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1、关于二元函数的极限关于二元函数的极限与连续与连续第1页，讲稿共17张，创作于星期一（1）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数一、一、多元函数概念多元函数概念第2页，讲稿共17张，创作于星期一例例 求求 的定义域的定义域224),(yxyxf解解0422yx所求定义域为所求定义域为.4|),(22yxyxD第3页，讲稿共17张，创作于星期一例例 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.
2、,42|),(222yxyxyxD 第4页，讲稿共17张，创作于星期一（2）二元函数）二元函数 的图形（几何意义）的图形（几何意义）),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如下页图）（如下页图）第
3、5页，讲稿共17张，创作于星期一二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第6页，讲稿共17张，创作于星期一xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:第7页，讲稿共17张，创作于星期一二、多元函数的极限二、多元函数的极限第8页，讲稿共17张，创作于星期一说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与
4、一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似01sin)(lim222200 yxyxyx例如：例如：第9页，讲稿共17张，创作于星期一例例:证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第10页，讲稿共17张，创作于星期一（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与 k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(
5、lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：（了解）的方法：（了解）第11页，讲稿共17张，创作于星期一例例 求极限求极限 .)sin(lim20 xxyyx解解yxyxyyx)sin(lim20uuusinlim0 xyu xxyyx)sin(lim20yy2lim212)0(1sinlim0的整体是所用知识点：uuuu第12页，讲稿共17张，创作于星期一例5 求极限 .11lim222200yxyxyx解：解：)11()(lim22222200yxyxy
6、xyx分子有理化约分.11lim222200yxyxyx21第13页，讲稿共17张，创作于星期一三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性的连续点。称为处连续，则点（在点则称函数：某邻域内有定义，如果的（在点定义：设函数),(),),(),(),(),),(000000000lim00yxfzPyxPyxfzyxfyxfyxPyxfzyyxx第14页，讲稿共17张，创作于星期一例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而
7、变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续(称为间断点称为间断点)第15页，讲稿共17张，创作于星期一总结：总结：1.二元函数的所有学习上的知识都可以二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来。我们今天就可以从一元函数推广而来。我们今天就可以用这个思想来求解二元函数的值、用这个思想来求解二元函数的值、定义定义域域、极限极限和判定连续。和判定连续。2.二元函数作为一个新的概念，和以前二元函数作为一个新的概念，和以前的一元函数还是有区别的，比如定义域的一元函数还是有区别的，比如定义域画成图形是一个平面图形，而一元函数画成图形是一个平面图形，而一元函数图形的定义域往往是图形的定义域往往是x轴上的区域。轴上的区域。第16页，讲稿共17张，创作于星期一感谢大家观看感谢大家观看第17页，讲稿共17张，创作于星期一