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1、等腰三角形第十三章 轴对称等腰三角形性质的探究北京五塔寺北京五塔寺西安半坡博物西安半坡博物馆斜拉斜拉桥梁梁埃及金字塔埃及金字塔等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究图中有哪些你熟悉的图形ABC有两条有两条边相等的三角形相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.相等的两条相等的两条边叫做叫做腰腰另一条另一条边叫做叫做底底边底底边与腰的与腰的夹角叫做角叫做底角底角两腰所两腰所夹的角叫做的角叫做顶角角腰腰腰腰底底边顶角角底角底角回顾回顾等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究u学习目标：学习目标：1.经历剪纸经历剪纸、折纸等活动折纸等活动，进一步认识等腰三
2、角形，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形了解等腰三角形是轴对称图形.2.能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会运用等腰三角形的性质运用等腰三角形的性质3.学习分类讨论思想，学习分类讨论思想，提高提高添加辅助线解决问题的能添加辅助线解决问题的能力力u学习重点：学习重点：探索并证明等腰三角形性质探索并证明等腰三角形性质 如如图,把一把一张长方形的方形的纸按按图中虚中虚线对折折,并剪去并剪去绿色部分色部分,再把它展再把它展开开,得到的得到的ABCABC的形状是什的形状是什么，么，为什么什么?ABCAB=AC等腰三角形等腰三角形一、剪一剪
3、等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究二、折一折设问2 2：ABC 是是轴对称称图形形吗？它的它的对称称轴是什么？是什么？ACBD等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究AB=AC等腰三角形等腰三角形BACD相等的相等的线段：段：ABACADADBDCD相等的角：相等的角：ADBADC BAD CAD BC AD AD为底边为底边BCBC上的中线上的中线 两个底角相等两个底角相等 AD AD为顶角为顶角 BACBAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高三、猜一猜设问3 3：你：你还能能发现剪出的等腰三角形角与剪出的等腰三角形角与边具具有哪些特征有哪些特征吗？继续猜想等腰三角形继
4、续猜想等腰三角形ABCABC有哪些有哪些特性？特性？等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究命题命题1 1：等腰三角等腰三角形的两个底角相等。形的两个底角相等。CB 命题：命题：等腰三角形的等腰三角形的顶角的平分线，底边上顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互的中线，底边上的高互相重合。相重合。ABCD12等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究证法一法一:作底作底边的中的中线AD证法二法二:作底作底边的高的高AD证法三法三:作作顶角的平分角的平分线AD等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究命命题1：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等已知：如已知：如图，ABC中中，AB=AC
5、.求求证：B=C.CAB已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：B=B=C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明：作底边的中线作底边的中线ADAD，则，则BD=CDBD=CDAB=AC (AB=AC (已知已知 )BD=CD(BD=CD(已作已作 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)BAD CAD(SSS).BAD CAD(SSS).B=C(B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).在在BADBAD和和CADCAD中中方法一：作方法一：作底边上的中底边上的中线线等腰三角形性质的探究等腰三角形
6、性质的探究已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：B=B=C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明：作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC (AB=AC (已知已知 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)RtBAD RtCAD(HL).RtBAD RtCAD(HL).B=C(B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).方法二：方法二：作底边的高线作底边的高线在在RtBADRtBAD和和RtCADRtCAD中中等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的
7、探究已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：B=B=C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明：作顶角的平分线作顶角的平分线ADAD，则，则1=1=2 2AB=AC (AB=AC (已知已知 )1=1=2(2(已作已作 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)BAD CAD(SAS).BAD CAD(SAS).B=C(B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).方法三：方法三：作顶角的平分线作顶角的平分线在在BADBAD和和CADCAD中中12等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究命命题2：等腰三
