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1、一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,第二节 偏 导 数,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,一、 偏导数定义及其计算法,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率
2、.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,例5 . 求,在点(0,0) 处的偏导数.,例6. 求,在点(0,0) 处的偏导数.,例7. 求,在点(0,0) 处的偏导数.,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,二、高阶偏导数,设 z
3、= f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,例8. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例9,二者不等,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,(证明略),证:令,则,则,定理.,令,同样,在点,连续,得,例10. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),谢 谢！,