《北京工业大学线性代数第四章第三节向量组的秩.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京工业大学线性代数第四章第三节向量组的秩.ppt（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三节第三节 向量组的秩向量组的秩一极大线性无关组一极大线性无关组二.向量组的等价向量组的等价三向量组的秩向量组的秩四向量组的秩的计算方法四向量组的秩的计算方法1引例：引例：共面且两两不共面且两两不共线，则共线，则线性相关线性相关,它的部分它的部分 设几何空间中设几何空间中组组都线性无关。都线性无关。但对于部分组但对于部分组 来说来说,添上添上 后得到的部分后得到的部分 组组仍线性无关，而部分仍线性无关，而部分 组组 添上添上 后得到的后得到的 却线性相关却线性相关,由此受到启发，我们引入下述概念。由此受到启发，我们引入下述概念。线性相关时线性相关时,如何判断如何判断线性表出？线性表出？问题：
2、问题：2 极大线性无关组极大线性无关组在向量组在向量组如果如果存在部分组存在部分组线性无关线性无关,而从向量组的其余向而从向量组的其余向量中量中(若还有的话若还有的话)任取任取一个添进去一个添进去,得到的新的得到的新的是向量组是向量组的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组定义：定义：一极大线性无关组一极大线性无关组向量组都线性相关向量组都线性相关,则称部分则称部分组组3 全由零全由零向量组成的向量组没有极大线性向量组成的向量组没有极大线性 任意含有非零任意含有非零向量的向量组，必有极大向量的向量组，必有极大线性无关组线性无关组说明：说明：无关组无关组 线性无关的向量组的极大线性无关组是线性无
3、关的向量组的极大线性无关组是其本身其本身 向量组的极大线性无关组不一定唯一。向量组的极大线性无关组不一定唯一。4引例中，引例中，是向量组是向量组的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.也是向量组也是向量组的极大线性无关组的极大线性无关组.这些极大线性无关组所含向量个数都相等这些极大线性无关组所含向量个数都相等!问题：问题：向量组的任意两个极大线性无关组所向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数是否一定相等？含向量个数是否一定相等？5二二.向量组间向量组间的等价关系的等价关系设有两个设有两个 n 维向量组维向量组若若 A 中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组 B 线性表出线性表出,则
4、称向量组则称向量组 A 可由可由向量组向量组B 线性表出；线性表出；定义：定义：若向量组若向量组 A 与与向量组向量组B 可以可以互相互相线性表出，线性表出，则称这两个向量组等价，记作则称这两个向量组等价，记作6 向量组的等价是向量组之间的一种关系，向量组的等价是向量组之间的一种关系，易知，这种关系具有如下三条性质：易知，这种关系具有如下三条性质：反身性反身性 对称性对称性则则 传递性传递性则则(因为线性表出具有因为线性表出具有传递性传递性)7定理定理1：向量组与它的任意一个极大线性向量组与它的任意一个极大线性证：证：是向量组是向量组设设的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组 易知易知可由可
5、由线性表出。线性表出。无关组等价无关组等价 往往证证可由可由线性表出线性表出.即证向量组中任意向量都可以由即证向量组中任意向量都可以由它的极大线性无关组线性表出它的极大线性无关组线性表出.8设设线性表出线性表出;可以由可以由线性相关线性相关是极大线性无关组是极大线性无关组可以由可以由线性线性可以由可以由线性表出线性表出.由由表出。所以表出。所以9推论：推论：向量组的任意两个极大线性无关组向量组的任意两个极大线性无关组等价等价。(由等价的对称性和传递性由等价的对称性和传递性)小结小结:是向量组是向量组设设的一个极大线性无关组，的一个极大线性无关组，线性表出线性表出 线性表出线性表出是否线性相关是
6、否线性相关 10现在我们知道，向量组的任意两个极大现在我们知道，向量组的任意两个极大线性无关组可以互相线性表出，为了研究它线性无关组可以互相线性表出，为了研究它们所含向量的个数是否相等，就需要先研究们所含向量的个数是否相等，就需要先研究如果一个向量组可以由另一个向量组线性表如果一个向量组可以由另一个向量组线性表出，它们所含向量的个数有什么关系。出，它们所含向量的个数有什么关系。11向量组向量组考察：考察：几何空间中，向量组几何空间中，向量组线性表出，则我们有如下结论：线性表出，则我们有如下结论：情形情形1不共线不共线,则则一定共面。一定共面。情形情形2共线共线,则则一定共线，一定共线，当然也共
