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1、本节的教学要求本节的教学要求理解二元函数极限和连续的概念了解二元函数极限与连续和一元函数相关概念与性质的异同重点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共13页(一一)二元函数的极二元函数的极限限定义8.3 也用邻域来定义极限.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数用两点间的距离 的邻域点 来定义用邻域定义了极限.来定义如果对于任意给定的正数,总存在一个正数,使当 时,恒成立,则称当(x,y)趋于 时,函数 以A为极限,记作或一元函数用点x0的邻域或第2页/共13页例例1 1 证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以当因恒成立,于是,只要取 又当 证明 时,时,因此,第3页/共1
2、3页例例2 设设求证：证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要使 注意:是以任意方式的,“趋近”方式比一元函数时复杂得多!二元函数的因当时,第4页/共13页 若当点趋于不同值或有的极限不存在，设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于限不存在.例例3 讨论函数讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:时,第5页/共13页当(x,y)沿y=k x 趋于(0,0)点时,可见,以不同方式趋近(0,0)函数趋于不同数值,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 讨论讨论
3、是否存在.解:而当(x,y)沿y=k x2 趋于(0,0)点时,说明极限不存在.第6页/共13页一元函数极限存在的充分必要条件一元函数极限存在的充分必要条件:(1)极限的四则运算法则仍适用.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数(3)无穷小量的运算法则仍适用(4)无穷小量的阶的概念仍适用“左极限=右极限”不再适用!对于二元函数(2)极限的复合运算法则仍适用.第7页/共13页(二二)二元函数的连续性二元函数的连续性(1)在点 则称函数 的间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设二元函数 满足条件:的某邻域内有定义;是函数 在点否则称点(2)极限 存在;(3)处连续,如果函数 在平
4、面区域D内的每一点都连续,则称函数 在区域D内连续.定义8.4第8页/共13页由定义8.4知函数在点(0,0)的连续性.在(0,0)点不连续.在点(0,0)处极限不存在.例例5 讨论函数讨论函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:例3已证例6 求函数上的所有点均为故圆周的间断点.解:由知满足的(x,y)使函数无定义,函数的间断点.第9页/共13页例例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续域.解:求函数(1)连续的四则运算法则；(2)连续函数的复合运算法则；对于二元函数(4)“连续必定有极限”.一元函数的下列法则仍成立：(3)初等函数在其定义域中连续；为初等函数.其定义域为连续域.第10页/共13页有界闭区域上有界闭区域上二元连续函数的性质二元连续函数的性质:在有界闭区域D上连续,(2)(3)设使得 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)则在任意的 必存在点 则 在D上必定有界.在D上的最小值和最大值分别为m和M,如果在D上必取得最大值和最小值.(有界性定理)(最值定理)(介值定理)第11页/共13页内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 有1.多元函数的极限2.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界性定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在其定义区域内连续第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页