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1、实用文档.第九章 压杆稳定 习题解 习题 9-1 在9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图 a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式22lEIPcr。试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在crF作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得crF公式又是否相同。解：挠曲线微分方程与坐标系的 y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是)(xMEIw。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)(xMEIw，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。临界力只与
2、压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：22lEIPcr。实用文档.习题 9-2 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：22).(lEIPcr。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度l的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。（a）ml551（b）ml9.477.0（c）ml5.495.0（d）ml422（e）ml881（f）ml5.357.0（下段）；ml5.255.0（上
3、段）故图 e 所示杆crF最小，图 f 所示杆crF最大。习题 9-3 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图 a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图 b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2min2).2(lEIPcr？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于 2。实用文档.螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，
4、它的长度因素2，其临界力为：2min2).2(lEIPcr。但是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2，因此，不能用2min2).2(lEIPcr来计算临界力。实用文档.为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度lEIMC20，且无侧向位移，则：)()(wFxMEIwcr 令2kEIFcr，得：22kwkw 微分方程的通解为：kxBkxAwcossin kxBkkxAkwsincos 由边界条件：0 x，0w，CFCMwcr；lx，w 解得：CkFAcr，B，klklCkFcrcossin 整理后得到稳定方程：20/tanlEICklkl 用试算法得：496
5、.1kl 故得到压杆的临界力：222)1.2()496.1(lEIlEIFcr。因此，长度因素可以大于 2。这与弹性支座的转动刚度 C 有关，C 越小，则值越大。当0C时，。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算
6、出来的临界力要小。譬如，设转动刚度lEIMC20，则：1025.121.222弹簧固端crcrPP，弹簧固端,1025.1crcrPP。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。习题 9-4 试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力crP的欧拉公式。实用文档.解：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为crP，水平反力为 0，约束反力偶矩两端相等，用eM表示，下标e表示端部 end 的意思。若取下截离体为研究对象，则eM的转向为逆转。ecrMxvPxM)()()()(xvPMxMEIv
7、cre ecrMxvPEIv)(EIMxvEIPvecr)(，令EIPkcr2，则 EIPkcr12 crePMkvkv22 上述微分方程的通解为：crePMkxBkxAvcossin.(a)kxBkkxAkvsincos 边界条件：0 x；0v：crePMBA0cos0sin0；crePMB。0 x 0v：0sin0cos0BkAk；0A。把 A、B 的值代入（a）得：)cos1(kxPMvcre kxkPMvcresin 边界条件：Lx；0v：)cos1(0kLPMcre，0cos1kL 0 x 0v：kLkPMcresin0 0sinkL 以上两式均要求：nkL2，,.)3,1,0(n
8、实用文档.其最小解是：2kL，或Lk2。故有：EIPLkcr222)5.0(，因此：22)5.0(LEIPcr。习题 9-5 长m5的 10 号工字钢，在温度为C00时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数107)(10125Cl，GPaE210。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？解：习题 9-6 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力 F 作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力 F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力crP的算式。解：在总压力F作用下，立柱微弯
9、时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：实用文档.（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则 1，2 两杆组成一组合截面。（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳 故面外失稳时crP最小：243128lEdPcr。习题 9-7 图示结构 ABCD 由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在 B 点铰支，而在 A 点和C 点固定，D 为铰接点，10dl。若结构由于杆件在平面 ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点 D 处的荷载 F 的临界值。解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此
10、结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 实用文档.2024.36lEI 习题9-8 图示铰接杆系 ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面 ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载 F 为最大时的角（假设20）。解：要使设计合理，必使 AB 杆与 BC 杆同时失稳，即：cos22,FlEIPABABcr sin22,FlEIPBCBCcr 22cot)(tancossinBCABllFF)arctan(cot2 习题 9-9 下端固定、上端铰支、长ml4的压杆，由两根 10 号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢
