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1、3.1 相似矩阵相似矩阵 特征值与特征向量特征值与特征向量特征向量.特征值定义定义3.2 一、基本概念一、基本概念问题（问题（1）特征值的特征向量唯一吗？表达形式怎样？特征值的特征向量唯一吗？表达形式怎样？对于对于A的每一个特征值的每一个特征值齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式是它的系数行列式(如果存在如果存在)的值为零的值为零分析：分析：问题（问题（1）的回答：）的回答：同一特征值的特征向量不唯一，表达形式为同一特征值的特征向量不唯一，表达形式为的通解。的通解。设设A为为n阶方阵，矩阵阶方阵，矩阵 称为
2、称为A的的特征矩阵特征矩阵。是是 的一个首项系数为的一个首项系数为1 1的的n次多项式，称它为次多项式，称它为A的的特征多项式特征多项式.其行列式其行列式:1.写出特征多项式写出特征多项式解得所有特征值解得所有特征值计算特征值与特征向量的步骤计算特征值与特征向量的步骤解出方程组的一个基础解系解出方程组的一个基础解系得特征方程得特征方程:2.对于每个不同的对于每个不同的例例1 设设 求矩阵求矩阵A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解:例例2.设设求矩阵求矩阵 A 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解：解：如果如果 的一个特征值，则的一个特征值，则注意：情形2-6均有相同的特征向量特
3、征向量特征向量未必相同未必相同二、二、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质定理定理3.3(1)n阶方阵阶方阵A在复数域内有在复数域内有n个特征值个特征值;000-62例例3：设：设 是方阵是方阵A的特征值，的特征值，依次是对应于依次是对应于的特征向量，的特征向量，求证求证 线性无关。线性无关。推广情形：推广情形：更一般地有更一般地有:定理定理3.5所以，所以，A 的所有线性无关的特征向量的个数为的所有线性无关的特征向量的个数为的基础解系的基础解系对于对于n阶矩阵阶矩阵A、B，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵P，使得，使得B=P-1AP，就称矩阵就称矩阵A与与B相似，记作相似，记作P-1A
4、P定义定义3.1(3)传递性：传递性：(2)对称性：对称性：(1)反身性：反身性：矩阵的相似关系满足矩阵的相似关系满足：相似矩阵的性质相似矩阵的性质矩阵与对角阵相似的条件矩阵与对角阵相似的条件定理定理3.1 n阶矩阵阶矩阵A能与对角阵相似能与对角阵相似A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定义定义若若n阶矩阵阶矩阵A能与一能与一n阶对角阵相似阶对角阵相似,则称则称A能对角化能对角化.A能否与对角阵相似能否与对角阵相似?若能若能,求出可逆矩阵求出可逆矩阵P与对角阵与对角阵 使得使得所以所以 A能与一个对角阵相似。能与一个对角阵相似。A的线性无关的特征向量的个数的线性无关的特征向量的个数=A的阶数的阶数3所以所以 A不能与一个对角阵相似。不能与一个对角阵相似。A的线性无关的特征向量个数小于的线性无关的特征向量个数小于A的阶数的阶数n=3 推论推论1：若若n 阶矩阵阶矩阵 A 有有n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则A一定能一定能与对角阵相似。与对角阵相似。推论推论2：例例6：判断下列矩阵能否与对角化，若能，写出对角阵。：判断下列矩阵能否与对角化，若能，写出对角阵。