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1、东北大学高等数学（上）期末考试试卷2001.1.10填 空 题（将正确答案填在横线上,本大题共3小题，每小题4分，共 1 2 分）1.dx(2.d(1 +x4+-)dx2X)=)13.与三点知1（1,一 1,2）,“2（3,3,1）,加式3,1,3）决定的平面垂直的单位向量)二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共3小题，每小题4分，共 1 2 分）19,1.当 x -0 时，(c os 3 x -c os x)x-()（A）高阶无穷小；（B）同阶无穷小；但不是等价无穷小;（C）低阶无穷小；（D）等价无穷小三.1.2.2 .若 g(%)=了(A)c
2、 =O；(B)c =-1 ；3 .已知al,b=V 2,(t z,(A)7 5 ；(B)1 +V 2 ；+d t,而 =走 则 必 有（g(x)(C)c =l；(D)c =271b)=一 ,则 a+b4(C)2；(D)1试解下列各题(5 x 7=3 5 分)求 极 限 lim粤。.s o x s in xy=x a r c s in +A/4-X2,求 y，-T-()23.设函数4x =J+2 z,储求y=ln(r +1),dx4.求 不 定 积 分 d XJ x V l+X25.计,算 J ln(x +a)dx.Ex2,|x|1四、（9分）设 x）=研究/*（x）的连续性与可导性.-x,|x
3、|f（x）dx.2“让 /1 J2东北大学高等数学（上）期末考试试卷2002.1.21一、填 空 题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每小题3分，共 1 2 分）1 .0）=_/%0$去/7 1若在尤=连续，则。=.0,x =1,2 .J（s in -c os ）2 dx=.d f s in x23 .若f（x）在（-oo,+oo）上连续，则 一 f 3 d t-_ .dxj3x4 .设卜+目=,一 q,4 =3,5,8 ,8=一1,1,2 ,则 2=.二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共4小题，每小题4分，共 1 6 分）1.方程f-3
4、 x+l=0再区间（0,1）内（）（A）无实根；（B）有唯一实根；（C）有两个实根；（D）有三个实根.2.已知，则 包 为（1-fw3.半径为R 的半球水池已装满水,要将水全部吸出水池，需 做 功 卬 为（(A)7V(R2-y2)d y；(B)n y d y；(C)yry(R2-y2)d y；(D)7ry2yd y.4.设向量“H O,人工（），指出以下结论中的正确结论（A）a x 8 =（）是。与人垂直的充要条件；（B）。/=0 是。与 人平行的充要条件；（C）。与 b 的对应分量成正比是。与 b 平行的充要条件;（D）若a =4b（/l是数），则a/=0.三.试解下列各题（7 x 5=3
5、0分）n 1 .求极限-1）.gm Y +22 .设 函 数 y=y（x）由方程e、+x y =e所确定，求 y （0）.3 .y=x nx,求严）.4 .求不定积分，/a r c t a n x dx.5 .计 算 V s i n3 x +s i n5 xd x.四.（6分）求过点（0,2,4）且与两平面工+2 2=1 和丁-3 2=2 平行的直线方程.sin 2 x x 0,六.（1 0 分）求由y=2-x 2,x =6，y=-x在上半平面围成图形的面积.七.（9分）在椭圆4 1+y 2=4 上任一点M（x,y）（点 M在第一象限）处的切线与o x 轴,o y轴分别交于A,B两点.（1）试
6、将该切线与两坐标轴围成的三角形的面积s 表示为x 的函数；（2）问x为何值时三角形面积s 最小，并求出此最小面积.八.(6分)设函数，(x)是二次可导函数,x=a,x=6(“)是方程/(x)=0的相邻两个根，又存在CG(7,0)，使/(c)0.试证：(1)在(4,8)内/(X)0；(2)在(4,6)内至少存在一点使/)0.东北大学高等数学(上)期末考试试卷2003.1.10一、填空题(将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每小题3分，共12分)1.设/(x)处处连续，且/=3,则lim型2/(支为=()D X X2.函数/(x)=2/一 9/+1 2 X-3在闭区间()单调减.3.Jtan1