11、结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235 钢，强度许用应力MPa170，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得：m 实用文档.习题 9-10 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限MPaP220，弹性模量GPaE190的钢；（2）MPaP490，GPaE215，含镍 3.5%的镍钢；（3）MPaP20，GPaE11的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1）（2）（3）习题 9-11 两端铰支、强度等级为 TC13 的木柱，截面为 150mm150mm 的正方形，长度ml5.3，强度许用应力MPa10。试求木柱的许可荷载。解：由公式（9-12a
12、）：实用文档.习题 9-12 图示结构由钢曲杆 AB 和强度等级为 TC13 的木杆 BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在 B 点处承受竖直荷载kNF3.1，木材的强度许用应力MPa10。试校核 BC 杆的稳定性。解：把 BC 杆切断，代之以轴力 N，则 0AM 01sin1cos13.1CNCN CCNcossin3.1 8.05.122sin22C 6.05.125.1cos22C)(929.06.08.03.1kNN)(213333404012112433mmbhI)(547.114040213333mmAIi 915.216547.11105.213il 由公式（912b）得：
13、0597.05.2162800280022 MPast597.0100597.0 MPammNAN581.040409292 因为st，所以压杆 BC 稳定。A 实用文档.习题 9-13 一支柱由 4 根mmmmmm68080的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长ml6，压力为kN450。若材料为 Q235 钢，强度许用应力MPa170，试求支柱横截面边长a的尺寸。解：（查表：，），查表得：m4 =mm 习题 9-14 某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式 b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示
14、，材料为 Q235 钢，MPa170。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得 角钢：实用文档.得 查表：故 习题 9-15 图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径mmd80；AC 边长mma70的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为 A 端固定，B、C 为球形铰。两杆的材料均为 Q235 钢，弹性模量GPaE210，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数5.2stn，试求所能承受的许可压力。解：BC 段为两端铰支，1 )(20096008014.364164444mmdI 2242322220002009600/1021014.3mmmmmmNlEIPcr kNN
15、227.10401040227)(4165.2227.1040kNnPFstcrBC AB 杆为一端固定，一端铰支，7.0)(20008337012112444mmaI kNNmmmmmmNlEIPcr4.939621.93940021002000833/1021014.3)(22423222 )(37676.3755.24.939kNnPFstcrAC 故 kNF376 习题 9-16 图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为 TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力，试求撑杆所需的直径d。实用文档.解：取mm 以上部分为分离体，由，有 设 ，
16、m 则 求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 m。习题 9-17 图示结构中杆AC与CD均由 Q235 钢制成，C，D两处均为球铰。已知 mm，mm，mm；，；强度安全因数，稳定安全因数。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆CD受压力 3FFCD 梁BC中最大弯矩 32FMB（2）梁BC中 实用文档.（3）杆CD （Q235 钢的)100P =（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（3）可知，kNF5.15 习题9-18 图示结构中，钢梁 AB 及立柱 CD 分别由 16 号工字钢和连成一体的两根mmmmmm56363角钢组成，杆 CD 符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。均
17、布荷载集度mkNq/48。梁及柱的材料均为 Q235 钢，MPa170，GPaE210。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力CDF 把 CD 杆去掉，代之以约束反力 CDF。由变形协调条件可知，CDClw CDcFCqlwwCD EAlFEIlFEIqlCDCDABCDAB48384534 AlFIlFIqlCDCDABCDAB48384534 查型钢表得：16 号工字钢的41130 cmIz，3141cmWz mmmmmm56363L 形角钢的面积：2143.6cmA，417.23cmIz，cmiz94.1 实用文档.弯矩图-25.000-20.000-15.000-10.000-
18、5.0000.0005.00010.00015.00001234x(m)M(kNm)2433444286.122001130484001130384400100/485cmcmFcmcmFcmcmcmkNCDCD 286.122001130484001130384400100/48534CDCDFFkN CDCDFF279.16941.11799203.141592)(367.118kNFCD（2）梁的强度校核 0AM 0448212367.11842BR )(8165.36kNRB（）)(8165.36367.1188165.36448kNRA AC 段：xxQ488165.36)(；224
19、8165.36)(xxxM 令 0488165.36)(xxQ，得：当mx767.0时，)(119.14767.024767.08165.362maxmkNM CB 段：224)2(367.1188165.36)(xxxxM x 0 0.767 1 2 3 3.233 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000 实用文档.mkNM367.22|max 因为 MPaMPammmmNWMz170631.1581014110367.22|336maxmax 所以 符合正应力强度条件，即安全。（3）立桩的稳定性校核 由柔度10394.12001cmcmilz查表得稳定因素536.0 因为MPammNAFN343.9610286.1211836722，MPast12.91170536.0 st，而且，%5%73.512.9112.91343.96 所以压杆会失稳。不安全。