8、角形的顶角的平分线，底边上的中线，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。底边上的高互相重合。已知：如已知：如图，ABC中中，AB=AC.求求证:(1)若若AD平分平分BAC，则AD为底底边 BC的中的中线，ADBC (2)若若AD为底底边BC的中的中线，则AD平分平分BAC，ADBC (3)若若AD为底底边BC的高，的高，则AD平平 分分BAC，AD为底底边BC的中的中线.等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究CDBA证明：证明：ADAD平分平分BAC，则则BAD=BAD=CADCADAB=AC (AB=AC (已知已知 )BAD=BAD=CAD(CAD(已证已证 )A
9、D=AD(AD=AD(公共边公共边)BAD CAD(SAS).BAD CAD(SAS).BD=CD,BD=CD,BDA=BDA=CDACDA在在BADBAD和和CADCAD中中已知：如图，已知：如图，ABC中中，AB=AC.求证求证:(1)若若AD平分平分BAC，则则AD为底边为底边 BC的中线，的中线，ADBCCDBA AD为底边为底边 BC的中线的中线 ADBC等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究证明：证明：AD为底边为底边BC的中线的中线，则，则BD=CDBD=CDAB=AC (AB=AC (已知已知 )BD=CD(BD=CD(已证已证 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)BAD
10、 CAD(SSS).BAD CAD(SSS).BAD=BAD=CADCAD，BDA=BDA=CDACDA在在BADBAD和和CADCAD中中已知：如图，已知：如图，ABC中中，AB=AC.求证：求证：(2)若若AD为底边为底边BC的中线，的中线，则则AD平分平分BAC，ADBCCDBA AD平分平分BAC ADBC等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究证明：证明：AD为底边为底边BC的高的高，则，则BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC (AB=AC (已知已知 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)RtBAD RtCAD(HL).RtBAD RtCAD(HL).BAD=BAD
11、=CAD,BD=CDCAD,BD=CD在在RtBADRtBAD和和RtCADRtCAD中中已知：如图，已知：如图，ABC中中，AB=AC.求证求证:(3)若若AD为底边为底边BC的高，的高，则则AD平平 分分BAC，AD为底边为底边BC的中线的中线.CDBA AD平平 分分BAC，AD为底边为底边BC的中线的中线等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究命题命题1 1：等腰三角等腰三角形的两底角相等。形的两底角相等。命题：命题：等腰三角形的等腰三角形的顶角的平分线，底边上顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互的中线，底边上的高互相重合。相重合。ABCD12性质性质1 1：性质性质2 2：(简称
12、等边对等角）简称等边对等角）(简称三线合一）简称三线合一）等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究CB 35,35 1.1.已知等腰三角形的一个底角是70则其余两角为_；2.已知等腰三角形一个角是70，则其余两角为_；3.3.已知等腰三角形一个角是已知等腰三角形一个角是110，则其余两其余两 角角为_；70，4070,40或或55,55跟踪训练跟踪训练分类讨论思想分类讨论思想等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究已知：已知：ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，DFAC DFAC 于于F,DEABF,DEAB于于E E。求证：求证：DEDEDFDF。
13、A AD DB BC CE EF F能力拓展能力拓展等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究在在DBEDBE与与DCFDCF中中 DEBDEBDFCDFC（已证）（已证）B BC C（已证）（已证）BD BDDCDC（已证）（已证）BDE CDFBDE CDF（AASAAS）DEDEDFDF已知：已知：ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，DFAC DFAC 于于FDE AB FDE AB 于于E E。求证：求证：DEDEDFDF。证明：证明：DEABDEAB，DFACDFAC（已知）（已知）BEDBEDCFD CFD 又又D D是是BCBC中点（已知
14、）中点（已知）BDBDDC DC 又又ABABACAC（已知）（已知）B BC C（等边对等角）（等边对等角）A AD DB BC CE EF F 方法二：连方法二：连AD AD。ABAC，BDDC（已知）AD是BAC的平分线又DEAB DFAC DEDF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等）已知：已知：ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，DFAC DFAC 于于FDE AB FDE AB 于于E E。求证：求证：DEDEDFDF。A AD DB BC CE EF F（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）方
15、法三（面积法）：连方法三（面积法）：连AD AD。BDDC 又 又 ABAC DE=DF 已知：已知：ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，DFAC DFAC 于于F F，DE AB DE AB 于于E E。求证：求证：DEDEDFDF。A AD DB BC CE EF F等等腰腰三三角角形形的的性性质质等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一三线合一三线合一注：注：求解等腰三角形的顶角、底角的度数；求解等腰三角形的顶角、底角的度数；等边对等角等边对等角课堂小结课堂小结分类讨论分类讨论等腰三角形性质的探究等腰三角形性质的探究分层作业分层作业1、已知一个等腰三角形的两角的度数分别为(2x-2),(3x-5)求这个等腰三角形各角的度数.3、已知等腰三角形的顶角是、已知等腰三角形的顶角是n，则底角的度数为_.（必做（必做题）练习册册P43（选做做题）（思考（思考题）2、如图，在ABC中，ABAC,ADBC.若BD等于6cm,B=65，则CD=_,BAD=_.ABCD