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1、电路第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱13-1 -13-4 2第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱l主要内容 周期函数分解为傅里叶级数和信号的频谱 周期量的有效值、平均值非正弦周期信号非正弦周期信号13.1周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数13.2有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13.3本章重点本章重点非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算13.43第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱13-1 非正弦周期信号l生产实践和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变动的电源和信号。l例：通信工程传输各种信号，如收音机
2、、电视机收到的信号电压或电流，都是非正弦波。自动控制、电子计算机等用到的脉冲信号也是非正弦波。l电路存在非线性元件，即使正弦电源作用，将产生非正弦周期的电流、电压。4第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号例例2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波13-1 非正弦周期信号5第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱本章主要内容简介l非正弦电流、电压又可分为周期和非周期周期和非周期两种。l本章主要讨论非正弦周期电源或信号作用下，线性电路稳态分析方法，简要介绍信号频谱初步概念。l首先用数学傅里叶级数(傅氏级数)展开方法，将非正弦
3、周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路叠加定理，分别计算每一频率正弦量单独作用在电路产生同频正弦电流和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，可得非正弦周期激励下的稳态电流和电压。称谐波分析法谐波分析法。l实质是把非正弦周期电流电路计算化为一系列正弦电流电路计算。13-1 非正弦周期信号6第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱13-2 周期函数分解为傅里叶级数l非正弦周期电流、电压、信号等都可用周期函数表示，即 f(t)=f(t+nT)式中T为周期函数f(t)的周期，n=0，1，2，。l给定周期函数满足狄里赫利条件：(1)周期函数极值点有限个；(2)间断点数
4、目有限个；(3)一个周期内绝对可积，即：l就能展开成一个收敛傅里叶级数，即lak项偶函数，bk项奇函数7第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱 l还可合并成另一种形式l上述两种形式系数关系：13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解-18第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱周期函数分解-2l傅里叶级数是一个无穷三角级数。式13-2第1项A0/2称周期函数周期函数f(t)恒定分量恒定分量(或直流分量或直流分量)；第2项A1mcos(1t+1)称1 1次谐波次谐波(或基波分或基波分量量)，周期或频率与原周期函数f(t)相同，其他各项统称高次谐波高次谐波，即2次、3次、4次、谐波。l将一个周期
5、函数展开或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数称谐波分析谐波分析。13-2 周期函数分解为傅里叶级数9第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱式13-1系数l按下列公式计算：l上述计算公式中k=0，1，2，。13-2 周期函数分解为傅里叶级数10第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱频谱(图)l为表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含那些频率分量及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应线段，按频率高低顺序依次排列，图13-1，称f(t t)的频谱的频谱(图图)。l只表示各谐波分量振幅，称幅度频谱幅度频谱。l把各次谐波初相用相应线段依次排列可得相位频谱相位频谱。l如无特别说明，频谱专指幅度频
6、谱。由于各谐波角频率是1整数倍，频谱离散，又称线频谱线频谱。l 称频谱函数频谱函数。13-2 周期函数分解为傅里叶级数11第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱例 13-1-1l求图13-2a周期性矩形信号f(t)傅里叶级数展开式及其频谱。l解 f(t)在第一个周期内表达式l根据式13-3求所需系数：l当k为偶数时，结果为0。当k为奇数时：l即：l得：13-2 周期函数分解为傅里叶级数12第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱例 13-1-2l图13-2b虚线取展开式中前3项，5次谐波时合成曲线。l图13-2c取到11次谐波合成曲线。l比较图形可见，谐波项数取得越多，合成曲线越接近于原来波形。
7、13-2 周期函数分解为傅里叶级数13第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱例 13-1-3lf(t)频谱：l表13-1几个典型周期函数傅里叶级数展开式13-2 周期函数分解为傅里叶级数k1o-/214第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱利用函数对称性简化系数ak、bkl电工技术中周期函数具某种对称性，利用对称性可使系数ak、bk确定简化。l图13-3偶函数纵轴对称偶函数纵轴对称，即 f(t)=f(-t)，故 bk=0l图13-4奇函数原点对称，即 f(t)=-f(-t)，故 ak=0l图13-5奇谐波函数镜对称，即 f(t)=-f(t+T/2)故 a2k=b2k=0 波形移动半周期后与横轴