7、2 xdx=()4.已知a=3 i-j-2k,b=i+2 j-k ,则a,方夹角的余弦是()1 3 1 3(A)；(B)；(C)-；(D)-2 2 2 24.直 线 生?=2 1=(与平面4 x-2 y-2 z =3的关系是()(A)平行，但直线不在平面上；(B)直线在平面上；(C)垂直相交；(D)相交但不垂直.三.试解下列各题(6x6=36分)二、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题共4小题，每小题4分，共16分)1.f(x)=x(e*-e-*)在其定义域(-00,+8)是().(A)有界函数；(B)单调函数；(C)奇函数；(D)偶函数2.设/(x
8、)=x(x l)(x+2)(x 3)(*+4)(x+1 0 0),则/=().(A)101!；(B)-100!；(C)-；(D)-啰.100 993不3.定积分 J卜inZxIdxN()1./-1-r2求极限l i m-；x x2(ex-1)2.设 y=c o s2 x l n x,求一d x3 .设y=y（x）由方程I n瓜 口 然/u c t a n）所 确 定G A0,y，0）x d y4.x=e c osud u设J。，y=J()e sinud u_ p.d2y 廿 ，7i 7i求 一 其 中 一一，a2-x2d x(a 0)四、(6 分)设/(x)=(II l n(l+x)x ,求/
9、（x）的间断点，并说明间断点的所属类-1 x 0）上哪一点的法线在y轴上的截距为最小.八、（6分）设/（x）在 司 上 连 续，在（a,切内二阶可导，且/（。）=/0）20,又有/(c)0 (a c o.东北大学高等数学（上）期末考试试卷2004.1.一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共5小题，每小题3分，共1 5分）1 .设/（x）在x =a处可导，则/（a）=（）（A）（B）一+2力）一%）;/0 h/T O h（C）/（。-2 小九0；（D）/+/）.D h/f o 2 h2 .函数尸（x）=/力 在 a,加上可导的充分条件是：/（x）在
10、 a,句 上（）Ja（A）有界；（B）连续；（C）有定义；（D）仅有有限个间断点.X23.若/。）=-ax-b,当x f o o 时为无穷小，则（）x+1（A）a =L b=1 ；（B）a =l f b=-l；（C）a =1,Z?=-1 ；（D）a =-1,b=l.4.设/（尤）=1 -1 乎则/（x）在=0 处（）2x,当x 0 x-0（C）/（O）存在；（D）/（x）在x=O处连续，但不可导.5.%=（）是函数/（刈=2 下+把q in：上Y的（）间断点.（A）跳跃：（B）可去；（C）无穷；（D）振荡.二、填 空 题（将正确答案填在横线上，本大题共5小题，每小题3 分，共 15 分）1.U
11、 m -t a n/L r（其中 m,n 为正整数）=.x-ta n m x22 f x+（a rc ta n x）小 _.J 1 +x23.l im(14-sin2 3x)l nC 0S X=x-()2 1 八/、几/、x a rc ta n,x w。十 八小，&士 刖4.设/（%）=,x2,在尤=0 处连续，贝=.Q,X =05 .为使曲线y=。冗 3+匕N 2有拐点（,3）,则系数二,b=三.试解下列各题（7x6=42分）tvta n x-x1.求.i o x sinx2.设 y=xa rc sin2+，4-2,求 y.3.求参数方程 x=E所确定的函数y=y(x)的二阶导数T.y=1
12、-f dx4.设 y+e，+l n(c os)=(),求办.5 .计算不定积分J V x+16 .计算定积分 J A/COSX-C O S3 xdx.27.计算广义积分 一 也 丁.J 1 x(1+x2)四、应 用 题(本 题 16 分，每小题8 分)2 2 21.求星形线 3+丁 3 所围成图形绕X轴旋转所得旋转体的体积.2.在曲线y=4上求一点M,使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短，并求X出这最短的长度.五、证 明 题(本 题 12分，每小题6分)1.证明不等式 e x,(x l)2.设/(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=/(I)=0,/(1)=1,证 明 在
