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1、定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.以零为极限的数列也是当n时的无穷小第1页/共23页定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然 C 只能是 0!CC注意:函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关!第2页/共23页其中(x)为一个无穷小定理定理 1.(无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系)证:仅就 的情形证明,其他情形类似.必要性 设,则令则其中(x)是当 的无穷小,并且充分性 设,(x)是当 的无穷小则第3页/共23页(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;定理定理 2.自自变量相同变化趋势的无穷
2、小量有如下变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质性质:证:由已知,f在x0处是局部有界的,故(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;恒有从而故所以(x)f(x)是当 时的无穷小.(x)是当 的无穷小,定理 3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当 时的无穷小.第4页/共23页(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;(x)是当 的无穷小,定理 3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当 时的无穷小.(x)是当 的无穷小,定理.设f是在 内有界(即 )则(x)f(x)是当 时的无穷小.定理定理 2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下自变量
3、相同变化趋势的无穷小量有如下性质性质:第5页/共23页设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且(x)0.定义定义2(无穷小的阶无穷小的阶).则称(x)是(x)的高阶无穷小,记作(或当(x)0时,称(x)是(x)的低阶无穷小)且c 0为常数,称(x)与(x)是同阶无穷小;则称(x)与(x)是等价无穷小,记作第6页/共23页则称(x)是关于(x)的k阶无穷小,特别取(x)=x-x0,若 则称(x)是当xx0时的k阶无穷小.例1.当x0时,试比较下列无穷小的阶:第7页/共23页解:解:第8页/共23页解:解:第9页/共23页由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时,根据高阶无穷小的定义,
4、上式还可以表示为:当x0时,注意:并非每个无穷小都有阶数,比如当x0时,第10页/共23页例例2.2.证明证明:当当时,证:第11页/共23页证明提示:二、无穷小的等价代换 定理4.设(x)与(x),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若 并且则并且第12页/共23页例3.利用无穷小等价代换定理求以下极限解:因为所以第13页/共23页(2)解:原式 注意:应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换.第14页/共23页(3)解:第15页/共23页三、无穷大量(绝对值无限趋大的变量
5、)定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有若在定义中改为则记作第16页/共23页注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数但不是无穷大!第17页/共23页例例4.证明证明证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:第18页/共23页若 则称直线为曲线的水平渐近线.如下图第19页/共23页若为无穷小,且则为无穷大.若为无穷大,为无穷小;则据此定理(1),关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理5.在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:说明:(1)(2)有限个无穷大量的乘积是无穷大量;(3)无穷大量与有界量之和是无穷大量.第20页/共23页两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.注意:大O记号设函数f(x)与g(x)定义在x0的某去心邻域 中,若 在x0处是局部有界的,则记作 .特别地,若f(x)在x0处是局部有界的,则记作f(x)=O(1).例如:第21页/共23页谢谢!THE END第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页