8、对称(图13-5虚线)。13-2 周期函数分解为傅里叶级数15第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱计时起点的选择l式13-2系数Akm与计时起点无关，k有关，因构成非正弦周期函数各谐波振幅及各次谐波相对位置一定，不会因计时起点变动而变动；计时起点只能使各次谐波初相改变。lak和bk与初相k有关，随计时起点变动而变。l函数奇、偶性质与计时起点有关，图13-3b图13-4b计时起点不同，函数奇、偶性不同。但函数是否为奇谐波函数与计时起点无关。l适当选择计时起点会使函数分解简化。13-2 周期函数分解为傅里叶级数16第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱傅里叶级数的误差问题l傅里叶级数是无穷级数，
9、非正弦周期函数分解，理论上必须取无穷多项准确代表原函数。实际运算只能截取有限项，产生误差。l截多少项视要求而定。涉及级数收敛快慢；或是相继项系数比值大小。如级数收敛很快，只取前几项就够，5次以上谐波可略。l函数波形越光滑和越接近正弦，展开级数收敛越快。l矩形波级数收敛较慢。如取 或t=T/4，则 取无穷多项，有f(T/4)=Em准确值。但取到11次谐波，结果约0.95Em；取到13次约为1.05Em；取到35次谐波，得0.98Em，尚有2误差。l还需考虑电路频率响应，很可能在某一频率下电路谐振(或接近谐振)，或某些频段内，响应幅度特别大。13-2 周期函数分解为傅里叶级数17第十三章非正弦周期
10、电流电路和信号的频谱l任一周期电流i有效值I定义l可用非正弦周期函数直接进行积分求有效值。这里是寻找有效值与各次谐波有效值间关系。l设非正弦周期电流i可分解为傅里叶级数：l代入有效值公式，得此电流有效值为13-3 有效值、平均值和平均功率18第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱有效值l设 上式中i展开式平方后含下列项：li有效值为 即非正弦周期电流有效值非正弦周期电流有效值等于恒定分量平方与各次谐波有效值平方和的平方根。可推广用于其他非正弦周期量。13-3 有效值、平均值和平均功率19第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱平均值l实践中还用平均值概念，以电流i为例，定义 即非正弦周期电流平均
11、值等于此电流绝对值的平均值。可得正弦电流平均值为l相当于正弦电流经全波整流后的平均值(图13-6)，因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应正值。13-3 有效值、平均值和平均功率20第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流的测量l对同一非正弦周期电流，不同类型仪表测量会得不同结果。l例：磁电系仪表(直流仪表)测量，结果是电流恒定分量，因为磁电系仪表偏转角 l电磁系仪表测得结果为电流有效值，仪表偏转角 l全波整流仪表测量，结果为电流平均值，这种仪表偏转角与电流平均值成正比。l测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适仪表，注意不同类型仪表读数表示含意(仪表知识可参阅实验指导书)
12、。13-3 有效值、平均值和平均功率21第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路的功率l任意一端口瞬时功率(吸收)为 u、i取关联参考方向。l平均功率(有功功率)仍定义l不同频率正弦电压与电流乘积的积分为零不同频率正弦电压与电流乘积的积分为零(不产生平均功率)；同频正弦电压、电流乘积积分不为零。l不难证明 l即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和功率的代数和。l非正弦周期电流电路无功功率较复杂，本书不讨论。有时定义非正弦周期电流电路视在功率，即 S S=UIUI13-3 有效值、平均值和平均功率22第十三章非正弦周
13、期电流电路和信号的频谱13-4 非正弦周期电流电路的计算 l13-1给出非正弦周期电流电路计算原则：l（1）把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数，高次谐波根据准确度的高低而定。l（2）分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。恒定分量（=0）,电容看作开路，电感看作短路。各次谐波分量用相量法求解，注意感抗、容抗与频率关系，把计算结果转变为时域。l（3）用叠加定理，求得所需响应。注意不同频率正弦电流或电压相量直接相加无意义。l下面通过例题说明计算步骤：l例13-2（略）23第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱l图示电路，L=5H，C=10F，负载电阻R=2k，uS
14、为正弦全波整流波形。设1=314 rad/s，Um=157 V。求负载两端电压的各谐波分量。l解 参阅表13-1，uS分解为傅立叶级数：例13-3-124第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱例 13-3-2l设第k次谐波为(采用复振幅相量)，用结点电压法：l令k=0,2,4,，并代入数据，得：25第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱例 13-3-2l图（a）是全波整流电路的滤波电路。利用电感对高频电流抑制作用，电容对高频电流分流作用，使输入电压中2、4次谐波分量大大削弱，负载两端电压接近直流电压，但有3.5%的2次谐波。26第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱第十三章 重点概念l13-1 非正弦周期信号 非正弦规律变动的电源和信号，非正弦电流分周期和非周期两种。l13-2 周期函数分解为傅里叶级数 展开成收敛傅里叶级数。恒定分量(或直流分量)、1次谐波(或基波分量)、高次谐波。谐波分析法（及实质）。幅度频谱、相位频谱。线频谱。傅里叶级数收敛快慢问题。27第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱第十二章 重点概念-1l13-3 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流有效值、平均值。磁电系仪表(直流仪表)测量、电磁系仪表测、全波整流仪表测量l13-4 非正弦周期电流电路的计算