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1、2 0 0 9 2 0 1 0学 年 第 一 学 期 高等数学 I 一课程考试试卷 A 卷参考答案及评分标准 注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间 120 分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题共 5 个小题,每小题 2 分,共 10 分.1.设 lim 1ttxf xt0 x,则)3(lnf 3 .2.设xexsin是 f x的一个原函数,则 f x=sinxex 3.曲线16623xxy的拐点坐标是 2,0 .4.若02121Adxx,则A 1 521lim(2)cos2xxx 0 .二、单项选择题共 10 个小题,每小题 2 分,共 20 分.将每题的正确答
2、案的代号 A、B、C 或 D 填入下表中.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C C B C A A 1已知函数 f x的定义域为1 2,则函数 22F xf xfx的定义域为 .A3 0,；B3 1,；C112,；D102,.23x 是函数1()arctan3f xx的 .A连续点；B可去间断点；C跳跃间断点；D第二类间断点.3当0 x时,1axe与x2sin等价,则a .A1；B2；C2；D21.4函数 21sin,00,0 xxf xxx 在0 x处 .A有定义但不连续；B连续但不可导；C连续且可导；D不连续且不可导.5.下列等式中正确的是 A badf
3、 x dxf xdx；B.xadf x dxf xf adx；C df x dxf xdx；D.fx dxf x.6函数 21xf xx .A在,内单调增加；B在,内单调减少；C在1 1,内单调增加；D在1 1,内单调减少.7若 f u可导,且 xyf e,则 .A xdyfedx；B xxdyfee dx；C xxdyf ee dx；D xxdyf ee dx.820|1|xdx .A0；B2；C1；D1.9方程sinyx 的通解是 .A.21231cos2yxC xC xC；B.21231sin2yxC xC xC；C.1cosyxC；D.2sin 2yx.10.曲线xey 与该曲线过原点
4、的切线及y轴围成的图形的面积为 A10()xeex dx；B1(lnln)eyyy dy；C1()exxexedx；D10(lnln)yyy dy 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 三、解下列各题每小题 6 分,共 12 分.1计算2lim1xxxx.解：2lim1xxxx 2lim1xxxx 3 分 12.6 分 2计算xxxx1022lim 解：xxxx1022lim222202lim 12xxx xxxxx 3 分 02lim2xxxxe1ee.6 分 四、解下列各题每小题 6 分,共 12 分.1.已知076333yxyxy,求2xdxdy
5、解：两边分别对x求导,得 22333360dydydyyxyxdxdxdx,3 分 当2x 时,1y ,代入上式,得 23xdydx.6 分 2.设函数)(xyy 由参数方程tttytxsincossinln所确定,求dxdy和22dxyd.解：dxdydydtdxdtsinsincoscossinttttttsintt 3 分 22dxyddydtdxdtsincoscossinttttt2sinsin coscosttttt.6 分 五、解下列各题每小题 6 分,共 18 分.1.计算dxxxx221)(arctan 解：dxxxx221)(arctan222arctan11xxdxdxx
6、x 22211arctanarctan21dxxdxx 3 分 3211ln 1arctan23xxC.6 分 2计算2040ln(1)limxxt dtx.解：2040ln(1)limxxt dtx2302 ln 1lim4xxxx 3 分 220lim2xxx12 .6 分 3.计算220cosxexdx.解：220cosxexdx220sinxe dx222200sin2sinxxexexdx 2 分 2202cosxee dx2222002cos4cosxxeexexdx 22024cosxeexdx 5 分 220cosxexdx125e.6 分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人
7、得分 六、本题 10 分.设曲线)(xfy 上任意一点),(yx处的切线斜率为2xxy,且该曲线经过点11,2,1 求函数)(xfy；2 求曲线)(xfy,0y,1x 所围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积 解：12yyxx,即2yyxx,且当1x 时,12y,2 分 与之对应的齐次线性微分方程的通解为yCx,令 yu x x,将其代入非齐次线性方程得ux,所以212uxC,所以非齐次线性微分方程的通解为312yCxx,代入初始条件得0C,故所求函数为312yx.6 分 223102xVdx28.10 分 七、本题 10 分.由半径为R的圆上,割去一个扇形,把剩下的部分围成一个圆锥,试求割
8、去扇形的中心角,使圆锥S的容积为最大.解：设留下的扇形的中心角为,圆锥的高为h,底面半径为r,则其容积V为 213Vr h,又2 rR,22hRr,故32462424RV 02 4 分 32322283244RV 6 分 令 0V 得2 63,当2 603时,0V,当2 623时,0V,因此2 63为极大值点,又驻点唯一,从而2 63也是最大值点.8 分 即当割去扇形的中心角为2 623时,圆锥的容积最大,最大容积为32 327R.10 分 八、本题 8 分.证明：方程4013101xxdtt 在区间)1,0(内有唯一实根.证明：令 401311xf xxdtt,则 010f ,1401121fdtt0,由零点定理知,至少存在一点0,1,使 0f.4 分 由 41301fxx,0,1x,知 f x在)1,0(内单调增加,所以方程4013101xxdtt 在区间)1,0(内有唯一实根.8 分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分