，则sin1sin1等于 .2.4cos2sin22的值等于 .cos24sin78cos48的值为 .4.的值等于 .5.已知 ，则 的值等于 .6.已知 （0 ）的值等于 .7.求值 tan70cos10(3tan20-1).252794cos93cos92cos9cos215sin)4(2sin135)4sin(48.求 的值。9.已知 ，求 sin4的值。【课堂小结】10cos310sin161)4sin()4sin(),2(