13、(0,1)内 有 一 点 使/e)=l.东北大学高等数学(上)期末考试试卷2005.1.一、填空题(本题20分，每小题4 分)1.己知l im(王 卬)=9,则=_ _ _ _ _.x x-a)工，E2.设函数/(1)=13.方程/+x-1 =0 共有 个正根.时，/(五)在冗二1 处可导.4.当工=时，曲线y=a d+6 x+c的曲率最大.5 .2 xd x=.J o二、选 择 题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1.下列结论中，正确的是（）（A）若 l im x2 n=a ,l im x2 fl+=a,则 l im=a；/?oo?00 n oo（B）发散数列必然无界；（C）若 l i
14、m=a ,l im x3/J+1=a,则 l iin xn=a；/700 一X /?X（D）有界数列必然收敛.2.函数/（x）在x=xo处取得极大值，则 必 有（）.（A）/（和）=0；（B）尸（）0；（C）/（殉）=0或 尸（与）不 存 在;（D）/（与）=0且/（而）0.3.函 数/（x）=/力 在 a,例上可导的充分条件是：/（幻 在。，勿 上（）（A）有界；（B）连续；（C）有定义；（D）仅有有限个间断点.7C 元4.设 M f，1 rc os,xd x，T V =f（sin3 x+c os4 x）d x,J -Q 1+x J 技P =|（x2 sin3 x-c os4 x）d x,则
15、必有关系式（）2（A）N P M ；（B）N M P；（C）M P N；（D）P M 0时，V x s i n2x xa,则。=.7.尸(-d-x-=.J o (x +2)(x +3)-8 、.门 设x=2t t2,则nl d27y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.y=3t-t dx9.微分方程 y=4满足条件y(l)=l 的特解是y =dx x2三、（8分）计 算 不 定 积 分a r c f%J 1 +x四、（8分）求曲线 -6/+12X +4的升降区间，凹凸区间及拐点.五、（8分）求微分方程+3 丁 +2），=3 加
16、-*的通解.六、（10分）在 0,1 上给定函数y =/,问，为何值时，如图所示阴影部分的面积5与 S 2的和最小？并求此时两图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.0 x七、(6 分)设/(幻 在 a,R 上 连 续，且 不 恒 为 常 数.又/(幻 在(a,内可微，且f(a)=f(b).试证：*6(卬。)使/)0.东 北 大 学 高 等 数 学()期 末 考 试 试 卷 2007.1.10单项选择题(本题共5 小题，每小题4 分，共计20分)1、设数列%,收敛，九 发散，则必有 成立.(A)Iimx“y”存在；(B)lim 存在；(C)Iim(x“+y”)不存在；(D)lim三存7 1-Q
17、O T 8 Y 一 8 TOO VnJ n在.2.ex+1,x 0,Ix1.(A)可去间断点；(B)跳跃间断点；(C)无穷间断点；(D)连续点.3.设x 在点X。处有增量A r,函数y=/(x)在X。处有增量Ay.又/(x。)。,则当Arf 0 时，Ay是该点微分内的 .(A)高阶无穷小；(B)等价无穷小；(C)低阶无穷小；(D)同阶但不是等价无穷小.4、设/(x)在(-OQ,+O O)上 二 阶 可 导 且 为 奇 函 数，又 在(0,+oo)上r(x)o,r(x)o,则在(-0 0,0)上必有 .(A)r(x)o,r(x)o,r(x)o；(C)r(x)0；(D)/(x)0J(x)a 0；(
18、B)a y fi-,(C)y a (D)ay.二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共计24 分)1.l i m(l +s i n 3 x)2j=x-02.方程/一 5 x-1 =0 在(1,2)内共有 个根.兀3 .J ;+1)s i n 2 xdx=.2Af a r c ta n V x f4 .I -ax=二 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J J x(l+x)5 .球体半径的增长率为80 2%,当半径为2 m时，球体体积的增长率为-力6 .微分方程yn+2y-3y=0 的通解为y=三、计算题(本题共4小题，每小题6 分，共计24 分)=d2y1.
