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1、一、维向量的概念第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合二、向量、向量组与矩阵二、向量、向量组与矩阵三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、向量组的等价四、向量组的等价分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、维向量的概念1 1、维向量的定义维向量的定义例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量2、维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列
2、，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量
3、的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系3、向量空间空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参
4、数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明需要用向量来进行描述，请同学们举例说明若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程,成绩成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举向量来表示，这个向量是几维的？请大家再
5、多举几例几例,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答答答36维的维的 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如二、向量、向量组与矩阵向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与
6、增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应1 1、定义、定义线性组合线性组合三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示2 2、定理、定理1 1、定义、定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价四、向量组的等价四、向量组的等价从而从而2 2、性质、性质 定理定理1：向量组：向量组B：,能由向量组能由向量组A：线性表示的充要条件是矩阵线性表示的充要条件是矩阵A 的秩等于矩阵的秩等于矩阵（A，B）即即 R（A）=R（A，B）定理定理2：向量组：向量组A：与向量组与向量组B：等价的充要条件是等价的充要条件是即即 R（A）=R
7、（B）=R（A，B）定理定理3：向量组：向量组B：,能由向量组能由向量组A：线性表示，则线性表示，则一、维向量的概念小结小结二、向量、向量组与矩阵二、向量、向量组与矩阵二、向量、向量组与矩阵二、向量、向量组与矩阵三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、向量组的等价四、向量组的等价注意注意定义定义一、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设
8、中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有二、线性相关性的判定故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证毕证毕.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）解解例例解解例例分析分析证证定理定理3 3证明证明说明说明说明说明1.线性相关与线性
9、无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）三、小结思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组定理定理二、矩阵与向量组秩的关系结论结论说明说明事实上事实上定理定理三、向量组秩的重要结论推论推论1 1推论推论2 2思考思考证一证一证二证二注意注意最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性
10、最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向
11、量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明证毕证毕.基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取
12、下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：定理定理1 1 设设mnmn矩阵矩阵A A的秩的秩R R（A A）=r=r，则，则n n元齐次线性元齐次线性方程组方程组Ax=0Ax=0的解集的解集S S的秩的秩R RS S=n-r=n-r);(,)(向量向量此时解空间只含一个零此时解空间只含一个零系系故没有基础解故没有基础解方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR=.,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn+=+=-=-LLLLLx xx xx xx xx xx xx xx x 通解可表示为通解可表示为为任意
13、实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为例例3 3证
14、证证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计
15、算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解解解例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组求基础解系求基础解系 令令依次得依次得求特解求特解所
16、以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系另一种解法另一种解法则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组解的情况思考题思考题解答说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指