7、面。当然也共面。线性相关线性相关由此，我们猜想有下述结论：由此，我们猜想有下述结论：线性表出，线性表出，结论：结论：12定理定理1：设向量组设向量组线性表出线性表出,如果如果 s t,则则线性相关线性相关 向量组向量组部分组部分组线性无关线性无关,任意任意 r+1个向量都个向量都极大线性无关组的等价定义：极大线性无关组的等价定义：推论推论1：线性表示线性表示,线性无关，线性无关，则则线性相关线性相关是极大线性无关组是极大线性无关组13推论推论2：两个线性无关的等价的向量组，必含两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量有相同个数的向量推论推论3：向量组的任意两个极大线性无关组所向量组的任
8、意两个极大线性无关组所含向量的个数相等含向量的个数相等注：注：极大无关组所含向量的个数是相当重要的。极大无关组所含向量的个数是相当重要的。为此我们引出下述概念。为此我们引出下述概念。14三向量组的秩向量组的秩定义定义:所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作向量组向量组的极大线性无关组的极大线性无关组说明：说明：规定规定全由零全由零向量组成的向量组的秩为零。向量组成的向量组的秩为零。向量组向量组中线性无关的向量的个数至多是中线性无关的向量的个数至多是r，任意，任意r+1个个向量都线性相关。向量都线性相关。15设有两个设有两个 n 维向量组维向量组若若 A 可
9、由可由B 线性表出线性表出,则则 定理定理3：向量组向量组线性无关线性无关 向量组向量组线性相关线性相关16推论：推论：等价的向量组有等价的向量组有说明：说明：相同的秩相同的秩。上述定理和推论给出了比较两个向量组上述定理和推论给出了比较两个向量组的秩的方法，利用这个方法有时可从已知的向的秩的方法，利用这个方法有时可从已知的向量组的秩，求出另一个向量组的秩。量组的秩，求出另一个向量组的秩。证：证：设设为向量组为向量组A的极大线性无关组，的极大线性无关组，为向量组为向量组B的极大线性无关组，的极大线性无关组，则则线性表出，线性表出，17四向量组的秩的计算方法四向量组的秩的计算方法设设A=(aij)
10、mn,则则A 的行的行向量组的秩称向量组的秩称为为A的的行秩行秩,A的列的列向量组的秩向量组的秩称为称为A的的列秩列秩定义定义:命题：命题：阶梯形矩阵阶梯形矩阵J的秩等于它的行秩也等于它的秩等于它的行秩也等于它的列秩；且的列秩；且J的主元所在的列构成的主元所在的列构成J的列的列向量组向量组的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组1.1.矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩与向量组的秩的关系18设设线性无关。线性无关。19从而它的延伸组从而它的延伸组 也线性无关也线性无关 线性相关。线性相关。也线性相关。也线性相关。是是J的列向量组的一个极大线的列向量组的一个极大线 性无关组，从而性无关组，从而J
11、的列秩的列秩=3=R(J)。易知易知,J的行秩的行秩=3=R(J)。20推论：推论：任意矩阵的秩等于它的行任意矩阵的秩等于它的行秩，也等于秩，也等于它的列秩它的列秩命题：命题：矩阵的初等矩阵的初等行行变换不改变矩阵的行秩；变换不改变矩阵的行秩；也不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而也不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩不改变矩阵的列秩推论：推论：设矩阵设矩阵A经过初等行变换变成阶梯形矩经过初等行变换变成阶梯形矩第第 列构成列构成A的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组阵阵J,且且J的主元所在是第的主元所在是第 列列,则则A的的问题：问题：一般的矩阵，其一般的矩阵，其行秩行秩=
12、列秩列秩？21 求求向量组的秩的方法向量组的秩的方法将向量组的向量作为列构成一个矩阵将向量组的向量作为列构成一个矩阵A，例例2 求向量组的秩与一个极大线性无关组求向量组的秩与一个极大线性无关组解：对矩阵解：对矩阵A初等行变换初等行变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵B(得得R(A)初等行变换初等行变换简化梯形矩阵简化梯形矩阵C(求线性表出的系数求线性表出的系数)作初等行变换，作初等行变换，变成阶梯形求向量组的秩和极大线性无关组；变成阶梯形求向量组的秩和极大线性无关组；22且且为向量组的一个极大线性无关组，为向量组的一个极大线性无关组，则则23例例1 证明矩阵的性质：证明矩阵的性质：设设其中其中 阵阵 证明证明(1)：24AB列向量组为列向量组为25线性表示线性表示同理，将同理，将B按行分块可证按行分块可证所以，所以，26证明证明(2)：将将A,B按列分块按列分块设设由由27作作 业业P15218(2)24题之前的题都可以做！题之前的题都可以做！28