19、设 、，求一y -Jy=t3 dx2,r=l2.求 l i m(-).*f x x ta n x3 .求 f ,X dx.4 .求微分方程(x-y)y d x-x 9 y =o 的通解.四.(10分)设了=X 0-*()4*1(p(x)=,并求出p(x)的表达式.七.(6 分)设 f(x)具有二阶连续导数，且/3)=),f(a)0,f(b)0,.试 证:3 e (a,b),使/C)=0.东 北 大 学 高 等 数 学()期 末 考 试 试 卷2008.L I 0一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，共计16分)2+4n1.数列/()=.为奇数 当一00时，/()是 为偶数.(A)无穷大；(
20、B)无界但非无穷大；(C)无穷小;(D)有界但非无穷小.jr2.设7=(!0 5(2+)，则严 =.4/A、2 n +1 r(A)2,7c o s 2 x H-TT；4(C)c o s 2 x d ；3.设尸(x)=1+2飞i n f d f,(A)正常数；(B)负常数；(B)2 c o s 2 x+；4/c r c 2+l、(D)c o s 2 x d-7t.4则尸(x)为 .(C)恒为零(D)不为常数.4.设 产y(x)是方程y +3y =e 2 x的解，且火与心。，则y(x)在 .(A)X。的某个邻域内单调增加；(B)%的某个邻域内单调减少;(C)X。处取极小值；(D)X。处取极大值.二
21、、填空题(本题共4小题，每小题4分，共计16分)1.y3-e2 A+s i n(.)=0在x =0处的切线方程是.2 .一个圆锥形容器，深度为1 0 m,上面的顶圆半径为4 m,则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率为.3.曲线y =d-6/+i 2 x +4的拐点为也=(1+丫2丘4.满足微分方程初值问题的 的解为y =L=1三、(7 分)设/(x)=J 2lx -l时，可微函数/(x)满足1 e x尸(x)+/(x)-/=0,/(0 .x +1 J。1.求/*)；2 .证明：当x0时，/(%).(4 分)设/(x)在 a,b上二阶可导，且/(x)0 ,证明 J：/(x)d x 3 .参考
22、答案 2001.1.171.2 /五r+C；2.a r c t a n x2+2 x+C ；3，3.土 J y 3,-2,-2 ,（仅有一个符号扣1分）二、1.B;2.C;3.A.三、1.原式=li mt a n X=li mx f 0 x X TOs e c2 x-3x2（3分）1.t a n x11 m =o 3x2 3（分2.y,=a r c s i.n x+x12（6 分）x=2 77=a r c s H I2处73.dydx 2（/+1）2（3分）d2y _ 1cb 2（t+l）4（7 分）4.x=tan/A原 式=J-）s e c-tt a n t s e c tdt=fJe s
23、c tdt（3分）I n分（+C（7 分）x5.J原式=ln（x +a）2a 1x2-dx（3分）2。2 1n（3。）一%ln（2 ）一 g（x 一 +工一）dxx+a（5 分）2x+aQ2=a2 n（3a）-2 4（7 分）四、/(1)=1 ,/(-I-0)=1 ,/(-1 +0)=1，邮(x)祗=-1 处连续，(2 分)/（-I）=-1,/（1+0）=1,榭（x）祗=1 处间断，x=1为第一类（跳跃）间断点（5分）/（X）的连续区间为（-8,1）（1,M （6分）4=1,/口)不连续,故不可导.4(-1)=-2,九(-1)=-1./(x)在x=-1不可导./(X)可导区间(-8,T)(-1
24、,1)(1,+oo)(8分)五、族参数方程 =%,=%-3/=-2%-2,乙方向向量1,1,-2(2分)过用且与L垂直相交的平面方程x+y-2 z-7=0（5分）L与上述平面的交点为6（1,-2,-4）（8分）d=（9 分）六、S=f=办=：(4分)J 2 6-I(2)V=-(缶了 拄=万 万 一 x2；11=7To 4(9分)七、方程两边对x求导得（尤-y）（x+y-2yy：）=。（2分）由于x-y =0不满足原来方程，又y=/（x）是可导函数,所以-k 0,得x+y-2 y x=0,即虫=L二，dx 2 2y令=0,得 dxV =X,2 3 得驻点 =-2丁 3 孙2+2/=3 2(5分)
25、y-xy,”二-，K2y卜。由于y=/（X）有唯一驻点X=2,且/（-2）=L 04所以,y=/（x）有极小值/（-2）=2,没有极大值(8分)八、设xe2,4)/(x)八2)=/&)(2),x)/(4)-/(X)=/2)(4-X),刍e(x,4)令M=爱喇(刈,则/(刈1 M(x-2)f(x)M(4-x)(3 分)fix)d x f(x)d x j M(x-2)d r +M(4-x)d r3+M 0;2.x+c o s x+c;3.2 xc o s x2/(s ir L r2)-3/(3 x);4.1.二.1.B;2.A;3.C;4.C.三.1.原式=-(3分)户+1V n +2=(7分)2
26、.x=0,)=l,e y +xy +y=0,y(0)=(3分)e3)2+e W +孙 +2y，=0/(忏5 (7分)3 yf=1 +Inx(3分)，*=(T+片 李 心2(7分)lc x34,原式=一 /a rc ta n x d x3 3 J x+1（3分）=-x3a r c t aX f3 6 6(1/+q+c(7分)4-45-=一|4X52-加S2-5.2OX5Sm2-2-5四直线方程为：吃=上/=、（6分）2 5 1五.即-0）=0,即+0）=0,4 0）=0,於）在x=0连续（3分）f!（0）=2/（忏.加）在x=0不可导.（6分）六.由x=V7 f J=-Xj c 2得交点（L l
27、），由J r 2得交点（-1,1）,y 2-x y=2-xy =-x由=得交点（0,0）.（3分）S =j（2-x2）d r-j （-x）d r-x2dx（8分）=2 2 x*1十 一X22o-3-1-X3（1 0 分）0524 x七.切 线 斜 率 为 一 丁，设（x,y）为 切 线 上 任 一 点，切 线 方 程 为4 x丫-）=-7（丫7）,即 yY+4xX=4,在两坐标轴上的截距为X%=,，/=-（3分）x ys=-x.y =4=2 B(5分)=-上 存，口，“邛X2(l-x2f 2（7分）S 的最小值为2（9 分）A.d)反证法：因k。,x=b是_Ax)=O的相邻两根，故对一切 x
28、e(a,6),/(x)w O，假设有 x0 e(,),/(x()0,又知./(c)0,且/(x)在闭区间 c,xo 或 xo,c 上连续，由介值定理知必有界于C与X 0之间的 使.为)=0,矛盾.故对一切X G(x)。，即存在”a,可,/()0.(6分)高 等 数 学 参 考 答 案2 0 0 3.1.1 0一、填空题，每小题3分，共4小题，3(D 9;(2)1,2 ;(3)ta n x-x+C;(4),.二、选择题，每小题4分，共4小题.(D D;(2)C;(3)B;A.三、每小题6 分，共 6 小题.X _ 1 _ Y 1.原式二 lim-=limX TO2xe2-2x4 dlimx-0X
29、2 _ 12?22.,C-COS2 Xy=-2 c o s xs in xln x+-x，c o s2x=y=-s in 2 xln xH-.xxd x+yd y _ xd y-yd x _ x+y3 -i -，d y=厂+y x+y x-yAd x(d y,d y4 .=e c o s/,=e s m r,=r ta n Ad t d t d x5 .原式二 x2ex-J 2 xexd x=x2ex-2 xeA+2 ex+C.7 T6 .s in21 a1 c o s2 td t兀=a4 fs in2 Z(1 -s in2 t)d t=a4.J。1 6i i四、解 x=是间断点，lim f(
30、x)=lim exx=0,lim fx)-lim exl=+oo,x-l-0 x-l-0 x 1+0.t-l+0故 是 第 二 类 间 断 点x=0 是 间 断 点,lim f(x)=lim ln(l+x)=0,lim f(x)=e-1.x-0-0 x-0+0 X TO+O故x=0是跳跃间断点(或第一类间断点).i j k五、法向量=1 -2 4 =-1 6,1 4,1 1,3 5-2所求平面方程为-1 6 4 -2 +J 4+i H即 一1&+1 3+lzl+6 3六、解交点为得到“7A =j(x3-2 x+x2)d r +j-(x3-2 x-x2)t/x4 3 _2 L 4=(4 +4-1
31、)+(1-)=-.3 4 3 1 2七、解 设曲线上点为r-1（）r-q l=X4-X2+-X3+X2-X4-X3-3 1y-2 x5.,3法线方程为,在y轴上的截距为=d b 5 2 d2b 4 1、=2 x5-,=1 0（x4+）a x x d x x令 丝=0,得 到x=l,且正根只有一个，可微函数在定义域内只有一个驻点，d x是极小值点.所以=1为/X）的最小值点，所求点为（1,-）.3八、解 因 为/U）在 a回上连续，段）在,可上取最小值，又|a）力S）2 0,且）0（a c b）,（a c。）,所以於）必 在（a,b）内某一点x o取最大值，且人初0,又因为7 U）在（。力）内可
32、导，x o为极小值点（o xo 0.1 一 x r 2-x0所以/7 0,f 2）0.a b a 20sec2 x-1 1yr=arcs in.x=arc sin.2dy1 d2ydx r9 dx2,1 ,dt 1 1(一 一)l 二?一t dx t t3x2334.,v-sinV x 1 八y +y e +-7=-7-=0cosvx 2、xtan Vxdy=2 (1 +/)dx.5.Inx.-/dxvx+12 jx +In%-2(1 dxJ x令 Vx+1 =t,有 *dx=2 A/X+1 +ln，+1-元 Jx +1+1所以原式=2 Jx +1 lnr-4 Jx +1 _2 In +1_
33、1+C.J x+1+1 _ _ 46.原式=1 sin sjco sx公=一2猿 Jcos尤dcos%=.7.rJl x(l+x2)dx=r(i _ _匚1 x 1 +x2)dx=1 In x-ln(l+x2)+00I1 n x7 i+x22+00=-ln 2.22四、(1)V=2;rj/公二？乃(a*)dx4 2 2 4=2句(a2-3ax+3a3x-x2)dx里 府.10 5 设 点M(t,1)即为所求的切点(也可设为(,上),显然f H(),切线方程为两截距分别为1 1 zy 一产=一7 a一 主,W，于是起线段长为2 t2,1穴。=一 +下 在(0,+8)内的最小值点.4 t由/)=L
34、 之=0,得唯一驻点为t=0,且/(行)0,七板是唯一的2 r极小值点.由实际问题可知，?=&是最小值点，故点(土应)即为所求的点，且2最短距离为次.2五、证明：(1)令/(x)=e r-e x(x 1),贝i j f(x)=e -e 0 (x 1),所以7 U)在x N l单调增加，所以当x l时，於)川)=0,即e，e x(x l).证毕(2)设F(X)=*X)T,则F(x)在 0,1闭区间上连续，在(0,1)内可导，F(l)=XD-l 0,由 介 定 理 知 存 在。e (g,l),使F()=0 .又F(0)=0,由罗尔 定 理 知存在1 G(0,刍)u(0,1),使F记)=0,即/(乡
35、=1.证毕高等数学试卷参考答案 2005.1一、填空题，每小题4分，共5小题，其中第2题-1,2添对一个、错一个给2分.b l n 3;(2)-1、3;(3)1;(4);(5)1.2a二、选择题，每小题4分，共6小题.(D A;(2)C;(3)B;(4)D;(5)C;(6)A.三、计算题，每小题7分，共4小题.1.解法一：设 J 2 x +1 =t,贝IJX=，Q 2-l),d x=t d t,x=O 时,t=l,x=4 时,t=3,2原式=1,-(r-D+2 .-td t=耳1(J +3)4 f =3_ 22,-T1 f3-+3/23解法二:原式=(%+2)42x +1=(x+2)J 2x
36、+1 J；拒；x +l J(2x +1)解法三:1 2-=16-(2x +l)24220=T原式二 罢冷=后飞2x +l)+X 篁鲁11 72-I 3(2X+1)2|Q+；2(2X+1)a4_ 234 31(2x +4)-22,解法一 ：原式=-d xJ x +4 x +5=；卡+以+5卜2r d(x +2)J 1 +(X+2)2=l n|x2+4 x +5|-2ar c t an(x+2)+C.(不加任意常数扣一分，不加绝对值符号不扣分，下同).解法二:设 x+2=t,则 d x=d t,原式=J d力=-l n(r +l)-2ar c t an r +C=l n|x2+4x +5卜 2ar
37、 c t an(x+2)+C.卜解法二:设 x+2=t an t,贝ij d x=s e c2t d t,原式二 J(t an r -2)d t=-l n|c o s z|-2f +C=-l n .=-2ar c t an(x+2)+CV U +2)2+l=-l n|x2+4x +5|-2ar c t an(x+2)+C.1z1 23 6=1+产 dx 2 t1 +产t d2y5#1 1 、2 t 4 t4.解法一：原式=l i m x 2-l n(l +-)xx1-l n(l+)=l i m 且 一 x-0 0|x1rt-l n(l +/)z 1=l i m-；-(一 V xt)i-!-=l
38、 i m =l i m/-o 2 t12(1+/)2-l n(l +-)解法二：原式=l i m -口X fo o !=l i m.v-x-L(-)/i+1一X-2X30m（心）3*-8 2（1 +x）2解法三：令2=r,则X原式=lim匕 等 上2i O t1=limr-0t2.2,t-t+o（广）2 2-=lim，一 o22四、1.解法一：设圆柱体底半径为r,高为2九 体积为匕则m+产=R?,V=2 2 =2同（上 一。2）些=2成2 _6烟，令 包=0,得 力dh dh 3此时,厂=/2尺.又2=一6汹 0,V3 dh2故/j=为极大值点，由于驻点唯一，故该点为最大值点，匕1ax=凡 川
39、-3 3-73解法二：设圆柱体底半径为，高为九体积为V,则dV z n,3,、人 dV 八伯,2 6 R=%（R-一 一/?-）,令 一=0,得 h=dh 4 dh 3此时,=7ih 0,V3 d/?2 2故 为极大值点，由于驻点唯一，故该点为最大值点，匕1ax=聂 川-(不求d2Vdh2，用一阶导数判定，或说明由实际问题可知,唯一驻点就是最大值点也可”)2.解法一：设所求面积为A,体积为则A-4 r 72-x2dxJ。aA=4-h-m 2=7ua,b.a 4V=2/r P y/a2-x2 dxa二 2万勺.(a2 -x2)dx_20 7i b-ax-x-=_ 4ci 7b .2a2|_ 3
40、Jo 3解法二：令 x=4zccost,y=Z?sint,0 r =3/-12x+12,令/=0,得42.x#2,y 0故在（一 0+o o）内为上升曲线.-2 分 =6（x-2）.令 得.户2.-4 分因为当x2 时,y 2 时,0,-6 分所以凸区间为（一 8,2 ,凹区间为2,+8）,拐点为（2,12）.-8 分五、（8 分）求微分方程y +3yr+2y=3xex的通解.解：微分方程的特征方程为r2+3 r+2=0特征根为r i=-l n-2-2 分齐次方程的通解为y=C i e-x+C 2e-勿 -4分因为；(x)=3 x e T =-1是特征方程的单根故原方程的特解设为yx(Ax+B
41、)e-x-6 分代入原方程并整理得2A x+(2A+B)=3 x比较系数得A=?B=-3 从而y*=e r(2/一3外2 2因此原方程的通解为j=Cte-x+C2e-2x+e-x(-x2-3 x).-8 分2五*、(8分)求直线1 Y 4-,V -7-1=0在平面x+y +z =0上的投影直线的方程.x-j+z+l=0解：设过直线1Y 4y-V 71 =0的平面束的方程为x-j +z+l=0(x+y z )+4(x y+z+1 )=0,即 (l+/l)x+(l 2)y+(l+/l)z+(1+2)=0,-2 分其中丸为待定的常数.这平面与平面x+y+z =0垂直的条件是(1+2)-1 +(1-/
42、I)-1 +(-1+/1)-1 =0,即 1=-1.-4 分将丸=-1代入平面束方程得投影平面的方程为2y-2z-2=0,即 y-z-l=0.6 分所以投影直线的方程为V 7 1=0.-8 分x+y+z=0六、(10分)在 0,1上给定函数y =i,问/为何值时，如图所示阴影部分的面积5,与S的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：点的坐标为严)故S.=t t2 x2dx=t31 J。302=J 2 d x 一 (I)/=；+/_/s=S.+S2=-t3-t2+-3 分3 3S(t)=2 t(2 t-1)令 S(t)=0 得 r =0,f=-6 分2比较s(0)
43、=g,s(g)=；,s(l)=g可知，f=,S(t)最小-8分2此 时，所求体积为V =兀(；产 ；-K2 x4d x+K|I x4d x-兀I；)?3-K1 6-10分七、设/(*)在aA止 连 续，且 不 恒 为 常 数.又/X X)在 3 3 内 可 微，且a)=/(.试证:m&G(a,b)使/A?。.证明：因为/(a)=/(b),/(x)在 a,加 上不恒为常数 必有c w(a,b),使/(c)#)(a),不 妨 假 设f(c)f(a)，于 是 在 a,c c a,fe 上 使 用l a g ra中 值 定 理，mG(a,c)u(a,b)使f(c)-f(a)=f(c-a)2 分从而/)
44、=0-4分若 c)0-6分b-c东北大学2006-2007第一学期高等数学（上）期末考试试卷答案及评分标准2007.1.10一.单项选择题（本题共5 小题，每小题4 分，共计20分）1.C；2.A；3.B；4.D；5.A.二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，共计24分）31.；2.1 ；3.；4.（arctan Vx）2+C；5.0.32万.26.C,e-3 x+C2ex.（或为2）三、计算题（本题共4 小题，每小题6 分，共计24分）富4分；刍6 分._/1 1 X .tanx-X tanx-x.八2.hm(-)=lim-=lim-2 分x xtanx/句 x tanx xsec2 x
45、-1 公=hm-；-4 分1。3x2=limtan-xe 3x36 分.A-,.4 7 C3.令 x=2sin e(-,)2 2J j *dx=4jsin2 tdt=2j(1 cos2t)dt-2 分=2(/sin/cos/)+C-4 分=2arcsin-XA/4-x2+C-6 分2 24.原方程化为齐次方程 电=上-乜 _-2 分ax x x令=2,贝!I y=xw,=w+xx dx dx齐次方程化为-华=丝-4分U X积分得 =Inx-lnCux回代“=,得 x=Ce-6 分X4.将直线化为参数式x=2+/y=3+t-2 分z=4+2/代入平面方程 2(2+f)+(3+f)+(4+2f)-
46、6=0得 t=-l-4 分代入参数方程得 x=l,y=2,z=2故交点为(1,2,2)-6 分四.(1 0 分)(1)求函数的极大值与曲线的拐点/=(l-x)e-x,yn=(x-2)e-x,令y =0,x=1;令y=0,x=2-3 分y(l)=-0 极大值点为巧=1;极大值为弘=XD=-e e当0 工2时4”2时,02 2(2,7)为曲线的拐点,B P x2=2;=o -6 分e-e(2)曲边梯形面积A=f xexdx=I xex-e =-z-8 分JiLJ e e2(3)旋转体体积V=(xex)2dx=%x2e2xdx=三(一 2 1 -2x-1 5 寸=/舟 _ 马.-1 0 分44 e
47、e五.(8 分)过 M(x,y)的切线方程为 Y-y =y(X-x)令 万=0,得丫=y-x y。由题设得微分方程 P -盯=24 2-4分y=2令2=厂，得 手+L =2ax x通解为Z=l(x2+C),即-=-(x2+C)-6 分x y x代入y(l)=2,得 C=一;所求曲线方程为y=-8 分2x-1五.(8 分)把直线方程改写为俨f-9 =02j z+4=0过此直线的平面束方程为2x 5y 9+A,(2y z +4)=0-4 分其法向量为(2,22-5-2)1 O由(2,2A 5,A)(1,4,-3)=0 得 A -6 分2 x-5 j-9 +(2 j-z +4)=0即 22x-19j
48、-18z-27=0-8 分六.(8 分)/(x)在x=l处可导，必连续。由 /(1-0)=lim x2=1=/(I)x-r/(1+0)=iim(ax+b)=a+bXT1+可得a+b=l3 分由(1)=匕曰=2,则有 a=2,b=l,-5 分0 x 1当 x W 1 时，(p(x)=x2dx=九 3当 x1时，(p(x)=x2dx x2J x +(2x l)dx=x2 x +-8 分七.(6 分)由 于/(x)在 a,切上连续，在(。内 可 导，/=/3).由 Roe 定 理，m”(a,b),使/()=0.-2 分对 于/(X)在和 应用Lxgmge中 值 定 理，监e 至2 e(使/(4)=-
49、0,-4 分rj-a b-rj又/(x)在 后，昆 上连续0,由零点定理*唱,星 u(a,Z 0 使/)=()-6分(“,),高 等 数 学(A)参 考 答 案 2008-1-18单项选择题(本题共4 小题，每小题4 分，共 计 1 6 分)1.B.2.A.3.A.4.C.二、填空题(本题共4 小题，每小题4 分，共 计 1 6 分)4 7 T1.y -x +1.2.7th.3.(2,1 2).4.y t a n(e H-1).-3 25 43-x20 x l;三、(7 分)设/(尤)=1 2 试研究函数/(x)在 0,2 上是否满足拉格朗一,1 r 2lim f(x)=lim =1x-r x
50、-r xlim f(x)=lim f(x)=/(I)因此，/(x)在x=l处连续.lim”x)二/=lim，=1,小)=-1x-l I X-*5 x-llim J(W=lim =lim-,/:=-l=4 X T1+X 1 r-X-l x-I*X(X-1)/(X)在X=I处可导。因此，/(x)在 0,2上满足拉格郎日中值定理的条件.四、计算下列各题(本题共6小题，每小题6分，共计36分).ln(l+2sin x)1.lim t f=a。Vi+x-N-x,.1 n(4 2 sxi n-2 W IFX+V 1-x)s D11 m -=11 m-Jl+X -Jl-X X 2x解 (sinx-x=exp